Máy tính tích phân (xác định và bất định)
Nhập số liệu của bạn. Đáp án và lời giải chi tiết cập nhật khi bạn gõ.
Kết quả
Nguyên hàm của 1/x là ln|x|: giá trị tuyệt đối làm nó cũng hợp lệ với x âm.
Hãy tìm một nguyên hàm hoặc tính một tích phân xác định. Với tổng của các số hạng chuẩn, như lũy thừa của x, 1/x, e^(ax + b), sin, cos và sec² của ax + b, (ax + b)ⁿ và ln(ax + b), máy tính lấy tích phân từng số hạng và tính F(b) − F(a) một cách chính xác. Mọi hàm liên tục khác được lấy tích phân bằng số theo quy tắc Simpson thích nghi, và máy tính cảnh báo về các tích phân suy rộng.
Lời giải từng bước
Đọc hàm số và các cận
Tìm một nguyên hàm, từng số hạng
Tính F(b) − F(a)
Kiểm tra bằng số
Công thức chính
- Quy tắc lũy thừa
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C
- Tích phân xác định
- ∫ab f dx = F(b) − F(a)
- Các tích phân thường gặp
- ∫eˣ dx = eˣ, ∫1/x dx = ln|x|, ∫sin x dx = −cos x
- Diện tích giữa các đường cong
- ∫ab (f − g) dx
Cách tính một tích phân xác định
- Hãy tách hàm dưới dấu tích phân thành tổng các số hạng và lấy tích phân từng số hạng riêng; các thừa số hằng giữ nguyên ở phía trước.
- Hãy dùng quy tắc lũy thừa ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) với n ≠ −1, và ∫ 1/x dx = ln|x|.
- Với hàm của ax + b hãy chia cho a: ∫ e^(ax + b) dx = e^(ax + b)/a và ∫ cos(ax + b) dx = sin(ax + b)/a.
- Hãy tính nguyên hàm tại cận trên và cận dưới rồi trừ: ∫ f(x) dx từ a đến b = F(b) − F(a). Hằng số C triệt tiêu.
- Hãy kiểm tra hàm dưới dấu tích phân liên tục trên [a, b]. Nếu nó có tiệm cận đứng ở đó, như 1/x tại x = 0, thì tích phân là suy rộng và cần dùng giới hạn.
Câu hỏi thường gặp
Máy tính giải chính xác những tích phân nào?
Tổng của các bội hằng của xⁿ (n hữu tỉ bất kỳ), 1/x, e^(ax + b), kˣ, sin(ax + b), cos(ax + b), sec²(ax + b), csc²(ax + b), sec·tan và csc·cot của ax + b, (ax + b)ⁿ và ln(ax + b). Các tích như x·eˣ cần tích phân từng phần và thay vào đó được tính bằng số.
Tích phân bằng số chính xác đến đâu?
Quy tắc Simpson thích nghi liên tục chia đôi những phần của khoảng mà ước lượng còn thay đổi, cho đến khi đồng ý khoảng mười chữ số có nghĩa với các hàm trơn. Máy tính hiển thị số lần tính hàm và một ước lượng sai số.
+ C là gì?
Hằng số tích phân. Mỗi hàm có vô số nguyên hàm khác nhau một hằng số, vì đạo hàm của một hằng số bằng không. Trong tích phân xác định nó triệt tiêu.
Vì sao tôi nhận được lỗi về tích phân suy rộng?
Hàm dưới dấu tích phân không xác định hoặc vô hạn ở đâu đó trong [a, b], ví dụ 1/x trên [−1, 1] hoặc tan(x) qua π/2. Các tích phân như vậy cần dùng giới hạn và có thể phân kỳ, nên máy tính không đưa ra giá trị cho chúng.
Tôi có thể dùng π trong các cận không?
Có. Hãy gõ pi, pi/2 hoặc 2pi, hoặc e, làm cận; ví dụ tích phân của sin(x) từ 0 đến pi bằng 2.
Tự luyện tập
Luyện tập Tích phân
Máy tính chỉ cho đáp án. Trong kỳ thi bạn cần phương pháp: hãy luyện nó với bài tập mới, gợi ý và lời giải chi tiết.