Khoảng tin cậy: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Khoảng tin cậy miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: khoảng z, khoảng t, cỡ mẫu.

Bài tập miễn phíDễ
LU = ?p̂ = 55/100E90%

Trong một cuộc thăm dò 100 cử tri được chọn ngẫu nhiên, 55 người ủng hộ một đề xuất. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho tỉ lệ người ủng hộ.

n = 100x = 5590%
Bài tiếp theo →
Luyện tập Khoảng tin cậy miễn phíLuyện tập Khoảng tin cậy ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễkhoảng z
  2. Trung bìnhkhoảng t
  3. Khócỡ mẫu

Cách giải bài tập Khoảng tin cậy

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Lỗi thường gặp

  • Quên chia cho √n.
  • Dùng z khi mẫu nhỏ và chưa biết σ.
  • Làm tròn cỡ mẫu xuống thay vì lên.

Công thức chính

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Học Khoảng tin cậy từ đầu

Trước bài này: Phân phối chuẩn

1Khoảng tin cậy là gì

Bạn muốn tìm trung bình μ của cả một tổng thể, ví dụ tuổi thọ trung bình của mọi viên pin một nhà máy sản xuất. Bạn không thể thử tất cả, nên bạn thử một mẫu gồm n viên pin.

Trung bình mẫu x̄ là ước đoán tốt nhất của bạn cho μ, nhưng một mẫu khác sẽ cho x̄ hơi khác. Một con số duy nhất che giấu sự không chắc chắn đó.

Một khoảng tin cậy cho một dải thay vào đó: từ x̄ trừ một biên độ, đến x̄ cộng một biên độ.

55x̄52,0657,94E = 2,94E = 2,94

Khoảng tin cậy 95% được xây dựng bằng một phương pháp bắt được μ thật trong 95% mọi mẫu. Mức tin cậy cao hơn cho khoảng rộng hơn.

Tự kiểm tra Bạn tính khoảng tin cậy 90% và 99% từ cùng một mẫu. Khoảng nào rộng hơn?
  1. Chúng rộng bằng nhau
  2. Khoảng 90%
  3. Khoảng 99%
  4. Phụ thuộc vào trung bình mẫu

Đáp số: Khoảng 99%. Để tự tin hơn rằng khoảng chứa μ, nó phải rộng hơn. Giá trị tới hạn 2,576 của 99% lớn hơn giá trị 1,645 của 90%.

2Khoảng z

Khi độ lệch chuẩn tổng thể σ đã biết, khoảng là:

x̄ ± z · σ / √n

Số hạng σ/√n là sai số chuẩn: mức x̄ biến thiên từ mẫu này sang mẫu khác. Mẫu lớn hơn cho sai số chuẩn nhỏ hơn.

Giá trị tới hạn z phụ thuộc vào mức tin cậy. Hãy học ba giá trị này:

  • 90%: z = 1,645
  • 95%: z = 1,96
  • 99%: z = 2,576

Biên độ sai số là E = z · σ/√n. Khoảng chạy từ x̄ − E (giới hạn dưới) đến x̄ + E (giới hạn trên).

Tự kiểm tra Một mẫu 64 có trung bình 55. σ của tổng thể là 12. Giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% là bao nhiêu?
  1. 55,37
  2. 57,47
  3. 57,94
  4. 78,52

Đáp số: 57,94. E = 1,96 · 12/√64 = 1,96 · 1,5 = 2,94, nên giới hạn trên là 57,94. Quên √n cho 78,52, và 57,47 dùng giá trị 1,645 của 90%.

3Khoảng t và cỡ mẫu

Thường σ không biết. Khi đó bạn dùng độ lệch chuẩn mẫu s, và giá trị tới hạn lấy từ phân phối t:

x̄ ± t · s / √n, df = n − 1

Số bậc tự do df là n − 1. Giá trị t lớn hơn z, nên khoảng rộng hơn: nó tính đến sự không chắc chắn thêm trong s. Với n lớn, t gần bằng z.

Ở 95%: t = 2,262 với df = 9, t = 2,131 với df = 15 và t = 2,045 với df = 29.

Đôi khi bạn phải lập kế hoạch cỡ mẫu: n phải lớn bao nhiêu để biên độ sai số tối đa là E? Giải E = zσ/√n tìm n:

n = (z · σ / E)²

Luôn làm tròn lên số nguyên kế tiếp. Làm tròn xuống sẽ cho biên độ hơi lớn hơn E.

Tự kiểm tra σ = 13. Mẫu phải lớn bao nhiêu để có khoảng 95% với biên độ sai số tối đa là 2?
  1. 13
  2. 162
  3. 163
  4. 650

Đáp số: 163. (1,96 · 13/2)² = 12,74² = 162,3, làm tròn lên 163. Làm tròn xuống 162 cho biên độ vừa trên 2, và 13 quên bình phương.

4Phương pháp từng bước

  1. Ghi n, x̄, và σ hoặc s.
  2. Chọn z (σ đã biết) hoặc t với df = n − 1 (chỉ biết s).
  3. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  4. Tính sai số chuẩn: σ/√n hoặc s/√n.
  5. Biên độ sai số: E = giá trị tới hạn × sai số chuẩn.
  6. Khoảng: từ x̄ − E đến x̄ + E. Đưa ra giới hạn được hỏi.

Với câu hỏi cỡ mẫu: n = (zσ/E)², làm tròn lên.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một mẫu 16 phần tử có trung bình 40 và độ lệch chuẩn s = 6. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm khoảng tin cậy 95% cho trung bình.

1

z hay t?

Chỉ biết độ lệch chuẩn mẫu s, không biết σ. Nên dùng t với df = n − 1 = 15.

t(15) = 2,131 at 95%
2

Sai số chuẩn

s / √n = 6 / √16 = 6 / 4 = 1,5
3

Sai số biên

E = 2,131 · 1,5 = 3,197
4

Khoảng

40 − 3,197 = 36,80, 40 + 3,197 = 43,20
40x̄36,8043,20E = 3,20E = 3,20
5

Kiểm tra đáp án

Với z = 1,96 biên độ sẽ là 2,94. Khoảng t rộng hơn một chút, đúng như phải thế khi σ không biết.

Đáp số

Khoảng tin cậy 95% là [36,80, 43,20].

6Lỗi thường gặp

  • Quên chia cho √n.
  • Dùng z khi mẫu nhỏ và chưa biết σ.
  • Dùng df = n thay vì df = n − 1 cho t.
  • Dùng giá trị 1,645 của 90% cho khoảng 95%.
  • Làm tròn cỡ mẫu xuống thay vì lên.
Tự kiểm tra Một mẫu n = 10 có độ lệch chuẩn s = 5. σ không biết. Bạn dùng giá trị tới hạn nào cho khoảng 95%?
  1. t = 2,228 (df = 10)
  2. t = 2,262 (df = 9)
  3. z = 1,645
  4. z = 1,96

Đáp số: t = 2,262 (df = 9). σ không biết, nên dùng t với df = n − 1 = 9. Dùng z bỏ qua sự không chắc chắn trong s, và df = 10 quên trừ một.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: một khoảng z. σ đã biết; tìm giới hạn dưới hoặc trên.
  • Trung bình: một khoảng t. Chỉ cho s; giá trị t với n − 1 bậc tự do được cho hoặc lấy từ bảng.
  • Khó: cỡ mẫu. Tìm n nhỏ nhất cho một biên độ sai số cho trước, và làm tròn lên.

Một cách kiểm tra nhanh: trung bình mẫu luôn nằm đúng ở giữa khoảng.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
n = 200, σ = 30LU = ?x̄ = 174,5E90%

Một mẫu 200 phép đo có trung bình 174,5. Độ lệch chuẩn của tổng thể được biết là 30. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 200x̄ = 174,5σ = 3090%

Tìm giới hạn trên

Hiện các gợi ý
  1. σ đã biết, nên dùng giá trị tới hạn z.
  2. z = 1,645 (90%).
  3. E = z·σ/√n.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Sai số biên

E = 1,645·30/√200 = 3,49

Khoảng

x̄ ± E = 174,5 ± 3,49 → [171, 178]

Đáp số

giới hạn trên = 178
Ví dụ 2Trung bình
x̄E₁ = 7,895%, n = 50x̄E₂ = ?95%, n = 100

Một khoảng tin cậy 95% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 7,8. Sai số biên E₂ là bao nhiêu nếu cùng nghiên cứu đó dùng 100 quan sát?

95%n₁ = 50E₁ = 7,8n₂ = 100

Tìm E₂

Hiện các gợi ý
  1. E = z·σ/√n, và σ giữ nguyên.
  2. E₂/E₁ = (z₂/z₁)·√(n₁/n₂).
  3. z₁ = 1,96, z₂ = 1,96.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,96/1,96)·√(50/100) = 0,7071

Sai số biên mới

E₂ = 7,8·0,7071 = 5,515

Đáp số

E₂ = 5,515
Ví dụ 3Khó
n = 21Lσ = ?s = 1,295%

Đường kính của 21 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 1,2 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 20, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 9,591 và 2,5% nằm trên 34,17.

n = 21s = 1,2 µmχ² = 9,591, 34,17

Tìm σ (µm)

Hiện các gợi ý
  1. Với tổng thể chuẩn, (n − 1)s²/σ² tuân theo phân phối χ² với n − 1 bậc tự do.
  2. Khoảng cho σ²: từ (n − 1)s²/34,17 đến (n − 1)s²/9,591. Lấy căn bậc hai để được σ.
  3. (n − 1)s² = 28,8.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 20·1,2² = 28,8

Các giới hạn cho σ²

28,8/34,17 = 0,8428
28,8/9,591 = 3,003

Giới hạn cho σ

σ = √3,003 = 1,733 µm

Đáp số

σ = 1,733 µm

Khoảng 95% cho σ: [0,9181, 1,733] µm.

Câu hỏi thường gặp

Khoảng tin cậy là gì?

Bạn muốn tìm trung bình μ của cả một tổng thể, ví dụ tuổi thọ trung bình của mọi viên pin một nhà máy sản xuất. Bạn không thể thử tất cả, nên bạn thử một mẫu gồm n viên pin.

Trung bình mẫu x̄ là ước đoán tốt nhất của bạn cho μ, nhưng một mẫu khác sẽ cho x̄ hơi khác. Một con số duy nhất che giấu sự không chắc chắn đó.

Làm thế nào để giải bài tập Khoảng tin cậy từng bước?
  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.
Những lỗi thường gặp trong Khoảng tin cậy là gì?
  • Quên chia cho √n.
  • Dùng z khi mẫu nhỏ và chưa biết σ.
  • Làm tròn cỡ mẫu xuống thay vì lên.
Các bài tập Khoảng tin cậy bao gồm những gì?
  • Dễ: khoảng z
  • Trung bình: khoảng t
  • Khó: cỡ mẫu

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Phân phối chuẩn

Tiếp tục với

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Máy tính

Máy tính khoảng tin cậyMáy tính cỡ mẫu

Các môn học có chủ đề này

Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý họcThống kê nhập mônThống kê 2: Suy diễn thống kêThực hành dựa trên bằng chứngBài tập AP StatisticsLuyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Khoảng tin cậy có đáp án
Luyện tập Khoảng tin cậy miễn phíLuyện tập Khoảng tin cậy ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.