Hồi quy tuyến tính và tương quan: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Hồi quy tuyến tính và tương quan miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: hệ số góc và hệ số chặn, hệ số tương quan, dự đoán.

Bài tập miễn phíDễ
xy242352445555660760xy2465060

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Tìm hệ số chặn a.

n = 6
Bài tiếp theo →
Luyện tập Hồi quy tuyến tính và tương quan miễn phíLuyện tập Hồi quy tuyến tính và tương quan ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễhệ số góc và hệ số chặn
  2. Trung bìnhhệ số tương quan
  3. Khódự đoán

Công thức chính

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

Học Hồi quy tuyến tính và tương quan từ đầu

Trước bài này: Thống kê mô tả

1Hồi quy là gì

Bạn đo hai đại lượng cho mỗi trường hợp, ví dụ x = số giờ học và y = điểm thi. Mỗi cặp là một điểm trên biểu đồ phân tán.

xy123456246810

Nếu các điểm nằm xấp xỉ dọc theo một đường thẳng, bạn có thể mô tả chúng bằng một đường và dùng nó để dự đoán y từ x. Đây là hồi quy tuyến tính.

ŷ = a + b · x
  • ŷ (“y mũ”) là giá trị dự đoán của y.
  • b là hệ số góc: ŷ thay đổi bao nhiêu khi x tăng thêm 1.
  • a là hệ số chặn: giá trị của ŷ tại x = 0.
Tự kiểm tra Một đường hồi quy là ŷ = 40 + 5x, với x là số giờ học và ŷ là điểm dự đoán. Số 5 có nghĩa là gì?
  1. Mỗi giờ học thêm cộng khoảng 5 điểm
  2. Một sinh viên không học đạt 5 điểm
  3. Điểm bằng 5 lần số giờ
  4. Đường thẳng đi qua điểm (5, 40)

Đáp số: Mỗi giờ học thêm cộng khoảng 5 điểm. Hệ số góc b là độ thay đổi của ŷ trên mỗi đơn vị x. Điểm dự đoán tại x = 0 là hệ số chặn a = 40, không phải 5.

2Đường bình phương tối thiểu

Không đường thẳng nào đi qua mọi điểm. Khoảng cách theo phương thẳng đứng từ một điểm đến đường thẳng là phần dư của nó, e = y − ŷ.

Đường bình phương tối thiểu là đường có tổng bình phương các phần dư nhỏ nhất có thể. Hệ số góc và hệ số chặn của nó suy ra từ các tổng độ lệch so với giá trị trung bình:

Sxx = Σ(x − x̄)², Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)
b = Sxy / Sxx, a = ȳ − b · x̄

Đường này luôn đi qua điểm trung bình (x̄, ȳ). Đó là lý do a = ȳ − b · x̄.

Nếu chỉ cho các tổng, hãy dùng các công thức tắt Sxx = Σx² − (Σx)²/n và Sxy = Σxy − ΣxΣy/n.

Tự kiểm tra Với một tập dữ liệu, x̄ = 4, ȳ = 10 và b = 2. Hệ số chặn a bằng bao nhiêu?
  1. 10
  2. 18
  3. 2
  4. −2

Đáp số: 2. a = ȳ − b · x̄ = 10 − 2 · 4 = 2. Cộng thay vì trừ cho 18, và 10 chính là ȳ, đã quên hệ số góc.

3Hệ số tương quan

Hệ số tương quan Pearson r đo các điểm nằm gần một đường thẳng đến mức nào. Nó luôn nằm giữa −1 và 1.

r = Sxy / √(Sxx · Syy), Syy = Σ(y − ȳ)²
  • r gần 1: xu hướng tăng mạnh.
  • r gần −1: xu hướng giảm mạnh, như giá xe so với tuổi xe.
  • r gần 0: không có quan hệ đường thẳng.

r cùng dấu với hệ số góc b. Bình phương của nó, r², là tỷ lệ biến thiên của y mà đường thẳng giải thích được.

Một tương quan mạnh không chứng minh x gây ra y. Cả hai có thể phụ thuộc vào một đại lượng thứ ba.

Tự kiểm tra Với tuổi xe x và giá y, r = −0,95. Điều đó cho bạn biết gì?
  1. Một quan hệ yếu
  2. Một quan hệ đường thẳng giảm mạnh
  3. Phép tính sai, vì r âm
  4. Xe cũ hơn thì đắt hơn

Đáp số: Một quan hệ đường thẳng giảm mạnh. r gần −1 nghĩa là các điểm nằm gần một đường thẳng đi xuống: giá giảm khi tuổi tăng. r âm hoàn toàn hợp lệ; chỉ các giá trị ngoài khoảng −1 đến 1 mới là không thể.

4Phương pháp từng bước

  1. Tính các giá trị trung bình x̄ và ȳ.
  2. Lập bảng với các cột x − x̄, y − ȳ, tích của chúng và (x − x̄)². Thêm (y − ȳ)² nếu đề hỏi r.
  3. Cộng các cột để có Sxy, Sxx và Syy.
  4. Hệ số góc b = Sxy/Sxx, rồi hệ số chặn a = ȳ − b · x̄.
  5. Hệ số tương quan r = Sxy/√(SxxSyy).
  6. Dự đoán: đưa x vào ŷ = a + bx. Phần dư: e = y − ŷ.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Đo được năm cặp: x = 1, 2, 3, 4, 5 và y = 3, 5, 6, 8, 8. Tìm đường bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x và dự đoán ŷ tại x = 6.

1

Các giá trị trung bình

x̄ = 15 / 5 = 3, ȳ = 30 / 5 = 6
2

Các độ lệch

x − x̄: −2, −1, 0, 1, 2.

y − ȳ: −3, −1, 0, 2, 2.

3

Các tổng

Nhân các cặp: 6, 1, 0, 2, 4. Bình phương các độ lệch của x: 4, 1, 0, 1, 4.

Sxy = 6 + 1 + 0 + 2 + 4 = 13, Sxx = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10
4

Hệ số góc và hệ số chặn

b = 13 / 10 = 1,3
a = 6 − 1,3 · 3 = 6 − 3,9 = 2,1
xy123456246810ŷ = 2,1 + 1,3x

Các đường nét đứt là các phần dư. Chúng nhỏ, nên đường thẳng khớp tốt.

5

Dự đoán

ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 2,1 + 7,8 = 9,9

Kiểm tra: đường thẳng đi qua điểm trung bình, 2,1 + 1,3 · 3 = 6 = ȳ.

Đáp số

ŷ = 2,1 + 1,3x, và dự đoán cho x = 6 là ŷ = 9,9.

6Lỗi thường gặp

  • Tính phần dư là ŷ − y thay vì y − ŷ.
  • Chia cho Syy thay vì Sxx khi tìm hệ số góc.
  • Nhầm a và b: hệ số góc nhân với x.
  • Quên rằng r cùng dấu với hệ số góc.
  • Dự đoán xa ngoài miền dữ liệu. Đường thẳng có thể không còn đúng ở đó.
Tự kiểm tra Đường thẳng là ŷ = 2,1 + 1,3x. Một điểm mới (6, 8) được đo. Phần dư của nó là bao nhiêu?
  1. 1,9
  2. 17,9
  3. 9,9
  4. −1,9

Đáp số: −1,9. ŷ = 2,1 + 1,3 · 6 = 9,9, nên e = y − ŷ = 8 − 9,9 = −1,9. Điểm nằm dưới đường thẳng. Đáp án 1,9 tính ŷ − y, ngược chiều.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: hệ số góc và hệ số chặn. Năm cặp trong một bảng; tìm b hoặc a của đường bình phương tối thiểu.
  • Trung bình: hệ số tương quan r, từ dữ liệu hoặc từ các tổng cho trước.
  • Khó: dự đoán. Dùng đường thẳng để dự đoán ŷ cho một x mới, hoặc tìm phần dư của một quan sát mới.

Một kiểm tra nhanh: dấu của b và của r phải khớp với chiều của biểu đồ phân tán.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
xy2441262082210301235xy510102030

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Tìm hệ số chặn a.

n = 6

Tìm a

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết tìm hệ số góc b = Sxy/Sxx.
  2. x̄ = 7, ȳ = 20,5.
  3. Đường thẳng đi qua (x̄, ȳ), nên a = ȳ − b·x̄.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 123/6 = 20,5

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 211

Hệ số góc

b = 211/70 = 3,014

Hệ số chặn

a = 20,5 − 3,014·7 = −0,6

Đáp số

a = −0,6
Ví dụ 2Trung bình
xy1787199921100231242512727146xy2025100120140

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 132Σy = 683Σx² = 2974Σy² = 80191Σxy = 15429

Tìm r

Hiện các gợi ý
  1. Sxy = Σxy − Σx·Σy/n.
  2. Sxx = Σx² − (Σx)²/n, Syy = Σy² − (Σy)²/n.
  3. r = Sxy/√(Sxx·Syy).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

Sxy = 15429 − 132·683/6 = 403
Sxx = 2974 − 132²/6 = 70
Syy = 80191 − 683²/6 = 2443

Hệ số tương quan

r = 403/√(70·2443) = 0,9746

Đáp số

r = 0,9746
Ví dụ 3Khó
xy123221318412513xy241520x = 1,5

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 1,5.

n = 5x = 1,5

Tìm ŷ

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết tìm đường thẳng bình phương tối thiểu: b = Sxy/Sxx và a = ȳ − b·x̄.
  2. x̄ = 3, ȳ = 17,4.
  3. ŷ = a + b·1,5.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 87/5 = 17,4

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −29

Đường hồi quy

b = −29/10 = −2,9
a = 17,4 − (−2,9)·3 = 26,1
ŷ = 26,1 − 2,9·x

Dự đoán

ŷ = 26,1 + (−2,9)·1,5 = 21,75

Đáp số

ŷ = 21,75

Câu hỏi thường gặp

Hồi quy tuyến tính và tương quan là gì?

Bạn đo hai đại lượng cho mỗi trường hợp, ví dụ x = số giờ học và y = điểm thi. Mỗi cặp là một điểm trên biểu đồ phân tán.

Nếu các điểm nằm xấp xỉ dọc theo một đường thẳng, bạn có thể mô tả chúng bằng một đường và dùng nó để dự đoán y từ x. Đây là hồi quy tuyến tính.

Làm thế nào để giải bài tập Hồi quy tuyến tính và tương quan từng bước?

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Những lỗi thường gặp trong Hồi quy tuyến tính và tương quan là gì?
  • Hệ số chặn là a = ȳ − b·x̄: đường thẳng đi qua (x̄, ȳ).
  • ȳ là độ cao của đường thẳng tại x = x̄, không phải tại x = 0. Hãy dùng a = ȳ − b·x̄.
  • Dùng cùng một số chia (n hoặc n − 1) cho hiệp phương sai và cho cả hai độ lệch chuẩn. Với Sxy, Sxx và Syy thì các số chia triệt tiêu nhau.
Các bài tập Hồi quy tuyến tính và tương quan bao gồm những gì?
  • Dễ: hệ số góc và hệ số chặn
  • Trung bình: hệ số tương quan
  • Khó: dự đoán

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Thống kê mô tả

Máy tính

Máy tính hồi quy tuyến tínhMáy tính hệ số tương quan (Pearson và Spearman)

Các môn học có chủ đề này

Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý họcThống kê nhập mônThống kê 2: Suy diễn thống kêBài tập AP StatisticsLuyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Hồi quy tuyến tính và tương quan có đáp án
Luyện tập Hồi quy tuyến tính và tương quan miễn phíLuyện tập Hồi quy tuyến tính và tương quan ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.