Biến đổi Laplace: bài tập có lời giải từng bước

1Biến đổi Laplace làm gì

Mạch điện, động cơ và bể chứa được mô tả bằng phương trình vi phân: đầu ra phụ thuộc vào tốc độ thay đổi của chính nó. Giải trực tiếp chúng thì chậm.

Biến đổi Laplace biến bài toán như vậy thành đại số. Bạn đổi mọi hàm theo thời gian f(t) thành một hàm F(s) của biến mới s.

Bạn giải bài toán bằng đại số thông thường theo s, rồi dịch kết quả trở lại thời gian. Bước cuối đó là biến đổi ngược.

Bạn hiếm khi tự dùng tích phân này. Trong thực tế bạn tra các cặp biến đổi trong bảng, như tra từ trong từ điển giữa hai ngôn ngữ.

Hình cho thấy ba tín hiệu phổ biến: hằng số 1 (một bước nhảy), một hàm mũ suy giảm và một hàm sin. Bên dưới mỗi tín hiệu là biến đổi của nó.

2Bảng các cặp biến đổi

Hãy học năm cặp này. Cùng với hai quy tắc, chúng bao phủ gần như mọi bài thi.

• Tuyến tính: các hằng số đứng nguyên ở phía trước, và một tổng được biến đổi từng số hạng. Vậy 3/(s + 2) ↔ 3·e^−2t.
• Dịch chuyển: thay s bằng s + a nhân hàm thời gian với e^−at. Vậy (s + 2)/((s + 2)² + 9) ↔ e^−2t·cos 3t.

Để ý cặp của hàm sin: tử số phải chính là ω. Với 12/(s² + 9) bạn có ω = 3, nên viết 12 = 4·3. Kết quả là 4·sin 3t.

Trong sin ωt và cos ωt, góc ωt tính bằng radian. Đặt máy tính sang chế độ radian trước khi tính.

3Giá trị đầu và cuối mà không cần biến đổi ngược

Đôi khi bạn chỉ cần biết f(t) bắt đầu ở đâu hoặc kết thúc ở đâu. Hai định lý cho điều này trực tiếp từ F(s).

• Giá trị đầu (s → ∞): với s rất lớn chỉ lũy thừa cao nhất của s ở tử số và ở mẫu số có tác dụng.
• Giá trị cuối (s → 0): triệt tiêu thừa số s, rồi đặt s = 0 trong mọi thừa số còn lại, kể cả các điểm không.
• Định lý giá trị cuối chỉ đúng nếu f(t) thực sự ổn định: mọi cực của s·F(s) phải có phần thực âm.

Giá trị cuối: với F(s) = 12/(s(s + 2)(s + 3)) bạn có s·F(s) = 12/((s + 2)(s + 3)). Tại s = 0 nó là 12/6 = 2, nên f(∞) = 2.

Giá trị đầu: với F(s) = (3s + 10)/(s² + 5s + 6) bạn có s·F(s) = (3s² + 10s)/(s² + 5s + 6). Với s lớn nó hành xử như 3s²/s², nên f(0⁺) = 3.

Với độ dốc ban đầu f′(0⁺), dùng biến đổi của đạo hàm, ℒ{f′} = s·F(s) − f(0⁺). Rồi áp dụng định lý giá trị đầu cho nó:

Với cùng F(s): s·F(s) − 3 = (−5s − 18)/(s² + 5s + 6). Nhân với s và cho s → ∞. Các lũy thừa cao nhất cho −5s²/s², nên f′(0⁺) = −5.

4Phân thức đơn giản, từng bước

Hầu hết F(s) không có sẵn trong bảng như chúng đang có. Bạn tách chúng thành các phân thức đơn giản có trong bảng. Đây gọi là phân tích thành phân thức đơn giản.

Mỗi nghiệm của mẫu số là một cực. Một cực đơn tại s = −a cho một số hạng A/(s + a), trở thành A·e^−at theo thời gian.

Quy tắc che (cover-up) tìm từng hệ số. Để tìm A, che thừa số (s + a) trong F(s) và đặt s = −a vào mọi thứ còn lại.

Ví dụ: F(s) = (s + 7)/((s + 1)(s + 4)). Khi đó A = (−1 + 7)/(−1 + 4) = 6/3 = 2 và B = (−4 + 7)/(−4 + 1) = −1. Vậy f(t) = 2e^−t − e^−4t.

Vị trí của một cực cho bạn biết hình dạng. Một cực thực tại −3 cho sự suy giảm thuần túy e^−3t. Một cặp phức −1 ± j2 cho một dao động tắt dần, e^−t nhân sin 2t hoặc cos 2t.

• Cực bội (s + a)²: viết A/(s + a) + B/(s + a)². Số hạng thứ hai cho B·t·e^−at. Vậy (s + 4)/(s + 1)² = 1/(s + 1) + 3/(s + 1)² ↔ e^−t + 3t·e^−t.
• Cực phức: hoàn thành bình phương, s² + 4s + 8 = (s + 2)² + 2². Khi đó 10/((s + 2)² + 2²) = 5·2/((s + 2)² + 2²) ↔ 5·e^−2t·sin 2t.

1. Phân tích mẫu số thành thừa số và liệt kê các cực. Với một tam thức bậc hai, tìm nghiệm của nó hoặc hoàn thành bình phương.
2. Viết một phân thức cho mỗi cực: A/s, B/(s + a) và cứ thế. Một cực bội còn có thêm số hạng bình phương.
3. Tìm mỗi hệ số bằng quy tắc che. Giữ dấu của các thừa số còn lại.
4. Dịch mọi số hạng trở lại thời gian bằng bảng.
5. Điền thời gian t (radian cho sin và cos). Kiểm tra f(0⁺) và f(∞) bằng các định lý giá trị.

5Một ví dụ có lời giải

Đây là một câu hỏi trung bình điển hình. Hãy tự thử từng bước trước khi mở nó.

6Lỗi thường gặp

• Nhầm các định lý: s → ∞ cho giá trị đầu f(0⁺), và s → 0 cho giá trị cuối f(∞).
• Quên thừa số s trong s·F(s), hoặc bỏ một thừa số điểm không như (s + 2) khi đặt s = 0.
• Lỗi dấu trong quy tắc che: tại s = −3 thừa số (s + 2) bằng −1, không phải 5.
• Dùng cặp của hàm sin mà không chia cho ω: ω/(s² + ω²) cần ω ở tử số.
• Tính sin ωt hoặc cos ωt với máy tính ở chế độ độ. Góc ωt tính bằng radian.
• Dùng định lý giá trị cuối khi f(t) không bao giờ ổn định, ví dụ F(s) = 1/(s² + 4), một hàm sin thuần túy.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

• Dễ: các cặp trong bảng và định lý giá trị. Bạn biến đổi ngược một hằng số, một hàm mũ, t·e^−at, một hàm sin hay cosin và tính giá trị, hoặc bạn tìm f(0⁺), f(∞) hay độ dốc ban đầu f′(0⁺).
• Trung bình: biến đổi ngược bằng phân thức đơn giản. Bạn tìm một hệ số A, biến đổi ngược ba cực đơn s(s + a)(s + b), một cực bội, hoặc các cực phức bằng cách hoàn thành bình phương.
• Khó: phương trình vi phân và hàm truyền, ví dụ y″ + 7y′ + 6y = 15·u(t) với các giá trị ban đầu cho trước. Bạn tìm y tại một thời điểm cho trước.

Ở mức khó, biến đổi từng đạo hàm cùng với các điều kiện đầu của nó:

Rồi giải phương trình đại số theo Y(s), và biến đổi ngược nó bằng phân thức đơn giản như trong ví dụ đã giải.