Học Giới hạn từ đầu
1Giới hạn là gì
Một giới hạn mô tả giá trị mà một hàm số tiến gần tới khi x tiến gần tới một số nào đó. Điều xảy ra chính xác tại số đó không quan trọng.
Lấy f(x) = (x² − 1)/(x − 1). Tại x = 1 bạn được 0/0, không có giá trị. Nhưng bạn có thể thử các số gần 1.
- x = 0,9 cho f = 1,9.
- x = 0,99 cho f = 1,99.
- x = 1,01 cho f = 2,01.
Các giá trị ngày càng gần 2. Ta viết:
limx→1 (x² − 1)/(x − 1) = 2
Đồ thị là một đường thẳng thiếu một điểm, một lỗ hổng tại (1, 2). Giới hạn là độ cao của lỗ hổng.
Tự kiểm tra Một hàm g cho g(2,9) = 5,9, g(2,99) = 5,99 và g(3,01) = 6,01. Nó không xác định tại x = 3. Giới hạn khi x → 3 là bao nhiêu?
- 3
- 5,99
- 6
- Không tồn tại, vì g(3) không xác định
Đáp số: 6. Các giá trị tiến tới 6 từ cả hai phía, nên giới hạn là 6. Giới hạn chỉ xét các giá trị gần x = 3, không bao giờ xét chính x = 3.
2Phép thế, 0/0 và phân tích thành nhân tử
Luôn thử thế trực tiếp trước: thay số vào. Nếu bạn được một số bình thường, đó là giới hạn.
limx→2 (x² + 3x) = 4 + 6 = 10
Nếu bạn được 0/0, bạn chưa xong. 0/0 gọi là một dạng vô định: đó là tín hiệu để đơn giản hóa, không phải một đáp án.
Thường tử và mẫu có chung một nhân tử bằng không tại điểm đó. Phân tích cả hai thành nhân tử, giản ước nhân tử chung, rồi thế lại.
(x² − 9)/(x − 3) = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3
Vậy giới hạn khi x → 3 là 3 + 3 = 6. Các dạng phân tích hữu ích:
- x² − a² = (x − a)(x + a)
- x³ − a³ = (x − a)(x² + ax + a²)
- x³ + a³ = (x + a)(x² − ax + a²)
- Một tam thức bậc hai như x² − x − 30 phân tích thành (x − 6)(x + 5): tìm hai số có tích bằng −30 và tổng bằng −1.
Với căn bậc hai, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp: (√x − 2)(√x + 2) = x − 4.
Tự kiểm tra limx→2 (x² − 4)/(x − 2) bằng bao nhiêu?
- 0
- 2
- 4
- Không tồn tại, vì bạn được 0/0
Đáp số: 4. Phép thế cho 0/0, nên phân tích: (x − 2)(x + 2)/(x − 2) = x + 2, bằng 4 tại x = 2. Dừng ở 0/0 là sai lầm dẫn đến “không tồn tại”.
3Giới hạn tại vô cực và quy tắc L’Hôpital
x → ∞ nghĩa là x tăng không ngừng. Với phân số của các đa thức, chỉ các lũy thừa cao nhất quan trọng khi x rất lớn.
Chia mọi số hạng cho lũy thừa cao nhất của x ở mẫu. Các số hạng như 4/x và 7/x² tiến tới 0.
(6x² + x)/(3x² − 5) = (6 + 1/x)/(3 − 5/x²) → 6/3 = 2
- Cùng lũy thừa cao nhất ở tử và mẫu: giới hạn là tỉ số của các hệ số cao nhất.
- Lũy thừa cao hơn ở mẫu: giới hạn là 0.
- Lũy thừa cao hơn ở tử: phân số tăng không ngừng, nên không có giới hạn hữu hạn.
Với √(x² + 6x) − x, nhân với biểu thức liên hợp. Bạn được 6x/(√(x² + 6x) + x), tiến tới 6/(1 + 1) = 3.
Quy tắc L’Hôpital: nếu phép thế cho 0/0 hoặc ∞/∞, bạn có thể thay tử và mẫu bằng đạo hàm của chúng, mỗi cái riêng.
limx→0 (eˣ − 1)/x = limx→0 eˣ/1 = 1
Nếu bạn lại được 0/0, hãy áp dụng quy tắc thêm một lần nữa. Các giới hạn lượng giác luôn dùng x theo radian.
Tự kiểm tra limx→∞ (4x² + 1)/(2x² + 3x) bằng bao nhiêu?
- 0
- 2
- ½
- ∞
Đáp số: 2. Các lũy thừa cao nhất bằng nhau (x²), nên giới hạn là tỉ số của các hệ số cao nhất: 4/2 = 2. ½ có được khi chia ngược.
4Phương pháp từng bước
- Thế số vào. Một số bình thường là đáp án.
- Nếu bạn được 0/0, hãy phân tích tử và mẫu thành nhân tử, hoặc nhân với biểu thức liên hợp nếu có căn.
- Giản ước nhân tử chung và thế lại.
- Nếu x → ∞, hãy chia mọi số hạng cho lũy thừa cao nhất của x và để các số hạng như a/x tiến tới 0.
- Nếu phân tích thành nhân tử không được (eˣ, sin, cos, ln), hãy dùng quy tắc L’Hôpital cho dạng 0/0 hoặc ∞/∞.
- Kiểm tra bằng một số rất gần điểm đó, chẳng hạn x = 1,001.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giảiTìm L = limx→−2 (x³ + 8)/(x + 2).
1((−2)³ + 8)/(−2 + 2) = (−8 + 8)/0 = 0/0
Đây là dạng vô định 0/0, nên bạn phải đơn giản hóa trước.
28 = 2³, nên tử là tổng hai lập phương với a = 2.
x³ + 8 = (x + 2)(x² − 2x + 4)
3(x + 2)(x² − 2x + 4)/(x + 2) = x² − 2x + 4
Điều này được phép vì x chỉ tiến gần −2, nên x + 2 không bao giờ chính xác bằng 0.
4(−2)² − 2·(−2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12
5Thử x = −1,99: (−7,880599 + 8)/0,01 = 11,94, gần với 12.
Đồ thị là parabol x² − 2x + 4 với một lỗ hổng tại (−2, 12).
6Lỗi thường gặp
- Viết 0/0 làm đáp án, hoặc nói giới hạn không tồn tại. 0/0 có nghĩa là: hãy đơn giản hóa trước.
- Dùng quy tắc L’Hôpital khi phép thế không cho 0/0 hoặc ∞/∞.
- Dùng quy tắc thương trong quy tắc L’Hôpital. Hãy lấy đạo hàm của tử và mẫu riêng.
- Tại vô cực, so sánh các số hạng đầu tiên được viết ra thay vì các lũy thừa cao nhất.
- Dùng độ thay vì radian trong các giới hạn có sin hoặc cos.
Tự kiểm tra limx→1 (x² + 1)/(x + 1) bằng bao nhiêu?
- 0
- 1
- 2
- Không tồn tại
Đáp số: 1. Phép thế cho 2/2 = 1, một số bình thường, nên đó là giới hạn. Dùng L’Hôpital ở đây (2x/1 = 2) là sai, vì dạng không phải là 0/0.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
- Dễ: thế trực tiếp và phân tích thành nhân tử. Phép thế cho 0/0, sau đó bạn phân tích và giản ước, như trong ví dụ.
- Trung bình: giới hạn tại vô cực. Chia cho lũy thừa cao nhất, hoặc dùng biểu thức liên hợp cho một căn như √(x² + 4x) − x.
- Khó: quy tắc L’Hôpital, chẳng hạn (eˣ − 1 − x)/x² hoặc (1 − cos 3x)/x² khi x → 0. Có thể cần dùng quy tắc hai lần.
Một cách kiểm tra nhanh: dùng máy tính thế một số rất gần điểm đó. Kết quả phải gần với đáp án của bạn.
Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng