Tích phân: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Tích phân miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: đa thức, hàm mũ, logarit và phép đổi biến, diện tích giữa các đường cong.

Bài tập miễn phíDễ
xy−2−1

Tính I = ∫−2−1 (4x2 − 4x + 5) dx.

f(x) = 4x2 − 4x + 5[−2, −1]
Bài tiếp theo →
Luyện tập Tích phân miễn phíLuyện tập Tích phân ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễđa thức
  2. Trung bìnhhàm mũ, logarit và phép đổi biến
  3. Khódiện tích giữa các đường cong

Cách giải bài tập Tích phân

  1. Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
  3. Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).

Lỗi thường gặp

  • Quên chia cho lũy thừa mới.
  • Không đổi cận sau khi đổi biến.
  • Quên + C trong tích phân bất định.

Công thức chính

Quy tắc lũy thừa
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
Tích phân xác định
∫ab f dx = F(b) − F(a)
Các tích phân thường gặp
∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
Diện tích giữa các đường cong
∫ab (f − g) dx

Học Tích phân từ đầu

Trước bài này: Đạo hàm

1Tích phân là gì

Tích phân cộng dồn một đại lượng đang thay đổi. Hình ảnh rõ nhất là diện tích dưới một đồ thị.

Một chiếc xe chạy với tốc độ 20 m/s trong 5 s. Nó đi được 20 · 5 = 100 m. Trên đồ thị tốc độ–thời gian, đó là diện tích hình chữ nhật dưới đường thẳng.

xy520100

Khi tốc độ thay đổi, hình dưới đồ thị là đường cong, nhưng ý tưởng vẫn như vậy: diện tích là quãng đường.

Ta viết diện tích dưới f giữa x = a và x = b là:

∫ab f(x) dx

Các số a và b là các cận của tích phân. dx cho bạn biết x là biến số.

Tự kiểm tra Một người đi xe đạp với tốc độ không đổi 10 m/s trong 4 s. Diện tích dưới đồ thị tốc độ–thời gian là bao nhiêu?
  1. 10 m
  2. 14 m
  3. 2,5 m
  4. 40 m

Đáp số: 40 m. Diện tích là một hình chữ nhật: chiều cao 10 m/s nhân chiều rộng 4 s cho 40 m. Chia 10 cho 4 cho 2,5, đó không phải là một diện tích.

2Nguyên hàm và quy tắc lũy thừa

Lấy tích phân là lấy đạo hàm ngược lại. Một nguyên hàm F của f là một hàm có đạo hàm là f.

Vì (x³)′ = 3x², một nguyên hàm của 3x² là x³. Có thể cộng thêm một hằng số bất kỳ, nên ta viết ∫3x² dx = x³ + C.

Quy tắc lũy thừa cho tích phân: tăng số mũ lên một, rồi chia cho số mũ mới.

∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C, n ≠ −1
  • Hệ số hằng đứng nguyên phía trước: ∫5x² dx = 5x³/3 + C.
  • Một hằng số đứng riêng: ∫4 dx = 4x + C.
  • Trong một tổng, hãy lấy tích phân từng số hạng riêng.

Hãy học thêm những tích phân này: ∫eˣ dx = eˣ, ∫ekx dx = ekx/k, ∫1/x dx = ln|x|, ∫cos x dx = sin x và ∫sin x dx = −cos x.

Bạn luôn có thể kiểm tra một nguyên hàm: lấy đạo hàm của nó, và bạn phải nhận lại hàm ban đầu.

Tự kiểm tra ∫6x² dx bằng bao nhiêu?
  1. 12x + C
  2. 2x³ + C
  3. 3x³ + C
  4. 6x³ + C

Đáp số: 2x³ + C. Tăng số mũ lên 3 và chia cho 3: 6x³/3 = 2x³. 12x là đạo hàm, không phải tích phân, và 6x³ là quên chia cho số mũ mới.

3Tích phân xác định và diện tích

Một tích phân xác định có các cận và cho ra một con số. Tìm một nguyên hàm F, rồi lấy hiệu các giá trị của nó tại hai cận.

∫ab f(x) dx = F(b) − F(a)

Hằng số C bị triệt tiêu khi trừ, nên ở đây có thể bỏ nó đi.

Ví dụ: ∫13 3/x dx = 3 ln 3 − 3 ln 1 = 3 ln 3 ≈ 3,296, vì ln 1 = 0.

Phép thế hữu ích khi một hàm nằm bên trong hàm khác. Với e0,5x, đặt u = 0,5x. Kết quả là quy tắc ở trên: chia cho 0,5.

∫03 e0,5x dx = 2e0,5x |03 = 2(e1,5 − 1) ≈ 6,963

Diện tích giữa hai đường cong là tích phân của đường cong trên trừ đường cong dưới, giữa các điểm mà chúng gặp nhau.

Với y = 2x và y = x², các đường cong gặp nhau tại x = 0 và x = 2. Trên khoảng đó 2x nằm ở trên.

A = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3
Tự kiểm tra Các đường cong y = x và y = x² gặp nhau tại x = 0 và x = 1. Giữa chúng, y = x nằm ở trên. Diện tích được bao quanh là bao nhiêu?
  1. 1/2
  2. 1/6
  3. 5/6
  4. −1/6

Đáp số: 1/6. ∫(x − x²) dx từ 0 đến 1 bằng 1/2 − 1/3 = 1/6. Lấy dưới trừ trên cho −1/6, và cộng hai tích phân cho 5/6.

4Phương pháp từng bước

  1. Viết lại hàm thành tổng các số hạng đơn giản. Viết căn và phân số dưới dạng lũy thừa: √x = x1/2.
  2. Tìm nguyên hàm của từng số hạng bằng quy tắc lũy thừa hoặc một tích phân chuẩn.
  3. Kiểm tra nhanh bằng cách lấy đạo hàm nhẩm.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) và F(a) riêng.
  5. Trừ: F(b) − F(a). Chú ý dấu trừ khi a âm.

Với diện tích giữa các đường cong, trước hết giải f(x) = g(x) để tìm các cận, rồi lấy tích phân của trên trừ dưới.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Tính I = ∫02 (3x² + 2x + 1) dx.

1

Lấy tích phân từng số hạng

3x² cho 3x³/3 = x³. 2x cho 2x²/2 = x². Hằng số 1 cho x.

F(x) = x³ + x² + x
2

Kiểm tra bằng cách lấy đạo hàm

F′(x) = 3x² + 2x + 1

Đây là hàm ban đầu, nên F đúng.

3

Giá trị tại cận trên

F(2) = 8 + 4 + 2 = 14
4

Giá trị tại cận dưới

F(0) = 0 + 0 + 0 = 0
5

Trừ

I = F(2) − F(0) = 14 − 0 = 14
xy214

Tích phân là diện tích tô màu dưới đường cong giữa x = 0 và x = 2.

Đáp số

I = 14

6Lỗi thường gặp

  • Quên chia cho lũy thừa mới.
  • Lấy đạo hàm thay vì lấy tích phân: giảm số mũ thay vì tăng.
  • Viết ∫1/x dx là x⁰/0. Quy tắc lũy thừa không dùng được cho n = −1; hãy dùng ln|x|.
  • Quên dấu trừ trong F(a) khi a âm, chẳng hạn (−1)³ = −1.
  • Quên + C trong tích phân bất định, hoặc không đổi cận sau khi thay biến.
Tự kiểm tra ∫02 x³ dx bằng bao nhiêu?
  1. 12
  2. 16
  3. 4
  4. 8

Đáp số: 4. F(x) = x⁴/4, nên F(2) − F(0) = 16/4 − 0 = 4. Quên chia cho số mũ mới 4 cho 16.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: tích phân xác định của một đa thức, đôi khi có cận âm. Dùng quy tắc lũy thừa và F(b) − F(a).
  • Trung bình: hàm mũ, logarit và phép thế, như ∫e0,5x dx hoặc ∫3/x dx giữa hai cận.
  • Khó: diện tích được bao bởi hai đường cong, như y = x² và y = 4x. Tìm chỗ chúng gặp nhau, rồi lấy tích phân của trên trừ dưới.

Một cách kiểm tra nhanh: diện tích được bao bởi hai đường cong luôn dương. Nếu bạn được số âm, bạn đã trừ sai thứ tự.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
xy3y = 0,5x

Miền dưới y = 0,5x từ x = 0 đến x = 3 được quay quanh trục x. Tìm thể tích V của vật thể (một hình nón).

y = 0,5x0 ≤ x ≤ 3

Tìm V

Hiện các gợi ý
  1. Một lát cắt tại x là một đĩa bán kính y = 0,5x.
  2. V = π∫₀3 (0,5x)² dx.
  3. = π·0,25·x³/3.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Thể tích tròn xoay: quay miền dưới y = f(x) từ x = a đến x = b quanh trục x tạo ra một vật thể có mặt cắt tại x là một đĩa bán kính f(x). Cộng các đĩa lại cho V = π∫ₐᵇ f(x)² dx. Khi miền nằm giữa một đường cong ngoài R(x) và một đường cong trong r(x), mỗi lát cắt là một vòng đệm: V = π∫ₐᵇ (R(x)² − r(x)²) dx. Bình phương các bán kính trước khi trừ chúng.

Phương pháp đĩa

V = π∫₀3 0,25x² dx

Lấy tích phân

V = π·0,25·3³/3 = 7,069

Đáp số

V = 7,069

Kiểm tra: hình nón bán kính 1,5 và chiều cao 3 có (1/3)πr²h = 7,069.

Ví dụ 2Trung bình
xy2y = x·cos x

Tính I = ∫₀2 x·cos x dx (x tính theo radian).

∫₀2 x·cos x dx

Tìm I

Hiện các gợi ý
  1. Lấy u = x và dv = cos x dx.
  2. v = sin x.
  3. ∫x cos x dx = x sin x + cos x.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tích phân từng phần: ∫u·dv = u·v − ∫v·du, suy ra từ quy tắc tích. Chọn u là thừa số trở nên đơn giản hơn khi đạo hàm (một lũy thừa của x, hoặc ln x), và dv là thừa số bạn có thể tích phân (eˣ, sin x, cos x, hoặc x khi u = ln x). Với tích phân xác định, tính u·v tại cả hai cận: ∫ₐᵇ u dv = [u·v]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Thừa số x² cần hai lần.

Chọn u và dv

u = x, du = dx; dv = cos x dx, v = sin x

Nguyên hàm

∫x cos x dx = x sin x − ∫sin x dx = x sin x + cos x

Giới hạn

(2·sin 2 + cos 2) − (0 + 1) = 0,4024

Đáp số

I = 0,4024
Ví dụ 3Khó
xyy = 2x2​y = x

Tìm diện tích A của miền giới hạn bởi y = 2x2 và y = x.

y = 2x2y = x

Tìm A

Hiện các gợi ý
  1. Trước hết tìm nơi các đường cong gặp nhau: cho chúng bằng nhau.
  2. Chúng gặp nhau tại x = 0 và x = 0,5. Giữa hai điểm này đường thẳng nằm trên parabol.
  3. A = ∫00,5 (x − 2x2) dx.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tích phân xác định: ∫ₐᵇ f(x) dx là diện tích đại số giữa đồ thị và trục x từ a đến b. Tìm một nguyên hàm F (với F′ = f) và tính F(b) − F(a). Quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1). Diện tích giữa hai đường cong là ∫(trên − dưới) dx.

Các giao điểm

2x2 = x → x = 0, x = 0,5

Lấy tích phân của trên trừ dưới

A = [0,5x2 − 0,6667x3]00,5 = 0,04167

Đáp số

A = 0,04167

Câu hỏi thường gặp

Tích phân là gì?

Tích phân cộng dồn một đại lượng đang thay đổi. Hình ảnh rõ nhất là diện tích dưới một đồ thị.

Một chiếc xe chạy với tốc độ 20 m/s trong 5 s. Nó đi được 20 · 5 = 100 m. Trên đồ thị tốc độ–thời gian, đó là diện tích hình chữ nhật dưới đường thẳng.

Làm thế nào để giải bài tập Tích phân từng bước?
  1. Viết lại hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng đơn giản nếu có thể.
  2. Áp dụng quy tắc lũy thừa: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1), và các tích phân chuẩn cho ex, 1/x, sin và cos.
  3. Dùng phép đổi biến khi bạn thấy một hàm và đạo hàm của nó đi cùng nhau.
  4. Với tích phân xác định, tính F(b) − F(a).
Những lỗi thường gặp trong Tích phân là gì?
  • Quên chia cho lũy thừa mới.
  • Không đổi cận sau khi đổi biến.
  • Quên + C trong tích phân bất định.
Các bài tập Tích phân bao gồm những gì?
  • Dễ: đa thức
  • Trung bình: hàm mũ, logarit và phép đổi biến
  • Khó: diện tích giữa các đường cong

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Đạo hàm

Tiếp tục với

Tích chập và hệ LTIBiến đổi LaplaceGiải tích nhiều biếnPhương pháp sốPhương trình vi phân

Máy tính

Máy tính tích phân (xác định và bất định)

Các môn học có chủ đề này

Giải tích 1Toán kỹ thuậtPhương trình vi phânToán kỹ thuật 2Giải tích 2Bài tập AP Calculus

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Tích phân có đáp án
Luyện tập Tích phân miễn phíLuyện tập Tích phân ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.