Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: độ lớn và các thành phần, tích vô hướng, tích có hướng và mô-men.

Bài tập miễn phíDễ
xyza

Tìm độ lớn |a| của vectơ a = (6, −5, 9).

a = (6, −5, 9)
Bài tiếp theo →
Luyện tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng miễn phíLuyện tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễđộ lớn và các thành phần
  2. Trung bìnhtích vô hướng
  3. Khótích có hướng và mô-men

Cách giải bài tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

  1. Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
  2. Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
  3. Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.

Lỗi thường gặp

  • Cộng các độ lớn thay vì cộng các thành phần.
  • Sai dấu của thành phần giữa (y) của tích có hướng.
  • Dùng vị trí của điểm thay vì r = A − O trong một mô-men.
  • Lấy arctan mà không kiểm tra góc phần tư.

Công thức chính

Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|

Học Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng từ đầu

1Vectơ là gì

Một số đại lượng chỉ cần một con số: khối lượng 5 kg hay nhiệt độ 20 °C. Đó là các vô hướng.

Các đại lượng khác còn cần một hướng. Một lực 40 N đẩy lên rất khác với 40 N đẩy sang ngang. Đó là các vectơ.

Bạn mô tả một vectơ bằng các thành phần của nó: nó vươn tới bao xa dọc theo x, dọc theo y và dọc theo z. Vectơ a = (4, 3, 0) vươn 4 đơn vị dọc theo x, 3 dọc theo y và 0 dọc theo z.

xyaax​ = 4ay​ = 3θO

Lực, độ dịch chuyển và vận tốc đều là vectơ. Các kỹ sư dùng toán vectơ để cộng lực, tìm góc và tính mômen trong ba chiều.

Các vectơ cộng theo từng thành phần: (1, 2, 0) + (3, −1, 4) = (4, 1, 4). Đây là cách bạn tìm hợp lực của nhiều lực.

Tự kiểm tra Độ dài của vectơ a = (3, 4, 0) là bao nhiêu?
  1. 1
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Đáp số: 5. Độ dài là √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5. Cộng các thành phần (7) là sai vì chúng vuông góc, và 25 là quên căn bậc hai.

2Độ dài, hướng và các thành phần

Độ lớn |a| là độ dài của vectơ. Đó là định lý Pythagoras trong ba chiều:

|a| = √(ax² + ay² + az²)

Một vectơ đơn vị có độ dài 1 và chỉ cùng hướng. Bạn có nó bằng cách chia mọi thành phần cho độ lớn:

û = a / |a|

Với a = (0, 3, 4) độ lớn là 5, nên û = (0, 0,6, 0,8). Kiểm tra: 0,6² + 0,8² = 1.

Một lực trong mặt phẳng xy thường được cho bằng độ lớn F và một góc θ, đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục x dương. Các thành phần của nó là:

Fx = F·cos θ Fy = F·sin θ

Cosin và sin cho các dấu một cách tự động. Một lực ở 120° có thành phần x âm vì cos 120° = −0,5.

Khi đi ngược từ các thành phần về một góc, arctan(Ry/Rx) chỉ cho đáp án giữa −90° và 90°. Nếu Rx âm, cộng 180°. Nếu chỉ Ry âm, cộng 360°.

Tự kiểm tra Thành phần y của vectơ đơn vị theo hướng của a = (0, 3, 4) là bao nhiêu?
  1. 0,12
  2. 0,43
  3. 0,6
  4. 3

Đáp số: 0,6. Chia cho độ lớn 5: 3/5 = 0,6. 3 là quên chia, 0,12 chia cho |a|² = 25, và 0,43 chia cho tổng các thành phần (7).

3Tích vô hướng và tích có hướng

Có hai cách nhân hai vectơ. Tích vô hướng cho một con số. Tích có hướng cho một vectơ mới.

a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ

Ở đây θ là góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng đo mức độ các vectơ chỉ cùng hướng. Nó bằng không khi chúng vuông góc.

dFθ|F|·cos θ
  • Góc: cos θ = a·b / (|a|·|b|).
  • Hình chiếu vô hướng của a lên b (phần của a dọc theo b): a·b / |b|.
  • Công do một lực không đổi thực hiện trên một độ dịch chuyển: W = F·d.
  • Hai vectơ vuông góc khi a·b = 0.

Tích có hướng a × b là một vectơ vuông góc với cả a và b. Độ dài của nó bằng diện tích hình bình hành mà hai vectơ căng ra.

a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
aba × bA

Với a = (1, 2, 0) và b = (3, 1, 0): a × b = (2·0 − 0·1, 0·3 − 1·0, 1·1 − 2·3) = (0, 0, −5). Hình bình hành có diện tích 5 và tam giác bằng một nửa, tức 2,5.

Thứ tự quan trọng: b × a = −(a × b). Mômen của một lực F tác dụng tại điểm A quanh điểm O là M = r × F, với r = A − O.

Tự kiểm tra Với a = (2, 1, 0) và b = (1, 4, 0), thành phần z của a × b là bao nhiêu?
  1. 6
  2. 7
  3. 9
  4. −7

Đáp số: 7. Thành phần z = axby − aybx = 2·4 − 1·1 = 7. −7 là b × a (đổi thứ tự), 6 là tích vô hướng, và 9 cộng hai tích thay vì trừ.

4Phương pháp từng bước

  1. Viết mọi vectơ theo các thành phần. Với một lực cho bằng độ lớn và góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
  2. Nếu câu hỏi cho các điểm, hãy lập các vectơ từ chúng: vectơ từ A đến B là B − A.
  3. Quyết định bạn cần công cụ nào. Độ dài và hướng: độ lớn và vectơ đơn vị. Góc, hình chiếu và công: tích vô hướng. Diện tích, các vectơ vuông góc và mômen: tích có hướng.
  4. Viết công thức trước, rồi đưa số vào từng thành phần một. Giữ các dấu trong ngoặc.
  5. Kiểm tra kết quả: một vectơ đơn vị có độ dài 1, a × b vuông góc với a (nên a·(a × b) = 0), và góc giữa các vectơ nằm giữa 0° và 180°.

Để có một vectơ đơn vị vuông góc với hai vectơ, lấy n = a × b và chia cho độ dài của nó. Nếu câu hỏi muốn thành phần z dương mà của bạn âm, hãy đổi dấu tất cả.

Thể tích của hình hộp (khối bình hành) có các cạnh a, b và c là |a·(b × c)|: trước tiên là tích có hướng, rồi đến tích vô hướng.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một lực không đổi F = (6, 2, −3) N đẩy một vật theo đường thẳng từ điểm A(1, 0, 2) đến điểm B(3, 4, 2). Tọa độ tính bằng mét. Tìm công W do lực thực hiện và góc θ giữa lực và độ dịch chuyển.

1

Lập độ dịch chuyển

Độ dịch chuyển là vectơ từ A đến B: lấy điểm cuối trừ điểm đầu.

d = B − A = (3 − 1, 4 − 0, 2 − 2) = (2, 4, 0) m
2

Làm việc với tích vô hướng

Công là tích vô hướng của lực và độ dịch chuyển. Nhân các thành phần tương ứng và cộng lại.

W = F·d = 6·2 + 2·4 + (−3)·0 = 12 + 8 + 0 = 20 J
3

Hai độ lớn

|F| = √(6² + 2² + (−3)²) = √49 = 7 N
|d| = √(2² + 4² + 0²) = √20 ≈ 4,472 m
4

Góc

dFθ|F|·cos θ

Dùng dạng khác của tích vô hướng, F·d = |F|·|d|·cos θ, và giải tìm cos θ.

cos θ = 20 / (7 · 4,472) = 0,6389
θ = arccos 0,6389 ≈ 50,3°
5

Kiểm tra đáp án

Công dương, nên góc phải nhỏ hơn 90°. Đúng như vậy.

Phần của lực dọc theo chuyển động là |F|·cos θ = 7 · 0,6389 ≈ 4,47 N. Nhân với quãng đường 4,472 m cho lại 20 J.

Đáp số

W = 20 J và θ ≈ 50,3°.

6Lỗi thường gặp

  • Cộng các độ lớn thay vì các thành phần. Hai lực 3 N và 4 N vuông góc cho 5 N, không phải 7 N.
  • Dùng tọa độ của điểm thay vì r = A − O trong một mômen.
  • Sai dấu của thành phần giữa (y) của tích có hướng. Nó là azbx − axbz, không phải ngược lại.
  • Đổi thứ tự trong tích có hướng. b × a chỉ ngược chiều với a × b.
  • Lấy arctan cho một hướng mà không kiểm tra vectơ ở góc phần tư nào.
  • Quên ½ cho diện tích của một tam giác: nó bằng một nửa |AB × AC|.
Tự kiểm tra Một lực F = (0, 10, 0) N tác dụng tại điểm A(3, 0, 0) m. Độ lớn mômen của nó quanh O(1, 0, 0) m là bao nhiêu?
  1. 10 N·m
  2. 20 N·m
  3. 30 N·m
  4. 40 N·m

Đáp số: 20 N·m. r = A − O = (2, 0, 0) m, nên M = r × F = (0, 0, 2·10) = (0, 0, 20) N·m. Dùng chính điểm A làm r cho 30 N·m, A + O cho 40 N·m, và chỉ O cho 10 N·m.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: độ lớn và các thành phần. Độ dài của một vectơ, một thành phần của vectơ đơn vị, một thành phần của lực cho bằng độ lớn và góc, hoặc độ lớn hay hướng của hợp lực của hai lực.
  • Trung bình: tích vô hướng. Một tích vô hướng, góc giữa hai vectơ, một hình chiếu vô hướng, công do một lực thực hiện giữa hai điểm, hoặc giá trị k làm hai vectơ vuông góc.
  • Khó: tích có hướng và mômen. Một thành phần của a × b, diện tích của một hình bình hành hay tam giác, mômen của một lực quanh một điểm, một vectơ pháp tuyến đơn vị, hoặc thể tích của một hình hộp từ tích hỗn hợp.

Với câu hỏi về tính vuông góc, đặt a·b = 0. Nó cho một phương trình tuyến tính theo k.

Với một tam giác có các đỉnh A, B và C, dùng các vectơ cạnh AB = B − A và AC = C − A. Diện tích là ½·|AB × AC|.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
xy135°F1​F2​

Hai lực tác dụng tại một điểm trong mặt phẳng xy: F₁ = 110 N ở 0° và F₂ = 190 N ở 135°, cả hai đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục x dương. Tìm hướng φ của hợp lực, đo ngược chiều kim đồng hồ từ trục x dương (trong khoảng từ 0° đến 360°).

F1 = 110 N, θ1 = 0°F2 = 190 N, θ2 = 135°

Tìm φ (°)

Hiện các gợi ý
  1. Tách mỗi lực thành các thành phần x và y.
  2. Cộng riêng các thành phần x và các thành phần y.
  3. Rₓ = −24,35 N, Ry = 134,4 N.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Vectors: a vector a = (ax, ay, az) has magnitude |a| = √(ax² + ay² + az²), and the unit vector in its direction is û = a/|a|. A vector of magnitude F at an angle θ measured anticlockwise from the positive x-axis has components Fx = F·cos θ and Fy = F·sin θ. Vectors add component by component.

Các thành phần của hợp lực

Rₓ = 110·cos 0° + 190·cos 135° = −24,35 N
Ry = 110·sin 0° + 190·sin 135° = 134,4 N

Hướng

Rₓ âm, nên hợp lực nằm ở góc phần tư thứ hai hoặc thứ ba: hãy cộng 180° vào góc của máy tính.

arctan(Ry/Rₓ) = arctan(134,4/−24,35) = −79,73°
φ = 100,3°

Đáp số

φ = 100,3°
Ví dụ 2Trung bình
xyzab

Tìm giá trị của k để các vectơ a = (−4, −4, 0) và b = (k, 6, 4) vuông góc.

a = (−4, −4, 0)b = (k, 6, 4)

Tìm k

Hiện các gợi ý
  1. Các vectơ vuông góc có tích vô hướng bằng không.
  2. Viết a·b = 0 với k là ẩn và giải phương trình tuyến tính.
  3. (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Dot product: a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Tích vô hướng bằng không

a·b = (−4)·k + (−4)·6 + 0·4 = 0
−24 + (−4)·k = 0

Giải tìm k

k = −(−24)/(−4) = −6

Đáp số

k = −6
Ví dụ 3Khó
xyzABC

Tìm diện tích A của tam giác có các đỉnh A(−3, −4, −1), B(−4, 3, −3) và C(1, 4, −4). Tọa độ tính bằng mét.

A(−3, −4, −1)B(−4, 3, −3)C(1, 4, −4)

Tìm A (m²)

Hiện các gợi ý
  1. Lập hai vectơ cạnh từ cùng một đỉnh: AB = B − A và AC = C − A.
  2. Diện tích bằng ½·|AB × AC|.
  3. AB × AC = (−5, −11, −36).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Cross product: a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.

Các vectơ cạnh

AB = B − A = (−1, 7, −2)
AC = C − A = (4, 8, −3)

Tích có hướng

(AB × AC)x = AByACz − ABzACy = 7·(−3) − (−2)·8 = −5
(AB × AC)y = ABzACx − ABxACz = (−2)·4 − (−1)·(−3) = −11
(AB × AC)z = ABxACy − AByACx = (−1)·8 − 7·4 = −36
|AB × AC| = √((−5)² + (−11)² + (−36)²) = 37,97

Diện tích tam giác

A = ½·37,97 = 18,99 m²

Đáp số

A = 18,99 m²

Câu hỏi thường gặp

Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng là gì?

Một số đại lượng chỉ cần một con số: khối lượng 5 kg hay nhiệt độ 20 °C. Đó là các vô hướng.

Các đại lượng khác còn cần một hướng. Một lực 40 N đẩy lên rất khác với 40 N đẩy sang ngang. Đó là các vectơ.

Làm thế nào để giải bài tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng từng bước?
  1. Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
  2. Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
  3. Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
  4. Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Những lỗi thường gặp trong Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng là gì?
  • Cộng các độ lớn thay vì cộng các thành phần.
  • Sai dấu của thành phần giữa (y) của tích có hướng.
  • Dùng vị trí của điểm thay vì r = A − O trong một mô-men.
  • Lấy arctan mà không kiểm tra góc phần tư.
Các bài tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng bao gồm những gì?
  • Dễ: độ lớn và các thành phần
  • Trung bình: tích vô hướng
  • Khó: tích có hướng và mô-men

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các môn học có chủ đề này

Tĩnh họcToán kỹ thuậtToán kỹ thuật 2

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng có đáp án
Luyện tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng miễn phíLuyện tập Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.