Dãy số & chuỗi: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Dãy số & chuỗi miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: cấp số cộng và cấp số nhân, hội tụ và chuỗi lũy thừa, đa thức Taylor và Maclaurin.

Bài tập miễn phíDễ
kak​12345678

Hãy tìm tổng S8 của 8 số hạng đầu tiên của cấp số nhân 5, 7,5, 11,25, …

a₁ = 5r = 1,5n = 8
Bài tiếp theo →
Luyện tập Dãy số & chuỗi miễn phíLuyện tập Dãy số & chuỗi ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễcấp số cộng và cấp số nhân
  2. Trung bìnhhội tụ và chuỗi lũy thừa
  3. Khóđa thức Taylor và Maclaurin

Cách giải bài tập Dãy số & chuỗi

  1. Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
  2. Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
  3. Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
  4. Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

Lỗi thường gặp

  • Dùng n thay vì n − 1 trong aₙ = a₁ + (n − 1)d hoặc a₁rⁿ⁻¹.
  • Dùng công thức tổng vô hạn khi |r| ≥ 1, hoặc với số hạng đầu sai.
  • Kết luận hội tụ chỉ vì các số hạng tiến về 0.
  • Đảo ngược giới hạn của tiêu chuẩn tỉ số: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, không phải nghịch đảo của nó.
  • Quên các giai thừa hoặc các dấu đan xen trong một đa thức Taylor.

Công thức chính

Cấp số cộng
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
Cấp số nhân
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Chuỗi nhân vô hạn
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
Chuỗi p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
Tiêu chuẩn tỉ số
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
Bán kính hội tụ
R = lim |ck/ck+1|
Đa thức Taylor
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
Chuỗi Maclaurin
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
Chặn sai số Lagrange
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

Học Dãy số & chuỗi từ đầu

Trước bài này: Giới hạn, Đạo hàm

1Cấp số cộng và cấp số nhân

Một dãy số là một danh sách các số a₁, a₂, a₃, … và một chuỗi là tổng của chúng. Hai loại xuất hiện trong mọi kỳ thi.

Một cấp số cộng cộng cùng một công sai d mỗi bước: 3, 7, 11, 15, … có d = 4.

aₙ = a₁ + (n − 1)d Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2

Với 3, 7, 11, …: a₂₀ = 3 + 19·4 = 79 và S₂₀ = 20·(3 + 79)/2 = 820. Lưu ý n − 1: từ số hạng đầu đến số hạng thứ 20 chỉ có 19 bước.

Một cấp số nhân nhân với cùng một công bội r mỗi bước: 2, 6, 18, … có r = 3.

aₙ = a₁·rⁿ⁻¹ Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
Tự kiểm tra Số hạng thứ 10 của 5, 8, 11, 14, … là bao nhiêu?
  1. 29
  2. 30
  3. 32
  4. 35

Đáp số: 32. d = 3, nên a₁₀ = 5 + 9·3 = 32. Dùng 10·3 thay vì 9·3 cho 35.

2Chuỗi nhân vô hạn

Cứ cộng thêm các số hạng của 2 + 1 + 0,5 + 0,25 + … và tổng tiến dần đến 4 mà không bao giờ vượt qua.

nSₙ4123456789233,5

Khi |r| < 1 số hạng rⁿ trong Sₙ co về 0, và tổng vô hạn tồn tại:

S = a₁/(1 − r), chỉ khi |r| < 1

Ở đây a₁ là số hạng đầu tiên của tổng. Với Σk=2∞ 8·(1/2)ᵏ số hạng đầu tiên là 8·(1/2)² = 2, nên S = 2/(1 − 1/2) = 4.

Khi |r| ≥ 1 các số hạng không co lại và chuỗi không có tổng: nó phân kỳ.

Tự kiểm tra Σk=0∞ 3·(1/4)ᵏ bằng bao nhiêu?
  1. 12
  2. 2,4
  3. 3
  4. 4

Đáp số: 4. Số hạng đầu (k = 0) là 3 và r = 1/4, nên S = 3/(1 − 1/4) = 4. Dùng 1 + r ở mẫu số cho 2,4.

3Một chuỗi có hội tụ không?

Hầu hết các chuỗi không có công thức tổng đơn giản, nhưng bạn vẫn có thể quyết định xem tổng có hữu hạn không. Hãy dùng các phép thử theo thứ tự này:

  1. Tiêu chuẩn số hạng thứ n: nếu các số hạng không tiến về 0, chuỗi phân kỳ. Σ k/(k + 1) phân kỳ vì các số hạng của nó tiến về 1.
  2. Chuỗi chuẩn: Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1 (nên Σ1/k, chuỗi điều hòa, phân kỳ). Σrᵏ chỉ hội tụ khi |r| < 1.
  3. So sánh: 1/(k² + 3) nhỏ hơn 1/k², nên Σ1/(k² + 3) cũng hội tụ.
  4. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không cho đáp án. Hãy dùng nó cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
  5. Chuỗi đan dấu: Σ(−1)ᵏ/k hội tụ, vì các số hạng đan dấu và giảm dần về 0.

Ví dụ: với Σ k/2ᵏ tỉ số là ((k + 1)/k)·(1/2), tiến về L = 1/2 < 1, nên nó hội tụ.

Tự kiểm tra Chuỗi nào trong các chuỗi này phân kỳ?
  1. Σ (2/3)ᵏ
  2. Σ 1/k²
  3. Σ 1/√k
  4. Σ 3ᵏ/k!

Đáp số: Σ 1/√k. 1/√k = 1/k1/2 là chuỗi p với p = 1/2 ≤ 1, nên nó phân kỳ. 1/k² có p = 2, (2/3)ᵏ là chuỗi nhân với r < 1, và tiêu chuẩn tỉ số cho L = 0 với 3ᵏ/k!.

4Chuỗi lũy thừa và bán kính hội tụ

Một chuỗi lũy thừa Σ ck(x − x₀)ᵏ là một đa thức không có điểm dừng. Nó hội tụ với x đủ gần tâm x₀.

Tiêu chuẩn tỉ số trên cả số hạng cho bán kính hội tụ R: chuỗi hội tụ khi |x − x₀| < R và phân kỳ khi |x − x₀| > R.

R = lim |ck/ck+1|

Ví dụ: Σ xᵏ/(k·3ᵏ) có ck/ck+1 = 3(k + 1)/k, tiến về 3. Vậy R = 3 và chuỗi hội tụ với −3 < x < 3.

Tại hai đầu mút phép thử không cho đáp án; hãy kiểm tra chúng riêng nếu câu hỏi yêu cầu toàn bộ khoảng.

5đa thức Taylor và Maclaurin

Gần một điểm a, một hàm trơn trông giống một đa thức. Đa thức Taylor bậc n khớp với giá trị và n đạo hàm đầu tiên tại a:

Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!

Với a = 0 nó được gọi là đa thức Maclaurin. Hãy học thuộc lòng các chuỗi này:

eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …
sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …
cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …
ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …
xeˣP₁P₂1

Bạn lấy càng nhiều số hạng thì đa thức càng gần hàm lâu hơn.

Ví dụ có lời giải

Hãy xấp xỉ e0,5 bằng đa thức Maclaurin bậc 3, và chặn sai số.

1

Viết đa thức

P₃(x) = 1 + x + x²/2 + x³/6
2

Thay x = 0,5

P₃(0,5) = 1 + 0,5 + 0,125 + 0,020833 = 1,645833
3

Chặn sai số Lagrange

Sai số nhiều nhất là M·|x|⁴/4!, trong đó M là giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp 4 eᵗ giữa 0 và 0,5: M = e0,5 ≈ 1,6487.

|R₃| ≤ 1,6487·0,5⁴/24 = 0,0043
4

So sánh

Máy tính cho e0,5 = 1,648721, nên sai số thực là 0,0029, nằm trong chặn.

Đáp số

e0,5 ≈ 1,6458, với sai số nhiều nhất là 0,0043.

6Lỗi thường gặp và câu hỏi thi

  • Dùng n thay vì n − 1 bước cho số hạng thứ n.
  • Viết a/(1 − r) với số hạng đầu sai khi tổng không bắt đầu từ k = 0.
  • Kết luận một chuỗi hội tụ vì các số hạng của nó tiến về 0. Σ1/k là phản ví dụ.
  • Quên các giai thừa trong một đa thức Taylor, hoặc các dấu trừ của sin và cos.
  • Dùng |x|ⁿ/n! thay vì |x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! trong chặn sai số.

Dễ: tổng của cấp số cộng và cấp số nhân. Trung bình: quyết định sự hội tụ, tiêu chuẩn tỉ số và bán kính hội tụ. Khó: đa thức Taylor, các hệ số và chặn sai số của chúng.

Tự kiểm tra Hệ số của x³ trong chuỗi Maclaurin của sin x là bao nhiêu?
  1. 1/3
  2. 1/6
  3. −1/3
  4. −1/6

Đáp số: −1/6. sin x = x − x³/3! + …, và 3! = 6, nên hệ số là −1/6. Quên dấu trừ cho 1/6.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
kak​13579111315ε = 0,2

Cấp số nhân aₙ = 5·0,85ⁿ⁻¹ giảm dần. Hãy tìm chỉ số đầu tiên n để aₙ < 0,2.

a₁ = 5r = 0,85ε = 0,2

Tìm n

Hiện các gợi ý
  1. Hãy giải 5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 bằng logarit.
  2. ln 0,85 là số âm: chia cho nó làm đổi chiều bất đẳng thức.
  3. n − 1 > ln(0,2/5)/ln 0,85 = 19,81
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Cấp số cộng và cấp số nhân: một cấp số cộng cộng cùng một công sai d mỗi bước, aₙ = a₁ + (n − 1)d, và tổng của nó là Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2. Một cấp số nhân nhân với cùng một công bội r, aₙ = a₁·rⁿ⁻¹, với Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r). Khi |r| < 1 các số hạng co lại đủ nhanh để tổng vô hạn tồn tại: S = a₁/(1 − r), trong đó a₁ là số hạng đầu tiên của tổng.

Bất đẳng thức

5·0,85ⁿ⁻¹ < 0,2 → 0,85ⁿ⁻¹ < 0,04

Logarit

(n − 1)·ln 0,85 < ln 0,04 → n − 1 > 19,81
n = 21

Kiểm tra

a20 = 0,227997 ≥ 0,2
a21 = 0,193798 < 0,2

Đáp số

n = 21
Ví dụ 2Trung bình
kSn​12345678910S = ?

Hãy tìm tổng S = Σk=1∞ 12/(k(k + 3)).

ak = 12/(k(k + 3))

Tìm S

Hiện các gợi ý
  1. Phân thức đơn giản: 1/(k(k + 3)) = (1/3)·(1/k − 1/(k + 3)).
  2. Hãy viết ra vài số hạng đầu: hầu hết chúng triệt tiêu nhau (tổng thu gọn).
  3. Phần còn lại là (12/3)·(1 + … + 1/3).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hội tụ: nếu các số hạng không tiến về 0 thì chuỗi phân kỳ (tiêu chuẩn số hạng thứ n). Σ1/kᵖ chỉ hội tụ khi p > 1, và Σrᵏ chỉ khi |r| < 1. Hãy so sánh một chuỗi với một trong các chuỗi này khi các số hạng của nó có dạng giống chúng với k lớn. Tiêu chuẩn tỉ số: L = lim |ak+1/ak|; tiêu chuẩn căn: L = lim |ak|1/k. L < 1 hội tụ, L > 1 phân kỳ, L = 1 không kết luận được. Một chuỗi lũy thừa Σck(x − x₀)ᵏ hội tụ khi |x − x₀| < R với R = lim |ck/ck+1|; một chuỗi đan dấu có các số hạng giảm dần về 0 thì hội tụ.

Phân thức riêng

12/(k(k + 3)) = (12/3)·(1/k − 1/(k + 3))

Hủy

S = (12/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 7,333

Đáp số

S = 7,333
Ví dụ 3Khó

f(x) = cos x được xấp xỉ tại x = 1 bằng đa thức Maclaurin bậc n. Với chặn Lagrange M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! và M = 1, hãy tìm bậc nhỏ nhất n đảm bảo sai số dưới 1 × 10⁻⁶.

f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁶

Tìm n

Hiện các gợi ý
  1. Hãy thử n = 1, 2, 3, … và tính 1·1ⁿ⁺¹/(n + 1)! mỗi lần.
  2. Giai thừa tăng nhanh, nên vài bước là đủ.
  3. Hãy dừng ở n đầu tiên mà chặn nhỏ hơn 1 × 10⁻⁶.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đa thức Taylor: gần x = a một hàm trơn được xấp xỉ bằng Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!; với a = 0 đây là đa thức Maclaurin. Các chuỗi chuẩn: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …, cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …, ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …, 1/(1 − x) = Σxᵏ. Chặn sai số Lagrange: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!, trong đó M là giá trị lớn nhất của |f⁽ⁿ⁺¹⁾| giữa a và x.

n(n + 1)!chặn011120,5260,16673240,0416741200,00833357200,001389650400,00019847403202,48 × 10⁻⁵83628802,756 × 10⁻⁶936288002,756 × 10⁻⁷

Các chặn khi n tăng

n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ ≥ 1 × 10⁻⁶
n = 9: 2,756 × 10⁻⁷ < 1 × 10⁻⁶

Bậc nhỏ nhất

n = 9

Đáp số

n = 9

Câu hỏi thường gặp

Dãy số & chuỗi là gì?

Một dãy số là một danh sách các số a₁, a₂, a₃, … và một chuỗi là tổng của chúng. Hai loại xuất hiện trong mọi kỳ thi.

Một cấp số cộng cộng cùng một công sai d mỗi bước: 3, 7, 11, 15, … có d = 4.

Làm thế nào để giải bài tập Dãy số & chuỗi từng bước?
  1. Hãy nhận ra loại: cấp số cộng (hiệu không đổi), cấp số nhân (tỉ số không đổi), một chuỗi chuẩn, một chuỗi lũy thừa hay một đa thức Taylor.
  2. Với tổng hãy dùng Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r), hoặc S = a₁/(1 − r) khi |r| < 1, với a₁ là số hạng đầu của tổng.
  3. Với sự hội tụ: trước hết là tiêu chuẩn số hạng thứ n, rồi so sánh với Σ1/kᵖ hoặc một chuỗi nhân, và dùng tiêu chuẩn tỉ số hoặc căn cho giai thừa và lũy thừa bậc k.
  4. Với đa thức Taylor hãy liệt kê f(a), f′(a), f″(a), …, chia đạo hàm bậc k cho k!, và chặn sai số bằng M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
Những lỗi thường gặp trong Dãy số & chuỗi là gì?
  • Dùng n thay vì n − 1 trong aₙ = a₁ + (n − 1)d hoặc a₁rⁿ⁻¹.
  • Dùng công thức tổng vô hạn khi |r| ≥ 1, hoặc với số hạng đầu sai.
  • Kết luận hội tụ chỉ vì các số hạng tiến về 0.
  • Đảo ngược giới hạn của tiêu chuẩn tỉ số: R = lim |cₖ/cₖ₊₁|, không phải nghịch đảo của nó.
  • Quên các giai thừa hoặc các dấu đan xen trong một đa thức Taylor.
Các bài tập Dãy số & chuỗi bao gồm những gì?
  • Dễ: cấp số cộng và cấp số nhân
  • Trung bình: hội tụ và chuỗi lũy thừa
  • Khó: đa thức Taylor và Maclaurin

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Giới hạnĐạo hàm

Các môn học có chủ đề này

Toán kỹ thuật 2Giải tích 2Phương pháp sốBài tập AP Calculus

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Dãy số & chuỗi có đáp án
Luyện tập Dãy số & chuỗi miễn phíLuyện tập Dãy số & chuỗi ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.