Kiểm định chi bình phương: bài tập có lời giải từng bước
Bài tập Kiểm định chi bình phương miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: mức độ phù hợp, kiểm định tính độc lập, quyết định theo giá trị tới hạn.
Bài tập miễn phíDễ
Một nhà sản xuất kẹo khẳng định tỉ lệ các màu như trong bảng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 viên kẹo cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương về mức độ phù hợp χ² cho H₀: các tỉ lệ được công bố là đúng.
Kiểm định chi bình phương (χ², “khi bình phương”) so sánh các số đếm. Nó hỏi liệu các số đếm bạn quan sát được có khác các số đếm bạn kỳ vọng nhiều hơn mức ngẫu nhiên hay không.
Ví dụ: bạn gieo một con xúc xắc 60 lần. Nếu nó công bằng, mỗi mặt sẽ xuất hiện khoảng 60 · 1/6 = 10 lần. Đó là các số đếm kỳ vọng E.
Bạn quan sát được 8, 12, 9, 11, 6 và 14. Đây là các số đếm quan sát O. Chúng không bao giờ đúng bằng 10, kể cả với xúc xắc công bằng. Câu hỏi là chúng có lệch quá xa không.
Như trong mọi kiểm định giả thuyết, H₀ nói rằng không có gì đặc biệt xảy ra: xúc xắc công bằng, hoặc hai biến độc lập.
Tự kiểm tra Một con xúc xắc được gieo 120 lần để kiểm tra xem nó có công bằng không. Số đếm kỳ vọng cho mỗi mặt là bao nhiêu?
1/6
120
20
6
Đáp số: 20. E = n · p = 120 · 1/6 = 20. Xác suất 1/6 không phải là số đếm; bạn phải nhân nó với số lần gieo.
2Thống kê kiểm định
Với mỗi hạng mục, lấy hiệu O − E, bình phương nó, và chia cho E. Rồi cộng trên mọi hạng mục:
χ² = Σ (O − E)² / E
Bình phương làm mọi số hạng dương. Chia cho E làm một chênh lệch 4 có ý nghĩa nhiều hơn khi chỉ kỳ vọng 10 so với khi kỳ vọng 1000.
Bậc tự do cho kiểm định độ phù hợp này là df = k − 1, trong đó k là số hạng mục. Sáu mặt cho df = 5.
χ² lớn nghĩa là dữ liệu phù hợp kém với H₀. Bác bỏ H₀ nếu χ² lớn hơn giá trị tới hạn trong bảng. Tại α = 0,05:
df 1: 3,841, df 2: 5,991, df 3: 7,815
df 4: 9,488, df 5: 11,070, df 6: 12,592
Với xúc xắc, 4,2 thấp hơn 11,070, nên không có bằng chứng cho thấy nó không công bằng.
Tự kiểm tra Một hạng mục có O = 14 và E = 10. Nó đóng góp bao nhiêu vào χ²?
0,4
1,6
16
4
Đáp số: 1,6. (14 − 10)²/10 = 16/10 = 1,6. Quên bình phương cho 0,4, và quên chia cho E cho 16.
3Kiểm định tính độc lập
Một bảng tương quan đếm các trường hợp theo hai biến cùng lúc, như phương pháp điều trị (hàng) và kết quả (cột). H₀: hai biến độc lập.
Nếu chúng độc lập, số đếm kỳ vọng trong mỗi ô suy ra từ các tổng:
E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung
Rồi χ² được tính bằng cùng công thức như trước, trên mọi ô của bảng, không kể các tổng.
df = (r − 1)(c − 1)
Ở đây r là số hàng và c là số cột, không kể các tổng. Một bảng 2×2 có df = 1.
Tự kiểm tra Trong một bảng có tổng chung 120, một ô có tổng hàng 40 và tổng cột 30. Số đếm kỳ vọng của nó là bao nhiêu?
10
1200
3
70
Đáp số: 10. E = 40 · 30 / 120 = 1200/120 = 10. 1200 quên chia cho tổng chung.
4Phương pháp từng bước
Phát biểu H₀: các tỉ lệ được tuyên bố là đúng (độ phù hợp), hoặc các biến độc lập.
Tính mọi số đếm kỳ vọng: E = n · p, hoặc tổng hàng × tổng cột / tổng chung.
Với mỗi ô, tính (O − E)²/E. Cộng tất cả để được χ².
Tìm df: k − 1 cho độ phù hợp, (r − 1)(c − 1) cho tính độc lập.
Tra giá trị tới hạn cho df đó tại α = 0,05.
Bác bỏ H₀ nếu χ² lớn hơn giá trị tới hạn. Nêu kết luận bằng lời.
Kiểm tra: các số đếm kỳ vọng trong mỗi hàng và cột cộng lại bằng các tổng giống như số đếm quan sát.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Trong một thử nghiệm, 120 bệnh nhân dùng thuốc mới (hàng A) và 100 dùng giả dược (hàng B). Cột 1 đếm số bệnh nhân khá hơn, cột 2 số không khá hơn. Kiểm định tại α = 0,05 xem kết quả có độc lập với phương pháp điều trị không.
1
Đọc bảng
Tổng hàng: 120 và 100. Tổng cột: 110 và 110. Tổng chung: 220.
Một con xúc xắc được gieo 300 lần để kiểm tra xem nó có cân đối hay không. Số lần xuất hiện của mỗi mặt được cho bên dưới. Tính thống kê chi bình phương về mức độ phù hợp χ² cho H₀: mỗi mặt có xác suất 1/6.
n = 300k = 6
Tìm χ²
Hiện các gợi ý
Số đếm kỳ vọng theo H₀: E = n·p cho mỗi nhóm.
E = 50, 50, 50, 50, 50, 50.
Cộng (O − E)²/E trên tất cả các nhóm.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
df = 5. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 11,070, nên H₀ không bị bác bỏ.
Ví dụ 2Trung bình
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
N = 1802 × 2
Tìm χ²
Hiện các gợi ý
Số đếm kỳ vọng của mỗi ô: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung.
E = 32, 48 | 40, 60.
Cộng (O − E)²/E trên tất cả 4 ô.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Số đếm kỳ vọng
người hút thuốc: 80·72/180 = 32, 80·108/180 = 48
người không hút thuốc: 100·72/180 = 40, 100·108/180 = 60
df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
Ví dụ 3Khó
Kiểm định chi bình phương về tính độc lập được thực hiện trên bảng tiếp liên có 2 hàng và 6 cột (không tính các tổng). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
2 × 6
Tìm df
Hiện các gợi ý
Bậc tự do là số ô có thể thay đổi tự do khi các tổng (và mọi tham số ước lượng) đã được cố định.
Mức độ phù hợp: k − 1, trừ một cho mỗi tham số ước lượng.
Tính độc lập: (r − 1)(c − 1).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bậc tự do
df = (2 − 1)·(6 − 1) = 5
Đáp số
df = 5
Câu hỏi thường gặp
Kiểm định chi bình phương là gì?
Kiểm định chi bình phương (χ², “khi bình phương”) so sánh các số đếm. Nó hỏi liệu các số đếm bạn quan sát được có khác các số đếm bạn kỳ vọng nhiều hơn mức ngẫu nhiên hay không.
Ví dụ: bạn gieo một con xúc xắc 60 lần. Nếu nó công bằng, mỗi mặt sẽ xuất hiện khoảng 60 · 1/6 = 10 lần. Đó là các số đếm kỳ vọng E.
Làm thế nào để giải bài tập Kiểm định chi bình phương từng bước?
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Những lỗi thường gặp trong Kiểm định chi bình phương là gì?
Chia mỗi bình phương hiệu cho số đếm kỳ vọng E, không phải cho số đếm quan sát O.
Chia mỗi bình phương hiệu cho số đếm kỳ vọng E của chính nó trước khi cộng, không phải chia tổng cho n.
Số đếm kỳ vọng được tính từ các tổng biên, không phải chia đều tổng chung: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung.
Các bài tập Kiểm định chi bình phương bao gồm những gì?
Dễ: mức độ phù hợp
Trung bình: kiểm định tính độc lập
Khó: quyết định theo giá trị tới hạn
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.