Tập hợp, quan hệ & hàm: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Tập hợp, quan hệ & hàm miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: biểu đồ Venn và tập con, bao hàm – loại trừ và quan hệ, hàm và phép đếm.

Bài tập miễn phíDễ

Cho A = {b, e} và B = {1, 2}. Hãy tìm |A × B|.

A = {b, e}B = {1, 2}

Đáp án chính xác: một số nguyên, không làm tròn.

Bài tiếp theo →
Luyện tập Tập hợp, quan hệ & hàm miễn phíLuyện tập Tập hợp, quan hệ & hàm ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễbiểu đồ Venn và tập con
  2. Trung bìnhbao hàm – loại trừ và quan hệ
  3. Khóhàm và phép đếm

Cách giải bài tập Tập hợp, quan hệ & hàm

  1. Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
  2. Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
  3. Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
  5. Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.

Lỗi thường gặp

  • Cộng |A| và |B| mà không trừ phần giao.
  • Quên cộng lại phần giữa khi có ba tập hợp.
  • Đảo số mũ trong số hàm: nᵐ cho m phần tử vào n phần tử.
  • Áp dụng g ∘ f sai thứ tự: f tác động trước.
  • Quên các cặp (x, x) khi đếm số cặp của một quan hệ tương đương.

Công thức chính

Hai tập hợp
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Ba tập hợp
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Hiệu và phần bù
A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Tập lũy thừa và tích Descartes
|𝒫(A)| = 2|A|, |A × B| = |A|·|B|
Tập con có k phần tử
C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Hàm A → B
nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Quan hệ trên n phần tử
2n²; reflexive 2n² − n; symmetric 2n(n+1)/2
Hợp thành
(g ∘ f)(x) = g(f(x))

Học Tập hợp, quan hệ & hàm từ đầu

Trước bài này: Logic mệnh đề & chứng minh

1Tập hợp và các phép toán tập hợp

Một tập hợp là một bộ sưu tập các phần tử phân biệt: A = {1, 2, 3}. Thứ tự và sự lặp lại không quan trọng. |A| là số phần tử, và U là tập vũ trụ chứa mọi thứ đang bàn đến.

  • A ∪ B (hợp): các phần tử thuộc A hoặc B hoặc cả hai.
  • A ∩ B (giao): các phần tử thuộc cả hai.
  • A − B (hiệu): các phần tử của A không thuộc B.
  • A′ (phần bù): các phần tử của U không thuộc A.

Trong một biểu đồ Venn, hai hình tròn chia U thành bốn vùng: chỉ A, cả hai, chỉ B, và không thuộc cái nào. Mọi biểu thức tập hợp đều là hợp của một số vùng này, nên bạn luôn có thể đếm theo từng vùng.

UAB125815

Ở đây |A| = 12 + 5 = 17, |A ∩ B| = 5, |A ∪ B| = 12 + 5 + 8 = 25 và |(A ∪ B)′| = 15.

Tự kiểm tra Trong biểu đồ trên, A − B có bao nhiêu phần tử?
  1. 12
  2. 17
  3. 25
  4. 5

Đáp số: 12. A − B giữ phần của A nằm ngoài B: chỉ vùng có số 12. 5 phần tử ở phần giao cũng thuộc B, và 17 là toàn bộ A.

2Đếm bằng nguyên lý bao hàm – loại trừ

Cộng |A| và |B| đếm phần giao hai lần, nên hãy trừ nó một lần:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|

Với ba tập hợp, các phần giao từng cặp được trừ đi, nhưng khi đó phần giữa đã bị loại ba lần, nên nó được cộng lại:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|

Trong các bài toán lời văn, thường an toàn hơn là điền vào biểu đồ Venn từ tâm ra ngoài: trước hết các phần tử thuộc cả ba tập, rồi từng cặp trừ phần giữa, rồi từng tập đơn trừ những gì đã đặt.

Hai phép đếm khác thường gặp: một tập có n phần tử có 2ⁿ tập con (tập lũy thừa 𝒫(A)), và |A × B| = |A|·|B| cặp có thứ tự.

Tự kiểm tra Trong 40 học sinh, 25 học tiếng Pháp, 18 học tiếng Đức và 9 học cả hai. Bao nhiêu học sinh không học thứ nào?
  1. 15
  2. 34
  3. 3
  4. 6

Đáp số: 6. |F ∪ G| = 25 + 18 − 9 = 34, nên 40 − 34 = 6 học sinh không học thứ nào. Quên trừ 9 cho ra 43, nhiều hơn cả nhóm.

3Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Trong 60 học sinh, 30 đỗ Toán (M), 25 đỗ Vật lý (P) và 20 đỗ Hóa học (C). 10 đỗ M và P, 8 đỗ M và C, 6 đỗ P và C, và 3 đỗ cả ba môn. Bao nhiêu học sinh không đỗ môn nào?

1

Tâm

3 học sinh đỗ cả ba.

2

Chỉ các cặp

Chỉ M và P: 10 − 3 = 7. Chỉ M và C: 8 − 3 = 5. Chỉ P và C: 6 − 3 = 3.

3

Chỉ từng môn

Chỉ M: 30 − 7 − 5 − 3 = 15. Chỉ P: 25 − 7 − 3 − 3 = 12. Chỉ C: 20 − 5 − 3 − 3 = 9.

4

Hợp và phần bù

|M ∪ P ∪ C| = 15 + 12 + 9 + 7 + 5 + 3 + 3 = 54

Công thức cho cùng kết quả: 30 + 25 + 20 − 10 − 8 − 6 + 3 = 54.

Đáp số

60 − 54 = 6 học sinh không đỗ môn nào trong ba môn.

4Quan hệ

Một quan hệ R trên tập X là một tập các cặp có thứ tự (x, y) với x và y thuộc X. Vẽ dưới dạng đồ thị có hướng, mỗi cặp là một mũi tên và (x, x) là một khuyên.

  • Phản xạ: (x, x) ∈ R với mọi x: có một khuyên tại mỗi đỉnh.
  • Đối xứng: (x, y) ∈ R luôn đi kèm (y, x) ∈ R.
  • Phản đối xứng: (x, y) và (y, x) cùng thuộc R chỉ khi x = y.
  • Bắc cầu: (x, y) và (y, z) thuộc R kéo theo (x, z) ∈ R.

Một quan hệ phản xạ, đối xứng và bắc cầu là một quan hệ tương đương. Nó chia X thành các lớp rời nhau, chẳng hạn các số dư 0, 1 và 2 cho “x ≡ y (mod 3)”. Một lớp có s phần tử đóng góp s² cặp có thứ tự.

Để bác bỏ một tính chất, một phản ví dụ là đủ; để chứng minh nó, hãy kiểm tra mọi cặp.

Tự kiểm tra R = {(1, 2), (2, 3)} trên {1, 2, 3}. Phải thêm cặp nào để R bắc cầu?
  1. (1, 1)
  2. (1, 3)
  3. (2, 1)
  4. (3, 1)

Đáp số: (1, 3). (1, 2) và (2, 3) thuộc R, nên tính bắc cầu đòi hỏi (1, 3). (2, 1) cần cho tính đối xứng và (1, 1) cho tính phản xạ.

5Hàm số

Một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B.

AB123abcd
  • Đơn ánh (một-một): các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau; không phần tử nào của B nhận hai mũi tên.
  • Toàn ánh (lên): mọi phần tử của B nhận ít nhất một mũi tên.
  • Song ánh: cả hai. Chỉ khi đó f mới có hàm ngược f⁻¹.

Hàm trong hình là đơn ánh nhưng không toàn ánh: d không nhận mũi tên nào. Một đơn ánh cần |A| ≤ |B| và một toàn ánh cần |A| ≥ |B|.

Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm và n!/(n − m)! hàm đơn ánh. Hợp thành (g ∘ f)(x) = g(f(x)) áp dụng f trước.

Tự kiểm tra Có bao nhiêu hàm từ một tập có 3 phần tử đến một tập có 4 phần tử?
  1. 12
  2. 24
  3. 64
  4. 81

Đáp số: 64. Mỗi phần tử trong 3 phần tử chọn một trong 4 ảnh: 4³ = 64. 3⁴ = 81 đảo vai trò, 24 = 4·3·2 chỉ đếm các hàm đơn ánh, và 12 = 3·4 là kích thước của A × B.

6Lỗi thường gặp

  • Cộng |A| + |B| mà không trừ phần giao.
  • Quên cộng lại phần giữa trong nguyên lý bao hàm – loại trừ ba tập.
  • Viết mⁿ thay vì nᵐ cho số hàm từ m phần tử đến n phần tử.
  • Nghĩ rằng một quan hệ không thể vừa đối xứng vừa phản đối xứng: quan hệ {(1, 1)} là cả hai.
  • Áp dụng g ∘ f sai thứ tự: f tác động trước.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: biểu đồ Venn và tập con. Bạn đếm một biểu thức tập hợp từ biểu đồ Venn, nhấp vào vùng của một biểu thức, hoặc tìm kích thước của tập lũy thừa, tích Descartes hay một họ các tập con.
  • Trung bình: nguyên lý bao hàm – loại trừ và quan hệ. Bạn giải các bài toán đếm hai và ba tập, đếm các biểu thức từ tổng của các vùng, xác định quan hệ có tính chất nào, hoặc đếm số cặp cần thiết cho một bao đóng.
  • Khó: hàm và phép đếm. Bạn phân loại một hàm là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh, đếm số hàm, đơn ánh và toàn ánh, tính các hợp thành và hàm ngược, và đếm số cặp trong các quan hệ tương đương.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ

Cho A = {a, b, c, x, y} và B = {1, 2, 3, 4}. Hãy tìm |𝒫(A)|.

A = {a, b, c, x, y}B = {1, 2, 3, 4}

Tìm |𝒫(A)|

Hiện các gợi ý
  1. Một tập có k phần tử có 2ᵏ tập con: mỗi phần tử hoặc thuộc hoặc không thuộc một tập con.
  2. |A| = 5, |B| = 4.
  3. |𝒫(A)| = 2|A|.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.

Kích thước

|A| = 5
|B| = 4

Đếm

|𝒫(A)| = 25 = 32

Đáp số

|𝒫(A)| = 32
Ví dụ 2Trung bình
UMPC

Trong 53 sinh viên năm nhất, 35 sinh viên đỗ Toán (M), 28 sinh viên đỗ Vật lý (P) và 29 sinh viên đỗ Hóa học (C). 20 sinh viên đỗ M và P, 18 đỗ M và C, 10 đỗ P và C, và 6 đỗ cả ba môn. Có bao nhiêu không thuộc tập nào trong ba tập?

|U| = 53

Tìm |(M ∪ P ∪ C)′|

Hiện các gợi ý
  1. Hãy điền biểu đồ Venn từ tâm ra ngoài: trước hết cả ba, rồi các cặp, rồi các tập đơn.
  2. Chỉ M và P (không C): 20 − 6 = 14. Chỉ M: 35 − 14 − 12 − 6 = 3.
  3. Ít nhất một tập: 35 + 28 + 29 − 20 − 18 − 10 + 6 = 50.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tập hợp và biểu đồ Venn: A ∪ B gồm các phần tử thuộc A hoặc B (hoặc cả hai), A ∩ B gồm các phần tử thuộc cả hai, A − B gồm các phần tử của A không thuộc B, và phần bù A′ là mọi thứ trong U không thuộc A. Trong biểu đồ Venn, mọi biểu thức tập hợp là hợp của các vùng, nên hãy đếm theo từng vùng. Nguyên lý bao hàm – loại trừ: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|, và |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Phần giữa và các cặp

M ∩ P ∩ C: 6
M ∩ P chỉ: 20 − 6 = 14
M ∩ C chỉ: 18 − 6 = 12
P ∩ C chỉ: 10 − 6 = 4

Các tập đơn

M chỉ: 35 − 14 − 12 − 6 = 3
P chỉ: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
C chỉ: 29 − 12 − 4 − 6 = 7

Đáp số

|M ∪ P ∪ C| = 50
|(M ∪ P ∪ C)′| = 53 − 50 = 3

Đáp số

|(M ∪ P ∪ C)′| = 3
Ví dụ 3Khó
x12345f(x)13234g(x)51541

Các hàm f và g trên {1, 2, 3, 4, 5} được cho bằng bảng. Hãy tìm (f ∘ g)(5).

f: 1 ↦ 1, 2 ↦ 3, 3 ↦ 2, 4 ↦ 3, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 5, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 4, 5 ↦ 1

Tìm (f ∘ g)(5)

Hiện các gợi ý
  1. (f ∘ g)(x) nghĩa là f(g(x)): trước hết g, sau đó f.
  2. Giá trị bên trong là g(5) = 1.
  3. Bây giờ hãy áp dụng hàm bên ngoài lên 1.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Hàm và phép đếm: một hàm f: A → B cho mỗi phần tử của A đúng một ảnh trong B. f là đơn ánh (một-một) khi các phần tử khác nhau có ảnh khác nhau, toàn ánh (lên) khi mọi phần tử của B đều là một ảnh, và song ánh khi cả hai điều kiện đều đúng. Với |A| = m và |B| = n có nᵐ hàm, n!/(n − m)! hàm đơn ánh (m ≤ n), và theo nguyên lý bao hàm – loại trừ có Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ hàm toàn ánh. |𝒫(A)| = 2ᵐ và |A × B| = m·n.

Hàm bên trong

g(5) = 1

Hàm bên ngoài

f(1) = 1
(f ∘ g)(5) = 1

Đáp số

(f ∘ g)(5) = 1

Câu hỏi thường gặp

Tập hợp, quan hệ & hàm là gì?

Một tập hợp là một bộ sưu tập các phần tử phân biệt: A = {1, 2, 3}. Thứ tự và sự lặp lại không quan trọng. |A| là số phần tử, và U là tập vũ trụ chứa mọi thứ đang bàn đến.

Trong một biểu đồ Venn, hai hình tròn chia U thành bốn vùng: chỉ A, cả hai, chỉ B, và không thuộc cái nào. Mọi biểu thức tập hợp đều là hợp của một số vùng này, nên bạn luôn có thể đếm theo từng vùng.

Làm thế nào để giải bài tập Tập hợp, quan hệ & hàm từng bước?
  1. Hãy vẽ biểu đồ Venn và xác định từng vùng xem vùng nào thuộc biểu thức tập hợp.
  2. Với bài toán đếm, hãy điền các vùng từ tâm ra ngoài: tất cả các tập, rồi từng cặp, rồi từng tập đơn, rồi phần bên ngoài.
  3. Hãy dùng nguyên lý bao hàm – loại trừ để kiểm tra: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
  4. Với một quan hệ, hãy kiểm tra từng tính chất trên mọi cặp và đưa ra một phản ví dụ khi tính chất không đúng.
  5. Với một hàm, hãy đếm số mũi tên đến mỗi phần tử của B: nhiều nhất một là đơn ánh, ít nhất một là toàn ánh.
Những lỗi thường gặp trong Tập hợp, quan hệ & hàm là gì?
  • Cộng |A| và |B| mà không trừ phần giao.
  • Quên cộng lại phần giữa khi có ba tập hợp.
  • Đảo số mũ trong số hàm: nᵐ cho m phần tử vào n phần tử.
  • Áp dụng g ∘ f sai thứ tự: f tác động trước.
  • Quên các cặp (x, x) khi đếm số cặp của một quan hệ tương đương.
Các bài tập Tập hợp, quan hệ & hàm bao gồm những gì?
  • Dễ: biểu đồ Venn và tập con
  • Trung bình: bao hàm – loại trừ và quan hệ
  • Khó: hàm và phép đếm

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Logic mệnh đề & chứng minh

Tiếp tục với

Lý thuyết đồ thị

Các môn học có chủ đề này

Toán học rời rạc

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Tập hợp, quan hệ & hàm có đáp án
Luyện tập Tập hợp, quan hệ & hàm miễn phíLuyện tập Tập hợp, quan hệ & hàm ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.