Giải tích nhiều biến: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Giải tích nhiều biến miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: đạo hàm riêng và tích phân kép, gradient, mặt phẳng tiếp xúc và quy tắc dây chuyền, điểm tới hạn và tích phân trên miền.

Bài tập miễn phíDễ
xy3−3P

Với f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xy, hãy tìm đạo hàm riêng ∂f/∂x tại điểm (3, −3).

f(x, y) = 3xy³ − x³ − 4y² + 2xyP = (3, −3)
Bài tiếp theo →
Luyện tập Giải tích nhiều biến miễn phíLuyện tập Giải tích nhiều biến ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễđạo hàm riêng và tích phân kép
  2. Trung bìnhgradient, mặt phẳng tiếp xúc và quy tắc dây chuyền
  3. Khóđiểm tới hạn và tích phân trên miền

Cách giải bài tập Giải tích nhiều biến

  1. Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
  2. Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
  3. Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
  4. Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.

Lỗi thường gặp

  • Lấy đạo hàm biến đáng lẽ phải giữ không đổi.
  • Quên chuẩn hóa vectơ hướng.
  • Viết D = fxx·fyy + fxy² hoặc gọi một điểm có D < 0 là cực trị.
  • Dùng các cận trong không đổi cho một miền bị giới hạn bởi các đường cong.
  • Bỏ thừa số r trong dA = r dr dθ.

Công thức chính

Các đạo hàm riêng
fx = ∂f/∂x (y constant), fxy = fyx
Gradient
∇f = (fx, fy), largest slope |∇f|
Đạo hàm theo hướng
Duf = ∇f·u, u = v/|v|
Mặt phẳng tiếp xúc
z = f(a, b) + fx(x − a) + fy(y − b)
Quy tắc dây chuyền
dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt
Phép thử đạo hàm cấp hai
D = fxxfyy − fxy²: D > 0, fxx > 0 minimum; D > 0, fxx < 0 maximum; D < 0 saddle
Tích phân kép
∬R f dA = ∫ab∫g(x)h(x) f dy dx
Tọa độ cực
x = r cos θ, y = r sin θ, dA = r dr dθ

Học Giải tích nhiều biến từ đầu

Trước bài này: Đạo hàm, Tích phân

1Các đạo hàm riêng

Một hàm hai biến, z = f(x, y), là một mặt phía trên mặt phẳng xy. Trên bản đồ nó được vẽ bằng các đường mức, những đường mà f có cùng giá trị.

Một đạo hàm riêng đo độ dốc theo một hướng. Với ∂f/∂x (còn viết là fx) bạn giữ y không đổi và lấy đạo hàm theo x, dùng các quy tắc thông thường.

Ví dụ: f(x, y) = x²y + 3y². Hãy coi y là một số khi tính fx, và coi x là một số khi tính fy:

fx = 2xy fy = x² + 6y

Tại (1, 2) điều này cho fx = 4 và fy = 1 + 12 = 13.

Lấy đạo hàm lần nữa cho các đạo hàm riêng cấp hai fxx, fyy và fxy. Thứ tự của đạo hàm hỗn hợp không quan trọng: fxy = fyx. Ở đây fxy = 2x.

Tự kiểm tra ∂f/∂y của f(x, y) = x³y² bằng bao nhiêu?
  1. 2x³y
  2. 3x²y²
  3. 6x²y
  4. x³y²

Đáp số: 2x³y. Giữ x không đổi: x³ là thừa số hằng, và y² cho 2y, nên fy = 2x³y. 3x²y² là ∂f/∂x.

2Gradient và đạo hàm theo hướng

Gradient gom cả hai đạo hàm riêng: ∇f = (fx, fy). Nó chỉ theo hướng mà f tăng nhanh nhất, vuông góc với đường mức.

xy∇fP

Độ dốc lớn nhất chính là độ dài |∇f| = √(fx² + fy²).

Độ dốc theo bất kỳ hướng v nào khác là đạo hàm theo hướng. Trước hết biến v thành vectơ đơn vị u = v/|v|, rồi lấy tích vô hướng:

Duf = ∇f·u

Với f = x²y + 3y² tại (1, 2): ∇f = (4, 13). Theo hướng v = (3, 4), u = (0,6, 0,8), nên Duf = 4·0,6 + 13·0,8 = 12,8.

Tự kiểm tra Tại một điểm ∇f = (3, 4). Tốc độ tăng lớn nhất của f ở đó là bao nhiêu?
  1. 12
  2. 25
  3. 5
  4. 7

Đáp số: 5. Đó là |∇f| = √(3² + 4²) = 5. Cộng các thành phần cho 7, và quên căn bậc hai cho 25.

3Mặt phẳng tiếp xúc và quy tắc dây chuyền

Gần một điểm (a, b) mặt gần như phẳng. Mặt phẳng tiếp xúc là

z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b)

Nó cho xấp xỉ tuyến tính f(a + Δx, b + Δy) ≈ f(a, b) + fxΔx + fyΔy.

Ví dụ: f = x²y + 3y² có f(1, 2) = 14, nên gần (1, 2): f(1,1, 1,9) ≈ 14 + 4·0,1 + 13·(−0,1) = 13,1. Giá trị chính xác là 13,129.

Khi x và y đều phụ thuộc vào t, quy tắc dây chuyền cộng hai đường: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

4Các điểm tới hạn

Tại một cực đại, một cực tiểu hay một điểm yên ngựa, mặt là phẳng: fx = 0 và fy = 0. Những điểm như vậy là điểm tới hạn.

Phép thử đạo hàm cấp hai dùng D = fxxfyy − fxy² tại điểm đó:

  • D > 0 và fxx > 0: cực tiểu địa phương.
  • D > 0 và fxx < 0: cực đại địa phương.
  • D < 0: điểm yên ngựa, đi lên theo một hướng và đi xuống theo hướng khác.
  • D = 0: phép thử không kết luận được.
Ví dụ có lời giải

Hãy tìm và phân loại các điểm tới hạn của f(x, y) = x³ − 3x + y² − 4y.

1

Đặt cả hai đạo hàm riêng bằng không

fx = 3x² − 3 = 0 → x = ±1 fy = 2y − 4 = 0 → y = 2

Các điểm tới hạn là (1, 2) và (−1, 2).

2

Các đạo hàm cấp hai

fxx = 6x, fyy = 2, fxy = 0
3

Thử (1, 2)

D = 6·2 − 0 = 12 > 0 và fxx = 6 > 0: một cực tiểu địa phương, với f(1, 2) = 1 − 3 + 4 − 8 = −6.

4

Thử (−1, 2)

D = −6·2 − 0 = −12 < 0: một điểm yên ngựa.

Đáp số

Cực tiểu địa phương tại (1, 2) với f = −6; điểm yên ngựa tại (−1, 2).

5Tích phân kép

Một tích phân kép ∬R f dA cộng f trên một miền R; với f = 1 nó là diện tích của R. Hãy tính nó như hai tích phân đơn, tích phân trong trước.

Trên một hình chữ nhật các cận là các số: ∫02∫01 (x + 2y) dy dx. Tích phân trong cho x + 1, và ∫02 (x + 1) dx = 4.

Trên một miền tổng quát, các cận trong là các đường cong bao quanh nó. Với miền giữa y = x² và y = 2x, y chạy từ x² lên 2x, và x từ 0 đến 2.

xyy = 2xy = x²2
Diện tích = ∫02 (2x − x²) dx = 4 − 8/3 = 4/3

Với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực: x² + y² = r² và dA = r dr dθ. Trên hình tròn r ≤ 2: ∬(x² + y²) dA = ∫02π∫02 r³ dr dθ = 2π·4 = 8π.

Tự kiểm tra Trong tọa độ cực, dA trở thành gì?
  1. dr dθ
  2. r dr dθ
  3. r² dr dθ
  4. θ dr dθ

Đáp số: r dr dθ. Một mảnh cực nhỏ rộng Δr và dài r·Δθ, nên dA = r dr dθ. Quên thừa số r là lỗi phổ biến nhất.

6Lỗi thường gặp và câu hỏi thi

  • Cũng lấy đạo hàm biến "hằng" trong một đạo hàm riêng.
  • Dùng v thay vì vectơ đơn vị u trong đạo hàm theo hướng.
  • Viết D = fxxfyy + fxy², hoặc phân loại một điểm có D < 0 là cực trị.
  • Dùng các số làm cận trong khi miền bị giới hạn bởi các đường cong.
  • Quên thừa số r trong tọa độ cực.

Dễ: đạo hàm riêng tại một điểm và tích phân trên hình chữ nhật. Trung bình: gradient, đạo hàm theo hướng, mặt phẳng tiếp xúc và quy tắc dây chuyền. Khó: phân loại điểm tới hạn và tích phân trên miền cong, trong tọa độ cực hoặc với thứ tự đảo ngược.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
xy−1−3P

Với f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xy, hãy tìm đạo hàm riêng ∂f/∂x tại điểm (−1, −3).

f(x, y) = 2x²y + 2x² + 4xyP = (−1, −3)

Tìm fx(−1, −3)

Hiện các gợi ý
  1. Hãy coi y là một hằng số và lấy đạo hàm theo x.
  2. ∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y
  3. Hãy thay x = −1 và y = −3.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đạo hàm riêng: ∂f/∂x là đạo hàm thông thường theo x trong khi y được giữ không đổi (coi y như một số), và ∂f/∂y thì ngược lại. Các quy tắc (lũy thừa, tích, hàm hợp) giống như với một biến. Các đạo hàm riêng cấp hai hỗn hợp cho cùng kết quả theo cả hai thứ tự: fxy = fyx. Một tích phân kép trên một hình chữ nhật được tính như hai tích phân đơn, tích phân trong trước: ∫∫ f dA = ∫(∫ f dy) dx.

Lấy đạo hàm

y được giữ không đổi.

∂f/∂x = 4xy + 4x + 4y

Thay giá trị

fx(−1, −3) = −4

Đáp số

fx(−1, −3) = −4
Ví dụ 2Trung bình

z = 2x²e3y với x = −t − 2 và y = t² + 2. Hãy dùng quy tắc dây chuyền để tìm dz/dt tại t = 0.

z = 2x²e3yx = −t − 2y = t² + 2t = 0

Tìm dz/dt

Hiện các gợi ý
  1. dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.
  2. Tại t = 0: x = −2, y = 2, dx/dt = −1, dy/dt = 0.
  3. fx = 4xe3y, fy = 6x²e3y
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Gradient: ∇f = (fx, fy) chỉ theo hướng tăng dốc nhất, và |∇f| là tốc độ thay đổi lớn nhất. Đạo hàm theo hướng dọc một hướng v là Duf = ∇f·u với vectơ đơn vị u = v/|v|. Mặt phẳng tiếp xúc tại (a, b) là z = f(a, b) + fx(a, b)(x − a) + fy(a, b)(y − b); nó cho xấp xỉ tuyến tính của f gần điểm đó. Quy tắc dây chuyền: dz/dt = fx·dx/dt + fy·dy/dt.

Điểm và các tốc độ

x(0) = −2, y(0) = 2
dx/dt = −1, dy/dt = 2t = 0

Các đạo hàm riêng

fx = 4xe3y = −3227
fy = 6x²e3y = 9682

Quy tắc dây chuyền

dz/dt = (−3227)·(−1) + 9682·0 = 3227

Đáp số

dz/dt = 3227
Ví dụ 3Khó
xy02−1012(0, 0)(1, 1)

f(x, y) = x³ + y³ − 3xy có một điểm tới hạn tại (1, 1). Hãy tính biệt thức D = fxxfyy − fxy² tại đó.

f(x, y) = x³ + y³ − 3xyP = (1, 1)

Tìm D

Hiện các gợi ý
  1. Hãy tìm ba đạo hàm cấp hai fxx, fyy và fxy.
  2. Tại điểm đó: fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3.
  3. D = fxxfyy − fxy².
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Điểm tới hạn và tích phân kép: một điểm tới hạn có fx = fy = 0. Phép thử đạo hàm cấp hai với D = fxxfyy − fxy²: D > 0 và fxx > 0 là cực tiểu địa phương, D > 0 và fxx < 0 là cực đại địa phương, D < 0 là điểm yên ngựa, và D = 0 không kết luận được. Với một tích phân kép trên miền tổng quát, hãy lấy cận trong là các đường cong bao quanh miền; với hình tròn và hình quạt hãy dùng tọa độ cực, x = r cos θ, y = r sin θ và dA = r dr dθ (đừng quên thừa số r).

Các đạo hàm cấp hai

fxx = 6, fyy = 6, fxy = −3

Biệt thức

D = 6·6 − (−3)² = 27
→ cực tiểu địa phương

Đáp số

D = 27

Câu hỏi thường gặp

Giải tích nhiều biến là gì?

Một hàm hai biến, z = f(x, y), là một mặt phía trên mặt phẳng xy. Trên bản đồ nó được vẽ bằng các đường mức, những đường mà f có cùng giá trị.

Một đạo hàm riêng đo độ dốc theo một hướng. Với ∂f/∂x (còn viết là fx) bạn giữ y không đổi và lấy đạo hàm theo x, dùng các quy tắc thông thường.

Làm thế nào để giải bài tập Giải tích nhiều biến từng bước?
  1. Với đạo hàm riêng, hãy coi biến còn lại là hằng số và dùng các quy tắc một biến.
  2. Với các câu hỏi về gradient hãy tính ∇f = (fx, fy) tại điểm đó; dùng |∇f| cho độ dốc lớn nhất và ∇f·u với vectơ đơn vị u cho đạo hàm theo hướng.
  3. Với cực trị hãy giải đồng thời fx = 0 và fy = 0, rồi phân loại mọi điểm bằng D = fxx·fyy − fxy².
  4. Với tích phân kép hãy phác miền, chọn thứ tự (hoặc tọa độ cực cho hình tròn) để các cận trong là các đường cong giới hạn, và lấy tích phân trong trước.
Những lỗi thường gặp trong Giải tích nhiều biến là gì?
  • Lấy đạo hàm biến đáng lẽ phải giữ không đổi.
  • Quên chuẩn hóa vectơ hướng.
  • Viết D = fxx·fyy + fxy² hoặc gọi một điểm có D < 0 là cực trị.
  • Dùng các cận trong không đổi cho một miền bị giới hạn bởi các đường cong.
  • Bỏ thừa số r trong dA = r dr dθ.
Các bài tập Giải tích nhiều biến bao gồm những gì?
  • Dễ: đạo hàm riêng và tích phân kép
  • Trung bình: gradient, mặt phẳng tiếp xúc và quy tắc dây chuyền
  • Khó: điểm tới hạn và tích phân trên miền

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Đạo hàmTích phân

Các môn học có chủ đề này

Toán kỹ thuật 2Giải tích 2

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Giải tích nhiều biến có đáp án
Luyện tập Giải tích nhiều biến miễn phíLuyện tập Giải tích nhiều biến ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.