Học Phương trình vi phân từ đầu
Trước bài này: Đạo hàm, Tích phân
1Phương trình vi phân là gì
Một phương trình vi phân liên hệ một đại lượng với tốc độ thay đổi của chính nó. Nó mô tả cách một thứ thay đổi, chứ không phải nó là gì.
Vi khuẩn phân chia, nên một đàn lớn hơn tăng nhanh hơn. Tốc độ tăng tỉ lệ với số tế bào N:
dN/dt = k · N
Ở đây dN/dt là đạo hàm của N theo thời gian t, và k là hằng số tốc độ. Với k = 0,4 h⁻¹ và N = 1000 tế bào, đàn vi khuẩn tăng 400 tế bào mỗi giờ tại thời điểm đó.
Giải phương trình nghĩa là tìm chính hàm N(t). Bạn cũng cần một giá trị ban đầu, như N(0) = 200. Đây gọi là điều kiện ban đầu.
Tự kiểm tra Một quần thể tuân theo dN/dt = 0,2 · N. Tại thời điểm này N = 500. Nó đang tăng nhanh bao nhiêu?
- 0,2 mỗi giờ
- 100 mỗi giờ
- 2500 mỗi giờ
- 500 mỗi giờ
Đáp số: 100 mỗi giờ. Thay số vào phương trình: dN/dt = 0,2 · 500 = 100. Chia 500 cho 0,2 cho 2500, đó là dùng k theo chiều ngược.
2Tăng trưởng và suy giảm theo hàm mũ
Phương trình dy/dt = k·y luôn có cùng một nghiệm, một hàm mũ:
y(t) = y0 · ekt
Ở đây y0 là giá trị tại t = 0. k dương nghĩa là tăng trưởng. Với suy giảm, phương trình là dy/dt = −k·y và nghiệm là y = y0e−kt.
Sự phân rã phóng xạ thường được cho bằng chu kỳ bán rã t½: thời gian sau đó còn lại một nửa chất. Hằng số tốc độ suy ra từ đó:
k = ln 2 / t½
Để tìm một thời gian, lấy logarit tự nhiên của cả hai vế:
t = ln(y / y0) / k
Ví dụ, 200 tế bào tăng với k = 0,4 h⁻¹ đạt 1000 tế bào sau t = ln(5)/0,4 ≈ 4,02 h.
Tự kiểm tra Một chất có chu kỳ bán rã 10 ngày. Bạn bắt đầu với 80 mg. Còn lại bao nhiêu sau 20 ngày?
- 0 mg
- 20 mg
- 40 mg
- 60 mg
Đáp số: 20 mg. 20 ngày là hai chu kỳ bán rã: 80 → 40 → 20 mg. 0 mg có được khi nghĩ rằng hai nửa làm thành cả một; lượng chất giảm một nửa mỗi lần.
3Làm nguội và phương trình tuyến tính
Định luật làm nguội Newton: một vật nóng nguội nhanh hơn khi nó nóng hơn nhiều so với căn phòng. Với nhiệt độ phòng Ta:
dT/dt = −k · (T − Ta) ⇒ T(t) = Ta + (T0 − Ta) · e−kt
Hiệu T − Ta suy giảm theo hàm mũ, nên nhiệt độ tiến tới nhiệt độ phòng và không bao giờ thấp hơn nó.
Để tìm k từ một phép đo, thay các giá trị đã biết vào và lấy ln: k = −ln[(T1 − Ta)/(T0 − Ta)] / t1.
Một phương trình tuyến tính cấp một có dạng y′ + p(x)·y = q(x). Nhân nó với thừa số tích phân μ:
μ = e∫p dx, (μ·y)′ = μ·q
Sau đó lấy tích phân cả hai vế và chia cho μ. Với p = 2/x, μ = e2 ln x = x².
Tự kiểm tra Trà ở 90 °C được để trong một căn phòng 20 °C. Nó tiến tới nhiệt độ nào sau một thời gian rất dài?
- 0 °C
- 20 °C
- 55 °C
- 90 °C
Đáp số: 20 °C. Số hạng (T0 − Ta)e−kt tiến tới 0, nên T tiến tới Ta = 20 °C. 0 °C sẽ là đáp án nếu bạn quên nhiệt độ phòng.
4Phương pháp từng bước
- Nhận ra dạng: dy/dt = ky (tăng trưởng hoặc suy giảm), làm nguội Newton, hay y′ + p(x)y = q(x).
- Viết ra nghiệm chuẩn cho dạng đó.
- Dùng dữ liệu đã cho để tìm các hằng số: y0 từ lúc đầu, k từ chu kỳ bán rã hoặc một phép đo thứ hai.
- Trả lời câu hỏi: thay một thời gian để tìm một giá trị, hoặc dùng ln để tìm một thời gian.
- Kiểm tra đơn vị của k (h⁻¹, min⁻¹) so với đơn vị của t.
Với phương trình tuyến tính: tìm μ, lấy tích phân (μy)′ = μq, cộng hằng số C, rồi dùng điều kiện ban đầu để tìm C.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giảiMột chất đánh dấu phóng xạ có chu kỳ bán rã 8 ngày. Một mẫu ban đầu chứa 60 mg. Sự phân rã tuân theo dm/dt = −k·m. Còn lại bao nhiêu m sau 12 ngày?
1Đây là suy giảm theo hàm mũ, nên nghiệm là:
m(t) = m0 · e−kt, m0 = 60 mg
2k = ln 2 / 8 = 0,6931 / 8 = 0,08664 day⁻¹
3k · t = 0,08664 · 12 = 1,0397
m = 60 · e−1,0397 = 60 · 0,3536 = 21,21 mg
412 ngày là 1,5 chu kỳ bán rã. Sau 8 ngày còn 30 mg và sau 16 ngày còn 15 mg, nên 21,2 mg nằm giữa chúng, đúng như dự kiến.
60 · 0,51,5 = 21,21 mg
Đáp số m ≈ 21,2 mg còn lại sau 12 ngày.
6Lỗi thường gặp
- Trong định luật làm nguội Newton, quên trừ đi và cộng lại nhiệt độ phòng Ta.
- Dùng số mũ dương cho suy giảm, nên lượng chất tăng thay vì giảm.
- Dùng log10 thay vì logarit tự nhiên ln.
- Nhầm đơn vị thời gian, chẳng hạn k theo min⁻¹ với t theo giờ.
- Với thừa số tích phân, chỉ nhân vế trái với μ.
Tự kiểm tra Một chi tiết ở 80 °C nguội đi trong căn phòng 20 °C. Tại thời điểm t nào đó, e−kt = 0,5. Khi đó nhiệt độ của nó là bao nhiêu?
- 30 °C
- 40 °C
- 50 °C
- 60 °C
Đáp số: 50 °C. T = 20 + (80 − 20) · 0,5 = 20 + 30 = 50 °C. Chia đôi trực tiếp 80 cho 40 °C, là quên nhiệt độ phòng.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
- Dễ: tăng trưởng và suy giảm theo hàm mũ. Tìm lượng sau một thời gian, hoặc thời gian để đạt một lượng, thường từ chu kỳ bán rã.
- Trung bình: định luật làm nguội Newton. Dùng một phép đo để tìm k, rồi tìm một nhiệt độ hoặc một thời gian.
- Khó: một phương trình tuyến tính cấp một như y′ + 2y/x = 3 với y(1) = 1. Dùng thừa số tích phân và tìm y tại một x khác.
Một cách kiểm tra nhanh: đáp án của suy giảm và làm nguội phải nằm giữa giá trị ban đầu và giá trị cuối (0, hoặc nhiệt độ phòng).
Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng