Bài tập Thống kê mô tả miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: trung bình và trung vị, độ lệch chuẩn, phân phối chuẩn.
Bài tập miễn phíDễ
Tìm trung bình x̄ của dữ liệu: 4, 14, 15, 20, 40, 37, 14, 33, 33.
Thống kê mô tả tóm tắt một danh sách các số, gọi là dữ liệu, bằng vài giá trị. Câu hỏi đầu tiên là: tâm nằm ở đâu?
Trung bình là số trung bình thông thường: cộng mọi giá trị và chia cho số lượng, n.
x̄ = Σx / n
Ký hiệu Σ nghĩa là “cộng tất cả lại”, và x̄ đọc là “x ngang”. Với 3, 5 và 10, trung bình là 18/3 = 6.
Trung vị là giá trị ở giữa sau khi bạn sắp xếp dữ liệu từ nhỏ đến lớn.
n lẻ: trung vị là giá trị ở giữa duy nhất. Với 3, 5, 10 nó là 5.
n chẵn: trung vị là trung bình của hai giá trị ở giữa.
Một giá trị cực đoan, một giá trị ngoại lai, kéo trung bình về phía nó nhưng hầu như không làm trung vị di chuyển. Thu nhập thường được tóm tắt bằng trung vị vì lý do đó.
Tự kiểm tra Trung vị của 4, 40, 29, 22, 17, 20 là bao nhiêu?
20
21
22
25,5
Đáp số: 21. Sau khi sắp xếp: 4, 17, 20, 22, 29, 40. Hai giá trị ở giữa là 20 và 22, nên trung vị là 21. 25,5 có được do lấy giữa danh sách chưa sắp xếp; 22 là trung bình.
2Độ phân tán: độ lệch chuẩn
Hai tập dữ liệu có thể có cùng trung bình nhưng độ phân tán rất khác nhau. Độ lệch chuẩn s đo các giá trị thường nằm cách trung bình bao xa.
Mỗi giá trị có một độ lệch x − x̄. Các độ lệch cộng lại bằng không, nên bạn bình phương chúng trước, làm chúng đều dương.
s = √( Σ(x − x̄)² / (n − 1) )
Đây là độ lệch chuẩn mẫu: bạn chia cho n − 1, không phải cho n. Bình phương của s gọi là phương sai.
Với 2, 4 và 6: trung bình là 4, các độ lệch là −2, 0 và 2, các bình phương cộng lại bằng 8, 8/2 = 4, và s = √4 = 2.
Tự kiểm tra Độ lệch chuẩn mẫu của 2, 4 và 6 là bao nhiêu?
0
1,633
2
4
Đáp số: 2. Σ(x − x̄)² = 8, chia cho n − 1 = 2 được 4, và √4 = 2. Chia cho n = 3 được 1,633; 4 quên căn bậc hai, và 0 là tổng các độ lệch trước khi bình phương.
3Điểm z và phân phối chuẩn
Nhiều phép đo, như chiều cao hoặc điểm thi, theo một đường cong hình chuông: phân phối chuẩn. Tâm của nó là trung bình μ và độ rộng là độ lệch chuẩn σ.
Điểm z cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn:
z = (x − μ) / σ
Với μ = 70 và σ = 10, điểm 74 có z = 4/10 = 0,4. z âm nghĩa là giá trị nằm dưới trung bình.
Quy tắc 68–95–99,7: khoảng 68% giá trị nằm trong 1σ quanh trung bình, 95% trong 2σ và 99,7% trong 3σ.
Với μ = 50 và σ = 5, giá trị 60 có z = 2. Khoảng 95% nằm giữa 40 và 60, nên khoảng 2,5% nằm trên 60. Bảng z cho giá trị chính xác 0,0228.
Tự kiểm tra Điểm IQ có phân phối chuẩn với μ = 100 và σ = 15. Khoảng bao nhiêu phần trăm người có điểm trên 115?
16%
32%
34%
68%
Đáp số: 16%. 115 cao hơn trung bình 1σ. 68% nằm trong 1σ, nên 32% nằm ngoài, chia đều cho hai đuôi: 16% ở trên. 32% quên chia hai đuôi.
4Phương pháp từng bước
Viết dữ liệu thành một hàng và đếm n.
Trung bình: cộng tất cả và chia cho n.
Trung vị: sắp xếp trước, rồi lấy giá trị ở giữa, hoặc trung bình của hai giá trị ở giữa.
Độ lệch chuẩn: trừ trung bình khỏi mỗi giá trị, bình phương, cộng lại, chia cho n − 1, lấy căn bậc hai.
Điểm z: trừ μ, chia cho σ. Rồi dùng quy tắc 68–95–99,7 hoặc bảng z để tìm tỉ lệ.
Một bảng với các cột x, x − x̄ và (x − x̄)² giúp phép tính độ lệch chuẩn gọn gàng.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Tìm trung bình, trung vị và độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 4, 8, 6, 5, 7.
1
Trung bình
x̄ = (4 + 8 + 6 + 5 + 7) / 5 = 30 / 5 = 6
2
Trung vị
Sau khi sắp xếp: 4, 5, 6, 7, 8. Với n = 5 giá trị ở giữa là giá trị thứ ba.
trung vị = 6
3
Độ lệch và bình phương
Trừ trung bình khỏi mọi giá trị: −2, 2, 0, −1, 1. Kiểm tra: chúng cộng lại bằng 0.
Bình phương chúng: 4, 4, 0, 1, 1.
Σ(x − x̄)² = 4 + 4 + 0 + 1 + 1 = 10
4
Chia cho n − 1
s² = 10 / (5 − 1) = 2,5
5
Lấy căn bậc hai
s = √2,5 ≈ 1,58
Kiểm tra: các giá trị cách trung bình 0, 1 hoặc 2, nên một khoảng cách điển hình khoảng 1,6 là hợp lý.
Đáp số
Trung bình x̄ = 6, trung vị 6, và s ≈ 1,58.
6Lỗi thường gặp
Lấy giữa danh sách mà không sắp xếp trước.
Chia cho n thay vì n − 1 với độ lệch chuẩn mẫu.
Quên căn bậc hai ở cuối, cho phương sai thay vì s.
Sai dấu của điểm z: một giá trị dưới trung bình có z âm.
Quên chia cho σ trong điểm z.
Tự kiểm tra Điểm thi có trung bình 70 và độ lệch chuẩn 10. Điểm z của điểm 60 là bao nhiêu?
1
6
−10
−1
Đáp số: −1. z = (60 − 70)/10 = −10/10 = −1. Điểm nằm dưới trung bình, nên z âm. −10 quên chia cho σ.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: trung bình hoặc trung vị của một danh sách dữ liệu ngắn.
Trung bình: độ lệch chuẩn mẫu của năm hay sáu giá trị. Chia cho n − 1.
Khó: phân phối chuẩn. Tìm điểm z, hoặc tỉ lệ các giá trị trên hoặc dưới một giá trị cho trước.
Một cách kiểm tra nhanh: trung bình và trung vị nằm giữa giá trị nhỏ nhất và lớn nhất, và s không bao giờ âm.
Tìm trung vị M của dữ liệu: 39, 11, 3, 28, 18, 17, 40, 40, 5.
n = 9
Tìm M
Hiện các gợi ý
Sắp xếp các giá trị từ nhỏ đến lớn.
Với số lượng giá trị lẻ, trung vị là giá trị ở giữa.
đã sắp xếp: 3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Sắp xếp
3, 5, 11, 17, 18, 28, 39, 40, 40
Giá trị ở giữa
M = 18
Đáp số
M = 18
Ví dụ 2Trung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 26, 57, 34, 22, 53, 13, 59.
n = 7
Tìm s
Hiện các gợi ý
Trước hết tìm trung bình.
Bình phương mỗi độ lệch so với trung bình, cộng lại, chia cho n − 1 rồi lấy căn bậc hai.
x̄ = 37,71.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 12. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 36 là bao nhiêu?
μ = 60σ = 12x = 36
Tìm P
Hiện các gợi ý
Trước hết đổi sang điểm z.
z = (36 − 60)/12 = −2.
Đọc Φ(z) từ bảng phân phối chuẩn tắc.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = −2
Bảng phân phối chuẩn tắc
Φ(−2) = 0,02275
P = 0,02275
Đáp số
P = 0,02275
Câu hỏi thường gặp
Thống kê mô tả là gì?
Thống kê mô tả tóm tắt một danh sách các số, gọi là dữ liệu, bằng vài giá trị. Câu hỏi đầu tiên là: tâm nằm ở đâu?
Ký hiệu Σ nghĩa là “cộng tất cả lại”, và x̄ đọc là “x ngang”. Với 3, 5 và 10, trung bình là 18/3 = 6.
Làm thế nào để giải bài tập Thống kê mô tả từng bước?
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Các bài tập Thống kê mô tả bao gồm những gì?
Dễ: trung bình và trung vị
Trung bình: độ lệch chuẩn
Khó: phân phối chuẩn
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.