Đạo hàm: bài tập có lời giải từng bước

1Đạo hàm là gì

Đạo hàm đo mức độ thay đổi nhanh của một đại lượng. Nếu vị trí của ô tô thay đổi 50 km mỗi giờ, vận tốc của nó là 50 km/h: tốc độ thay đổi của vị trí.

Trên đồ thị, đạo hàm tại một điểm là hệ số góc của đường cong tại đó: độ dốc lên hay xuống của nó khi bạn phóng rất gần.

Hệ số góc đó là hệ số góc của tiếp tuyến, đường thẳng chỉ chạm đường cong tại điểm ấy.

Với y = x², tiếp tuyến tại x = 1 có hệ số góc 2. Ta viết f′(1) = 2, đọc là “f phẩy của 1”.

• Đạo hàm dương: đồ thị đi lên.
• Đạo hàm âm: đồ thị đi xuống.
• Đạo hàm bằng không: đồ thị nằm ngang tại đó, ví dụ ở đỉnh hoặc đáy.

2Các quy tắc cơ bản

Bạn không cần dùng giới hạn mỗi lần. Một vài quy tắc là đủ cho hầu hết các hàm.

Đây là quy tắc lũy thừa: đưa số mũ xuống đứng trước và giảm số mũ đi một. Vậy (x³)′ = 3x² và (x)′ = 1.

• Một hằng số đứng riêng có đạo hàm bằng 0: nó không thay đổi.
• Hệ số hằng được giữ nguyên: (5x³)′ = 5 · 3x² = 15x².
• Với một tổng, hãy lấy đạo hàm của từng số hạng riêng.

Hãy học thêm các công thức này: (eˣ)′ = eˣ, (ln x)′ = 1/x, (sin x)′ = cos x và (cos x)′ = −sin x.

3Quy tắc tích và quy tắc dây chuyền

Hai quy tắc nữa xử lý các hàm được xây dựng từ các hàm khác.

Quy tắc tích, cho hai hàm nhân với nhau:

Quy tắc dây chuyền, cho một hàm nằm trong một hàm khác: lấy đạo hàm của hàm ngoài, giữ nguyên hàm trong, rồi nhân với đạo hàm của hàm trong.

Quy tắc thương suy ra từ hai quy tắc này: (u/v)′ = (u′v − uv′) / v².

4Phương pháp từng bước

1. Xem cấu trúc: một tổng các số hạng, một tích, một thương hay một hàm nằm trong một hàm.
2. Viết căn và phân số thành lũy thừa trước: √x = x^1/2 và 1/x² = x⁻².
3. Áp dụng các quy tắc từ ngoài vào trong, từng phần một.
4. Rút gọn kết quả.
5. Nếu đề hỏi một giá trị, chỉ thay số vào ở bước cuối.

Để tìm đỉnh hoặc đáy của đồ thị (một cực trị), giải f′(x) = 0. Đạo hàm bậc hai cho biết đó là loại nào: f″ < 0 là cực đại, f″ > 0 là cực tiểu.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

6Lỗi thường gặp

• Quên đạo hàm của hàm trong trong quy tắc dây chuyền.
• Viết (u · v)′ = u′ · v′. Quy tắc tích có hai số hạng.
• Sai thứ tự trong quy tắc thương: tử số là u′v − uv′, có dấu trừ.
• Thay số trước khi lấy đạo hàm. Hãy lấy đạo hàm trước, rồi mới thay số.
• Coi bội số hằng như 5x³ là một tích. Nó đơn giản hơn: số 5 cứ giữ nguyên.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

• Dễ: một đa thức. Dùng quy tắc lũy thừa và tìm hệ số góc tại một giá trị x cho trước.
• Trung bình: quy tắc dây chuyền hoặc quy tắc tích, ví dụ (2x + 5)⁵ hay x²·e^−x, tính tại một điểm.
• Khó: tiếp tuyến và cực trị. Giải f′(x) = 0 và xác định điểm nào là cực đại.

Cách kiểm tra nhanh cho các câu hỏi về hệ số góc: hình dung đồ thị trong đầu. Nếu nó đi lên tại đó, đáp án của bạn phải dương.