Bài tập Phương pháp số miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: nghiệm và nội suy, quy tắc hình thang và Simpson, Euler, Heun và Runge–Kutta.
Bài tập miễn phíDễ
Hãy áp dụng Newton–Raphson cho f(x) = e−x − x với giá trị ban đầu x₀ = 0. Hãy tìm x2.
Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
Lỗi thường gặp
Giữ nhầm nửa của khoảng chia đôi, hoặc đếm sai số bước.
Viết x − f′/f thay vì x − f/f′ trong Newton–Raphson.
Cho các nút trong trọng số 1 trong quy tắc hình thang, hoặc dùng Simpson với số dải lẻ.
Làm tròn các giá trị lặp quá sớm.
Làm thiếu hoặc thừa một bước Euler để đến thời điểm cuối.
Công thức chính
Phương pháp chia đôi
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
Newton–Raphson
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Nội suy tuyến tính
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Quy tắc hình thang
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
1Vì sao cần phương pháp số, và phương pháp chia đôi
Nhiều phương trình và tích phân không có công thức cho đáp án: x = cos x, ∫e−x²dx, hoặc hầu hết các phương trình vi phân. Các phương pháp số tính đáp án từng bước với độ chính xác bất kỳ mà bạn cần.
Phương pháp chia đôi tìm một nghiệm của f(x) = 0 trên một khoảng [a, b] mà f đổi dấu. Lấy trung điểm c = (a + b)/2 và giữ nửa mà dấu vẫn đổi.
Ví dụ: f(x) = x² − 2 trên [1, 2]. c₁ = 1,5 cho f = 0,25 > 0, nên giữ [1, 1,5]. c₂ = 1,25 cho f = −0,4375 < 0, nên giữ [1,25, 1,5]. Sau đó c₃ = 1,375.
Mỗi bước chia đôi khoảng, nên sau n bước độ rộng của nó là (b − a)/2ⁿ. Chia đôi chậm nhưng luôn hoạt động khi bạn đã có một lần đổi dấu.
Tự kiểm tra Phương pháp chia đôi bắt đầu trên một khoảng dài 1. Khoảng rộng bao nhiêu sau 10 bước?
1/100
1/1024
1/10
1/20
Đáp số: 1/1024. Mỗi bước chia đôi nó: 1/2¹⁰ = 1/1024 ≈ 0,001. Chia cho 10 hoặc 20 là coi việc chia đôi như thể nó mang tính cộng.
2Newton–Raphson
Newton–Raphson đi theo tiếp tuyến xuống trục x và dùng giao điểm đó làm giá trị đoán tiếp theo:
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
Với f(x) = x² − 2 có f′(x) = 2x và x₀ = 2: x₁ = 2 − 2/4 = 1,5, x₂ = 1,5 − 0,25/3 = 1,416667, x₃ = 1,414216. Nghiệm là √2 = 1,414214.
Gần nghiệm, Newton gần như nhân đôi số chữ số đúng ở mỗi bước. Nó có thể thất bại khi f′(xₙ) gần 0, hoặc khi điểm xuất phát ở xa nghiệm.
Hãy giữ ít nhất sáu chữ số trong mỗi giá trị lặp; làm tròn sớm khiến phương pháp không cải thiện thêm.
Tự kiểm tra Một bước Newton cho f(x) = x² − 5 từ x₀ = 2 cho…
1,75
2,25
2,2
2,5
Đáp số: 2,25. f(2) = −1 và f′(2) = 4, nên x₁ = 2 − (−1)/4 = 2,25. Cộng −1/4 thay vì trừ nó cho 1,75.
3Nội suy tuyến tính
Bảng chỉ cho giá trị tại một số điểm nhất định. Nội suy tuyến tính vẽ một đường thẳng giữa hai điểm lân cận của bảng:
y = y₁ + (y₂ − y₁)·(x − x₁)/(x₂ − x₁)
Ví dụ: bảng cho f(1) = 2,0 và f(2) = 2,6. Tại x = 1,4 phân số là 0,4, nên f(1,4) ≈ 2,0 + 0,6·0,4 = 2,24.
Nội suy ngược hoạt động theo cách tương tự theo chiều ngược lại: để tìm nơi y = 2,3, phân số là (2,3 − 2,0)/0,6 = 0,5, nên x ≈ 1,5.
4Quy tắc hình thang và quy tắc Simpson
Để lấy tích phân f từ a đến b, hãy chia khoảng thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀, x₁, …, xₙ.
Quy tắc hình thang thay đường cong trong mỗi dải bằng một đoạn thẳng. Mỗi nút bên trong thuộc về hai dải, nên nó được tính hai lần:
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]
Quy tắc Simpson khớp các parabol qua ba nút mỗi lần. Nó cần n chẵn:
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]
Với ∫01 x² dx = 1/3 và n = 2 (h = 0,5): T = 0,25·(0 + 0,5 + 1) = 0,375, trong khi S = (0,5/3)·(0 + 1 + 1) = 0,3333, chính xác.
Sai số hình thang giảm như h² và Simpson như h⁴: chia đôi h làm Simpson chính xác hơn khoảng 16 lần.
Tự kiểm tra Quy tắc hình thang cho các nút x₀, x₁, x₂, x₃ những trọng số nào?
1, 1, 1, 1
1, 2, 2, 1
1, 4, 2, 1
1, 4, 4, 1
Đáp số: 1, 2, 2, 1. Hai đầu mút thuộc về một dải và các điểm bên trong thuộc về hai dải, nên 1, 2, 2, 1 với thừa số h/2. Các số 4 thuộc về quy tắc Simpson.
5Euler và Heun cho phương trình vi phân
Với y′ = f(t, y) và y(t₀) = y₀, hãy tiến theo thời gian với một bước h. Phương pháp Euler dùng độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước:
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
Phương pháp Heun (Euler cải tiến) dự đoán bằng Euler, rồi lấy trung bình các độ dốc ở cả hai đầu: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂).
Sai số của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h². Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) dùng bốn độ dốc và chính xác đến h⁴.
Ví dụ có lời giải
Hãy giải y′ = y, y(0) = 1 bằng phương pháp Euler với h = 0,1 đến t = 0,3, và so sánh với nghiệm chính xác eᵗ.
1
Bước 1
y₁ = 1 + 0,1·1 = 1,1
2
Bước 2
y₂ = 1,1 + 0,1·1,1 = 1,21
3
Bước 3
y₃ = 1,21 + 0,1·1,21 = 1,331
4
So sánh
Giá trị chính xác là e0,3 = 1,349859, nên sai số toàn cục là 0,0189. Một bước Heun từ y₀ sẽ cho 1 + 0,05·(1 + 1,1) = 1,105 so với e0,1 = 1,105171.
Đáp số
y(0,3) ≈ 1,331 với Euler; sai số 0,019 giảm gần như tỉ lệ với h.
6Lỗi thường gặp và câu hỏi thi
Coi trung điểm chia đôi đầu tiên là bước 0, hoặc giữ nhầm nửa của khoảng.
Viết x − f′/f thay vì x − f/f′ trong phương pháp Newton.
Quên thừa số 2 ở các nút bên trong, hoặc dùng h thay vì h/2 trong quy tắc hình thang.
Dùng quy tắc Simpson với số dải lẻ.
Trong phương pháp Euler, dùng độ dốc ở cuối bước, hoặc làm thiếu một bước.
Dễ: chia đôi, các vòng lặp Newton và nội suy trong bảng. Trung bình: quy tắc hình thang và Simpson, sai số của chúng và số dải cần thiết. Khó: các bước Euler, Heun và Runge–Kutta cho phương trình vi phân.
Tự kiểm tra y′ = 2y với y(0) = 1. Một bước Euler với h = 0,2 cho kết quả gì?
1,2
1,49
1,4
2,4
Đáp số: 1,4. y₁ = 1 + 0,2·(2·1) = 1,4. Quên thừa số 2 trong độ dốc cho 1,2; 1,49 là giá trị chính xác e0,4.
Phương pháp chia đôi bắt đầu trên một khoảng dài 4. Mỗi bước chia đôi khoảng. Cần ít nhất bao nhiêu bước n trước khi khoảng ngắn hơn 0,0001?
b − a = 4ε = 0,0001
Tìm n
Hiện các gợi ý
Sau n bước khoảng có độ dài (b − a)/2ⁿ.
Hãy giải 4/2ⁿ < 0,0001, nên 2ⁿ > 40000.
n > log₂(40000) = 15,29
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tìm nghiệm và nội suy: phương pháp chia đôi giữ một khoảng [a, b] mà f đổi dấu trên đó; mỗi bước lấy trung điểm c = (a + b)/2 và giữ nửa mà dấu vẫn đổi, nên sau n bước khoảng có độ rộng (b − a)/2ⁿ. Newton–Raphson đi theo tiếp tuyến đến trục: xn+1 = xn − f(xn)/f′(xn); gần một nghiệm đơn nó gần như nhân đôi số chữ số đúng sau mỗi bước. Nội suy tuyến tính giữa hai điểm của bảng: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁).
Điều kiện
4/2ⁿ < 0,0001 → 2ⁿ > 40000
Logarit
n > ln(40000)/ln 2 = 15,29
n = 16
Kiểm tra
2¹⁵ = 32768 < 40000 < 2¹⁶ = 65536
Đáp số
n = 16
Ví dụ 2Trung bình
Hãy xấp xỉ ∫01,5 √(1 + x³) dx bằng quy tắc hình thang với n = 3 dải. Hãy cho T.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1,5]n = 3
Tìm T
Hiện các gợi ý
h = (1,5 − 0)/3 = 0,5; các nút là 0, 0,5, 1, 1,5.
Trọng số: 1, 2, 2, …, 2, 1; T = (h/2)·Σ wᵢfᵢ.
Tổng có trọng số là Σ wᵢfᵢ = 8,041398.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tích phân số: chia [a, b] thành n dải rộng h = (b − a)/n với các nút x₀ … xₙ. Quy tắc hình thang: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. Quy tắc Simpson (n chẵn): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. Sai số của hình thang giảm như h² (chặn (b − a)h²·M/12 với M = max|f″|), của Simpson như h⁴, nên Simpson thường chính xác hơn nhiều với cùng các nút.
Nghiệm số của y′ = f(t, y): phương pháp Euler đi theo độ dốc tại điểm đầu của mỗi bước: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). Phương pháp Heun (Euler cải tiến) lấy trung bình độ dốc tại điểm đầu và tại điểm dự đoán của Euler: k₁ = f(tₙ, yₙ), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁), yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). Phương pháp Runge–Kutta cổ điển (RK4) kết hợp bốn độ dốc: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). Sai số toàn cục của Euler tỉ lệ với h, của Heun với h², của RK4 với h⁴.
Nhiều phương trình và tích phân không có công thức cho đáp án: x = cos x, ∫e−x²dx, hoặc hầu hết các phương trình vi phân. Các phương pháp số tính đáp án từng bước với độ chính xác bất kỳ mà bạn cần.
Ví dụ: f(x) = x² − 2 trên [1, 2]. c₁ = 1,5 cho f = 0,25 > 0, nên giữ [1, 1,5]. c₂ = 1,25 cho f = −0,4375 < 0, nên giữ [1,25, 1,5]. Sau đó c₃ = 1,375.
Làm thế nào để giải bài tập Phương pháp số từng bước?
Với một nghiệm: hãy kiểm tra đổi dấu cho phương pháp chia đôi, hoặc tính f và f′ cho Newton, và giữ sáu chữ số trở lên trong bảng các giá trị lặp.
Với một giá trị trong bảng: hãy nội suy tuyến tính giữa hai điểm lân cận.
Với một tích phân: tìm h = (b − a)/n, liệt kê f tại mọi nút, áp dụng các trọng số (1, 2, …, 2, 1 cho hình thang; 1, 4, 2, …, 4, 1 cho Simpson với n chẵn) và nhân với h/2 hoặc h/3.
Với một phương trình vi phân thường: hãy bước từ t₀ với yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (Euler) hoặc độ dốc trung bình (Heun), một hàng cho mỗi bước, cho đến khi đạt t được yêu cầu.
Những lỗi thường gặp trong Phương pháp số là gì?
Giữ nhầm nửa của khoảng chia đôi, hoặc đếm sai số bước.
Viết x − f′/f thay vì x − f/f′ trong Newton–Raphson.
Cho các nút trong trọng số 1 trong quy tắc hình thang, hoặc dùng Simpson với số dải lẻ.
Làm tròn các giá trị lặp quá sớm.
Làm thiếu hoặc thừa một bước Euler để đến thời điểm cuối.
Các bài tập Phương pháp số bao gồm những gì?
Dễ: nghiệm và nội suy
Trung bình: quy tắc hình thang và Simpson
Khó: Euler, Heun và Runge–Kutta
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.