Xác suất: bài tập có lời giải từng bước

1Xác suất là gì

Xác suất là một số từ 0 đến 1 cho biết khả năng xảy ra của một việc. 0 nghĩa là không bao giờ xảy ra, 1 nghĩa là luôn xảy ra.

Khi mọi kết quả đồng khả năng, hãy đếm chúng:

Một túi có 3 bi đỏ, 5 bi xanh dương và 2 bi xanh lá, tổng cộng 10. Nếu bạn rút ngẫu nhiên một bi, P(xanh dương) = 5/10 = 0,5.

Một con xúc xắc cân đối có 6 mặt, nên P(sáu) = 1/6 ≈ 0,167 và P(chẵn) = 3/6 = 0,5.

Xác suất cũng có thể viết dưới dạng phần trăm: 0,5 là 50%. Đáp án bài thi thường là số thập phân giữa 0 và 1.

2Các quy tắc kết hợp biến cố

• Biến cố bù: P(không A) = 1 − P(A). Dùng cho câu hỏi “ít nhất một”: P(ít nhất một) = 1 − P(không có).
• Và, các biến cố độc lập: nhân. Hai đồng xu cân đối cho P(hai mặt ngửa) = 0,5 · 0,5 = 0,25.
• Hoặc: P(A hoặc B) = P(A) + P(B) − P(A và B). Trừ phần giao để không đếm hai lần.

Rút không hoàn lại làm thay đổi cái túi. Sau khi lấy ra một bi đỏ, số bi đỏ ít đi một và tổng số bi cũng ít đi một.

Với 5 bi đỏ và 4 bi xanh dương, P(hai bi đỏ) = 5/9 · 4/8 = 20/72 ≈ 0,278.

Để đếm các nhóm mà thứ tự không quan trọng, dùng tổ hợp. Số cách chọn k phần tử từ n là:

Ở đây n! = n · (n − 1) · … · 1. Vậy C(6, 4) = 720 / (24 · 2) = 15 ủy ban gồm 4 người từ 6 người.

3Phân phối nhị thức

Một số câu hỏi lặp lại cùng một phép thử n lần: kiểm tra 5 linh kiện, đoán 8 đáp án, tung đồng xu 3 lần. Mỗi phép thử thành công với xác suất p, độc lập với các phép thử khác.

Số lần thành công X khi đó tuân theo phân phối nhị thức:

• pᵏ: k lần thành công.
• (1 − p)ⁿ⁻ᵏ: n − k lần thất bại.
• C(n, k): số thứ tự khác nhau mà các lần thành công có thể rơi vào.

Với “nhiều nhất một”, cộng P(X = 0) và P(X = 1). Với “ít nhất một”, dùng 1 − P(X = 0).

4Phương pháp từng bước

1. Ghi lại một kết quả là gì và có tổng cộng bao nhiêu kết quả.
2. Chuyển lời văn thành phép tính: “và” nghĩa là nhân, “hoặc” nghĩa là cộng (trừ phần giao), “không” nghĩa là 1 − P.
3. Với “ít nhất một”, hãy tính biến cố bù “không có” trước.
4. Không hoàn lại: giảm số đếm sau mỗi lần rút. Hoặc đếm bằng tổ hợp.
5. Các phép thử độc lập lặp lại với p cố định: dùng công thức nhị thức.
6. Kiểm tra đáp án nằm giữa 0 và 1.

Sơ đồ cây hữu ích khi có nhiều bước: nhân dọc theo một nhánh, và cộng các nhánh bạn cần.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

6Lỗi thường gặp

• Cộng các xác suất cho “ít nhất một” thay vì dùng 1 − P(không có).
• Quên giảm số đếm khi rút không hoàn lại.
• Quên thừa số C(n, k) trong công thức nhị thức.
• Chia cho tổng sai, ví dụ chỉ các màu còn lại.
• Đưa ra xác suất lớn hơn 1 hoặc nhỏ hơn 0. Đó luôn là dấu hiệu của lỗi.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

• Dễ: các kết quả đồng khả năng. Một lần rút từ túi bi màu, hoặc một lần tung xúc xắc.
• Trung bình: đếm và biến cố bù. Ủy ban với C(n, k), hoặc hai lần rút không hoàn lại.
• Khó: phân phối nhị thức. Đúng k lần thành công, hoặc “nhiều nhất một” là P(X = 0) + P(X = 1).

Hãy đưa đáp án dưới dạng số thập phân giữa 0 và 1, làm tròn đến ba hoặc bốn chữ số thập phân.