Bài tập Số phức miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: các phép tính ở dạng đại số, dạng cực và dạng mũ, De Moivre, căn và phương trình.
Bài tập miễn phíDễ
Với z₁ = 1 + j4 và z₂ = 5 + j6, hãy tìm phần ảo của w = 2z₁ + 5z̄₂.
Phương trình x² = −1 không có nghiệm thực. Các kỹ sư thêm vào một số mới j với j² = −1. Các nhà toán học viết i; kỹ thuật dùng j vì i đã mang nghĩa dòng điện.
Một số phức có dạng z = a + jb. Số a là phần thực và b là phần ảo: Re(z) = a và Im(z) = b.
Bạn có thể vẽ z như điểm (a, b) trong mặt phẳng Argand: phần thực dọc theo trục ngang, phần ảo dọc theo trục đứng.
Khoảng cách từ gốc là mô-đun |z| = √(a² + b²). Góc từ trục thực dương là argument θ. Ảnh đối xứng qua trục thực, z̄ = a − jb, là số phức liên hợp.
Tự kiểm tra Mô-đun của z = 3 − j4 là bao nhiêu?
25
5
7
−1
Đáp số: 5. |z| = √(3² + (−4)²) = √25 = 5. Cộng 3 và 4 cho 7, và quên căn bậc hai cho 25.
2Cộng, nhân và chia
Cộng và trừ từng phần: (2 + j3) + (1 − j4) = 3 − j.
Đáp số: 2. Đó là một số nhân với số phức liên hợp của nó: 1² + 1² = 2. Viết 1 − j² thành 1 − 1 = 0 là quên rằng j² = −1, nên −j² = +1.
3Dạng cực và dạng mũ
Một điểm cũng có thể được cho bằng khoảng cách và góc của nó: z = r∠θ, với r = |z| và θ = arg z. Trở về dạng đại số với a = r cos θ và b = r sin θ.
z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ
Dạng cuối dùng công thức Euler ejθ = cos θ + j sin θ. Ở dạng mũ θ phải tính theo radian.
Hãy chú ý góc phần tư. Máy tính cho atan(b/a) trong khoảng từ −90° đến 90°. Nếu a < 0 điểm nằm bên trái, nên hãy cộng hoặc trừ 180°.
Ví dụ: z = −2 + j2. Khi đó r = √8 = 2,828. Góc tham chiếu là atan(2/2) = 45°, và điểm nằm ở góc phần tư thứ hai, nên θ = 180° − 45° = 135°.
Tự kiểm tra Argument của z = −1 − j, trong khoảng từ −180° đến 180°, là bao nhiêu?
135°
45°
−135°
−45°
Đáp số: −135°. Điểm nằm ở góc phần tư thứ ba. Góc tham chiếu là 45°, nên θ = −(180° − 45°) = −135°. atan(−1/−1) = 45° chỉ về góc phần tư đối diện.
4Phép nhân ở dạng cực, lũy thừa và căn
Ở dạng cực phép nhân rất dễ: nhân các mô-đun và cộng các argument. Với phép chia, chia các mô-đun và trừ các argument.
(r₁∠θ₁)(r₂∠θ₂) = r₁r₂∠(θ₁ + θ₂)
Lặp lại điều này cho định lý De Moivre: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ.
Phương trình zⁿ = R∠φ có đúng n nghiệm. Tất cả đều có mô-đun R1/n và các argument (φ + 360°·k)/n với k = 0, 1, …, n − 1.
Với z³ = 8 = 8∠0°: mô-đun là 2 và các argument là 0°, 120° và 240° (tức −120°). Các nghiệm tạo thành một tam giác đều trên đường tròn.
Một phương trình bậc hai z² + pz + q = 0 với p² < 4q có các nghiệm phức −p/2 ± j√(q − p²/4). Đa thức hệ số thực luôn có các nghiệm phức thành từng cặp liên hợp.
5Một ví dụ có lời giải
Lũy thừa của những số như 1 + j nhanh hơn nhiều ở dạng cực so với nhân khai triển.
Ví dụ có lời giải
Hãy tính (1 + j)6 bằng định lý De Moivre.
1
Viết 1 + j ở dạng cực
r = √(1² + 1²) = √2. Điểm nằm ở góc phần tư thứ nhất, nên θ = atan(1/1) = 45°.
1 + j = √2∠45°
2
Áp dụng De Moivre
Hãy nâng mô-đun lên lũy thừa 6 và nhân góc với 6.
(√2)6 = 8, 6·45° = 270°
3
Đưa góc về khoảng chuẩn
270° cùng hướng với −90°.
(1 + j)6 = 8∠−90°
4
Trở về dạng đại số
8(cos(−90°) + j sin(−90°)) = 8(0 − j) = −j8
Đáp số
(1 + j)6 = −j8: phần thực 0, phần ảo −8.
6Lỗi thường gặp và câu hỏi thi
Quên rằng j² = −1 khi nhân khai triển, nên một số hạng có dấu sai.
Chia từng phần: (a + jb)/(c + jd) không phải là a/c + jb/d. Hãy dùng số phức liên hợp.
Lấy atan(b/a) làm argument khi a < 0. Hãy phác điểm trước.
Dùng độ trong ejθ, hoặc để máy tính ở chế độ radian với r∠θ cho theo độ.
Trong De Moivre: quên nâng mô-đun lên lũy thừa, hoặc chỉ cho một nghiệm của zⁿ = w.
Các câu hỏi Dễ hỏi một phần của một tích, thương hay tổng. Các câu Trung bình chuyển đổi giữa dạng đại số, dạng cực và dạng mũ. Các câu Khó dùng De Moivre, căn bậc n và phương trình đa thức.
Tự kiểm tra z₁ = 2∠30° và z₂ = 4∠50°. z₁·z₂ bằng bao nhiêu?
6∠80°
8∠1500°
8∠20°
8∠80°
Đáp số: 8∠80°. Hãy nhân các mô-đun (2·4 = 8) và cộng các argument (30° + 50° = 80°). Cộng các mô-đun cho 6, và nhân các góc thì vô nghĩa.
Với z₁ = −7 + j và z₂ = 4 + j2, hãy tìm phần thực của tích z₁·z₂.
z₁ = −7 + jz₂ = 4 + j2
Tìm Re(z₁z₂)
Hiện các gợi ý
Hãy khai triển các dấu ngoặc như (a + b)(c + d), cho bốn số hạng.
Hãy thay j² bằng −1 để một trong bốn số hạng trở thành số thực.
(−7 + j)(4 + j2) = (−28) + j(−14) + j4 + j²·2
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Số phức: z = a + jb có phần thực a và phần ảo b, với j² = −1 (các nhà toán học viết i). Cộng và trừ từng phần; nhân khai triển các dấu ngoặc và thay j² bằng −1; chia bằng cách nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu, z̄ = a − jb, vì z·z̄ = a² + b² là số thực. Trên mặt phẳng Argand, z là điểm (a, b): khoảng cách của nó đến gốc là mô-đun |z| = √(a² + b²), và góc tính từ trục thực dương là argument θ.
Hãy viết z = 4∠160° ở dạng đại số a + jb và cho phần ảo b.
r = 4θ = 160°
Tìm b
Hiện các gợi ý
a = r·cos θ và b = r·sin θ.
sin(160°) = 0,342
Hãy nhân với r = 4.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Dạng cực: z = r∠θ = r(cos θ + j sin θ) = r·ejθ, với r = |z| và θ = arg z. Trở về dạng đại số: a = r cos θ, b = r sin θ. Argument cần xét góc phần tư: θ = atan(b/a) chỉ khi a > 0; với a < 0 hãy cộng hoặc trừ 180°. Ở dạng cực phép nhân rất dễ: nhân các mô-đun và cộng các argument; với phép chia, chia các mô-đun và trừ các argument.
Các thành phần
a = 4·cos(160°) = −3,759
b = 4·sin(160°) = 1,368
Dạng đại số
z = −3,759 + j1,368
b = 1,368
Đáp số
b = 1,368
Ví dụ 3Khó
Các nghiệm của zⁿ = w với n = 4 và w = 16∠−60° là zk = R1/n∠((φ + 360°·k)/n), k = 0, 1, 2, 3. Hãy tìm phần thực của z₂.
w = 16∠−60°n = 4k = 2
Tìm Re(z₂)
Hiện các gợi ý
Mọi nghiệm có mô-đun R1/n = 161/4 = 2.
Argument của z₂ là (φ + 360°·k)/n với φ = −60°, k = 2 và n = 4.
a = R1/n·cos(165°).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
De Moivre và căn: (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ. Phương trình zⁿ = R∠φ có đúng n nghiệm, tất cả có mô-đun R1/n, tại các argument (φ + 360°·k)/n với k = 0, 1, …, n − 1: chúng nằm cách đều nhau trên một đường tròn, cách nhau 360°/n. Một phương trình bậc hai z² + pz + q = 0 với p² < 4q có các nghiệm phức z = −p/2 ± j√(q − p²/4); một đa thức hệ số thực luôn có các nghiệm phức thành từng cặp liên hợp a ± jb.
Mô-đun của các nghiệm
161/4 = 2
Argument của nghiệm
θ₂ = (−60° + 360°·2)/4 = 165°
Dạng đại số
z₂ = 2·(cos 165° + j sin 165°) = −1,932 + j0,5176
Re(z₂) = −1,932
Đáp số
Re(z₂) = −1,932
4 nghiệm nằm trên đường tròn bán kính 2, cách nhau 90°.
Câu hỏi thường gặp
Số phức là gì?
Phương trình x² = −1 không có nghiệm thực. Các kỹ sư thêm vào một số mới j với j² = −1. Các nhà toán học viết i; kỹ thuật dùng j vì i đã mang nghĩa dòng điện.
Một số phức có dạng z = a + jb. Số a là phần thực và b là phần ảo: Re(z) = a và Im(z) = b.
Làm thế nào để giải bài tập Số phức từng bước?
Hãy quyết định dạng nào phù hợp với phép toán: dạng đại số a + jb để cộng và trừ, dạng cực r∠θ để nhân, chia, lũy thừa và căn.
Hãy nhân khai triển với j² = −1; chia bằng cách nhân tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.
Hãy đổi bằng r = √(a² + b²) và θ từ hình phác của điểm (kiểm tra góc phần tư), và đổi ngược lại bằng a = r cos θ, b = r sin θ.
Với lũy thừa hãy dùng De Moivre, (r∠θ)ⁿ = rⁿ∠nθ; với zⁿ = R∠φ hãy liệt kê cả n nghiệm R1/n∠((φ + 360°k)/n).
Những lỗi thường gặp trong Số phức là gì?
Coi j² là +1 khi nhân khai triển.
Chia riêng phần thực và phần ảo.
Lấy atan(b/a) làm argument cho một điểm ở nửa mặt phẳng bên trái.
Lẫn lộn độ và radian, đặc biệt trong ejθ.
Chỉ cho một nghiệm của zⁿ = w, hoặc quên lấy căn bậc n của mô-đun.
Các bài tập Số phức bao gồm những gì?
Dễ: các phép tính ở dạng đại số
Trung bình: dạng cực và dạng mũ
Khó: De Moivre, căn và phương trình
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.