Bài tập Tối ưu hóa miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: diện tích hoặc thể tích lớn nhất, chi phí hoặc vật liệu nhỏ nhất, lợi nhuận và doanh thu.
Bài tập miễn phíDễ
Một nông dân có 240 m hàng rào để rào một thửa ruộng hình chữ nhật dọc theo một con sông thẳng. Không cần rào phía bờ sông. Tìm diện tích lớn nhất A có thể rào được.
Tối ưu hóa nghĩa là tìm giá trị tốt nhất: diện tích lớn nhất với một chiều dài hàng rào cho trước, lượng kim loại ít nhất cho một cái hộp, hoặc lợi nhuận cao nhất.
Đại lượng bạn muốn làm lớn nhất hoặc nhỏ nhất phụ thuộc vào một biến, chẳng hạn chiều rộng x của một cánh đồng.
Hãy hình dung đồ thị của nó. Ở đỉnh đồi và ở đáy thung lũng, đồ thị phẳng trong một khoảnh khắc. Vì vậy độ dốc ở đó bằng không.
Đó là ý tưởng then chốt: tại cực đại hay cực tiểu, đạo hàm bằng 0. Bạn tìm x tốt nhất bằng cách giải Q′(x) = 0.
Tự kiểm tra Diện tích A(x) của một cánh đồng có giá trị lớn nhất tại x = 12. A′(12) bằng bao nhiêu?
0
Bằng A(12)
Một số dương
Một số âm
Đáp số: 0. Ở đỉnh của đồ thị, tiếp tuyến nằm ngang, nên độ dốc bằng 0. Độ dốc dương nghĩa là diện tích vẫn đang tăng.
2Mục tiêu và ràng buộc
Mọi bài toán tối ưu hóa có hai phần. Hãy gọi tên chúng trước khi tính bất cứ điều gì.
Mục tiêu: đại lượng cần cực đại hoặc cực tiểu hóa, như diện tích A hoặc chi phí C.
Ràng buộc: một điều kiện cố định, như tổng chiều dài hàng rào hoặc thể tích mà một cái hộp phải chứa.
Mục tiêu thường có hai biến, chẳng hạn A = x · y. Bạn chưa thể lấy đạo hàm nó.
Dùng ràng buộc để viết y theo x. Khi đó mục tiêu chỉ phụ thuộc vào x.
Ví dụ: một hình chữ nhật có chu vi 20 m có 2x + 2y = 20, nên y = 10 − x và A(x) = x(10 − x) = 10x − x².
Hãy vẽ hình phác trước và ghi mọi chiều dài lên đó. Hầu hết lỗi xảy ra ở ràng buộc.
Tự kiểm tra Một cánh đồng dọc bờ sông được rào ba cạnh bằng 40 m: hai cạnh dài x và một cạnh y song song với sông. Ràng buộc là gì?
2x + 2y = 40
2x + y = 40
x + y = 40
x · y = 40
Đáp số: 2x + y = 40. Có ba hàng rào: x, x và y. Cạnh sông không cần rào. 2x + 2y sẽ là một hình chữ nhật đầy đủ với bốn cạnh được rào.
3Bài toán chi phí và lợi nhuận
Trong các bài toán kinh doanh, mục tiêu là lợi nhuận: doanh thu trừ chi phí.
P(q) = R(q) − C(q), R = p · q
Ở đây q là số đơn vị bán ra và p là giá mỗi đơn vị. Nếu giá phụ thuộc vào q, hãy đưa công thức đó vào R trước.
Ví dụ: giá là p = 60 − q và chi phí là C = 100 + 30q.
R = (60 − q)·q = 60q − q²
P = 60q − q² − 100 − 30q = −q² + 30q − 100
P′(q) = −2q + 30 = 0 ⇒ q = 15
Khi đó giá tốt nhất là p = 60 − 15 = €45. Hãy đọc kỹ câu hỏi: nó có thể hỏi q, p hay chính lợi nhuận P.
Tự kiểm tra Một sản phẩm bán €40 mỗi đơn vị. Chi phí của q đơn vị là C = 100 + 10q + 0,5q² euro. Sản lượng q nào cho lợi nhuận cao nhất?
15
30
40
60
Đáp số: 30. P = 40q − 100 − 10q − 0,5q², nên P′ = 30 − q = 0 và q = 30. Quên số 2 khi lấy đạo hàm 0,5q² cho 60.
4Phương pháp từng bước
Vẽ hình phác và đặt tên các biến.
Viết mục tiêu Q (diện tích, chi phí, lợi nhuận) và ràng buộc.
Dùng ràng buộc để viết Q như một hàm của một biến, Q(x).
Lấy đạo hàm và giải Q′(x) = 0.
Kiểm tra đó có đúng loại điểm không: Q″ < 0 cho cực đại, Q″ > 0 cho cực tiểu.
Trả lời câu hỏi được hỏi: x, cạnh còn lại, hay chính giá trị tốt nhất của Q, kèm đơn vị.
5Một ví dụ có lời giải
Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.
Ví dụ có lời giải
Một người nông dân có 60 m hàng rào cho một cánh đồng hình chữ nhật dọc một con sông thẳng. Không cần rào dọc bờ sông. Tìm cạnh y song song với sông và diện tích lớn nhất A.
1
Hình phác và ràng buộc
Sông ở phía trên, nên chỉ ba cạnh cần rào: hai cạnh x và một cạnh y.
2x + y = 60 ⇒ y = 60 − 2x
2
Diện tích theo một biến
A = x · y = x(60 − 2x) = 60x − 2x²
3
Cho đạo hàm bằng không
A′(x) = 60 − 4x = 0 ⇒ x = 15 m
4
Đó có phải là cực đại không?
A″(x) = −4 < 0
Đạo hàm bậc hai âm, nên x = 15 m cho diện tích lớn nhất.
5
Cạnh còn lại và diện tích
y = 60 − 2 · 15 = 30 m
A = 15 · 30 = 450 m²
6
Kiểm tra đáp án
Thử một giá trị ở mỗi phía. x = 14 cho 14 · 32 = 448 m², và x = 16 cho 16 · 28 = 448 m². Cả hai đều nhỏ hơn 450 m².
Đáp số
y = 30 m và diện tích lớn nhất là A = 450 m².
6Lỗi thường gặp
Đưa ra đáp án cho đại lượng sai: câu hỏi hỏi y, còn bạn đưa x.
Lấy đạo hàm một mục tiêu vẫn còn hai biến. Hãy dùng ràng buộc trước.
Viết sai ràng buộc, chẳng hạn rào cả cạnh sông.
Không kiểm tra điểm đó là cực đại hay cực tiểu.
Quên đơn vị, hoặc cho diện tích theo m thay vì m².
Tự kiểm tra Với 40 m hàng rào dọc một con sông (2x + y = 40), chiều rộng tốt nhất là x = 10 m. Câu hỏi hỏi cạnh y song song với sông. Bạn trả lời thế nào?
10 m
20 m
200 m²
40 m
Đáp số: 20 m. y = 40 − 2 · 10 = 20 m. Trả lời 10 m là cho x thay vì y, và 200 m² là diện tích, không phải một cạnh.
7Các câu hỏi thi trông như thế nào
Dễ: diện tích hoặc thể tích lớn nhất, như một cánh đồng dọc bờ sông hoặc một chuồng được chia bằng một hàng rào phụ.
Trung bình: chi phí hoặc vật liệu nhỏ nhất, như một cái hộp kín (V = πr²h, A = 2πr² + 2πrh) hoặc một hàng rào có hai mức giá mỗi mét.
Khó: lợi nhuận và doanh thu. Lập P = R − C, giải P′(q) = 0, rồi tìm giá hoặc lợi nhuận lớn nhất.
Một cách kiểm tra nhanh: thay một giá trị hơi lớn hơn và hơi nhỏ hơn đáp án của bạn vào Q. Cả hai đều phải tệ hơn.
Một chiếc hộp hở được làm từ một tấm bìa cứng hình vuông 18 cm × 18 cm bằng cách cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau có cạnh x ở bốn góc rồi gập các cạnh lên. Tìm thể tích lớn nhất có thể V.
18 cm × 18 cm
Tìm V(cm³)
Hiện các gợi ý
Đáy có kích thước (18 − 2x) × (18 − 2x) và chiều cao là x.
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0. Chỉ nghiệm thỏa 0 < x < 9 mới có ý nghĩa.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
Thể tích theo x
V(x) = x·(18 − 2x)·(18 − 2x) = 4x3 − 72x2 + 324x
Cho đạo hàm bằng không
Nghiệm lớn hơn cho cạnh đáy ≤ 0, nên nằm ngoài khoảng cho phép.
V′(x) = 12x2 − 144x + 324 = 0
x = 3 hoặc x = 9
x = 3 cm
Thể tích
V = 3·12·12 = 432 cm³
Đáp số
V = 432 cm³
Ví dụ 2Trung bình
Một hộp trụ kín (có nắp trên và đáy) phải chứa được 400 cm³. Lượng kim loại dùng tỉ lệ với tổng diện tích bề mặt. Tìm diện tích bề mặt nhỏ nhất có thể A.
V = 400 cm³
Tìm A(cm²)
Hiện các gợi ý
Dùng thể tích để khử h: πr²h = 400, nên h = 400/(πr²).
A(r) = 2πr² + 2·400/r.
A′(r) = 4πr − 2·400/r² = 0 → r³ = 400/(2π).
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
Diện tích theo r
h = 400/(πr²)
A(r) = 2πr² + 800/r
Cho đạo hàm bằng không
A″(r) = 4π + 1600/r³ > 0, nên đây là cực tiểu.
4πr − 800/r² = 0 → r = ∛(400/(2π)) = 3,993 cm
Chiều cao và diện tích
h = 400/(π·3,993²) = 2r = 7,986 cm
A = 2π·3,993² + 800/3,993 = 300,5 cm²
Đáp số
A = 300,5 cm²
Hộp kín rẻ nhất có chiều cao bằng đường kính: h = 2r.
Ví dụ 3Khó
Một nhà hát bán 580 vé mỗi suất diễn với giá €10 mỗi vé. Nghiên cứu thị trường cho thấy cứ tăng giá vé €1 thì bán được ít hơn 20 vé (và cứ giảm €1 thì bán thêm 20 vé). Tìm doanh thu lớn nhất R mỗi suất diễn.
580 × €1020 / €1
Tìm R(€)
Hiện các gợi ý
Số vé bán được ở giá p: n(p) = 580 − 20·(p − 10) = 780 − 20p.
R(p) = p·(780 − 20p) = 780p − 20p².
R′(p) = 780 − 40p = 0.
Hiện đáp án và lời giải từng bước
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
Doanh thu theo hàm của giá
n(p) = 780 − 20p
R(p) = 780p − 20p²
Cho đạo hàm bằng không
R″(p) = −40 < 0, nên đây là cực đại.
p = 780/40 = €19,5
Doanh thu lớn nhất
n = 780 − 20·19,5 = 390
R = 19,5·390 = €7605
Đáp số
R = €7605
Câu hỏi thường gặp
Tối ưu hóa là gì?
Tối ưu hóa nghĩa là tìm giá trị tốt nhất: diện tích lớn nhất với một chiều dài hàng rào cho trước, lượng kim loại ít nhất cho một cái hộp, hoặc lợi nhuận cao nhất.
Đại lượng bạn muốn làm lớn nhất hoặc nhỏ nhất phụ thuộc vào một biến, chẳng hạn chiều rộng x của một cánh đồng.
Làm thế nào để giải bài tập Tối ưu hóa từng bước?
Tối ưu hóa: viết đại lượng cần tối ưu thành hàm của một biến, dùng điều kiện ràng buộc để khử biến còn lại. Cho đạo hàm bằng 0 và giải. Kiểm tra điểm tới hạn là cực đại hay cực tiểu (dùng đạo hàm cấp hai hoặc sự đổi dấu của đạo hàm cấp một) và nằm trong khoảng cho phép; một đầu mút như cạnh có độ dài bằng 0 không phải là đáp án.
Những lỗi thường gặp trong Tối ưu hóa là gì?
Mỗi cạnh đáy mất một hình vuông ở cả hai đầu, nên các cạnh đáy là a − 2x và b − 2x, không phải a − x và b − x.
Hộp kín: hãy tính cả nắp trên và đáy, A = 2πr² + 2πrh.
Đó là doanh thu ở mức giá hiện tại. Trước hết hãy tìm giá mà R′(p) = 0.
Các bài tập Tối ưu hóa bao gồm những gì?
Dễ: diện tích hoặc thể tích lớn nhất
Trung bình: chi phí hoặc vật liệu nhỏ nhất
Khó: lợi nhuận và doanh thu
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Cách luyện tập hoạt động
Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.