Ma trận và định thức: bài tập có lời giải từng bước

1Ma trận và định thức 2×2

Một ma trận là một bảng số gồm các hàng và cột. Ma trận có 2 hàng và 3 cột gọi là ma trận 2×3: hàng trước, rồi đến cột.

Các kỹ sư dùng ma trận để viết nhiều phương trình cùng lúc. Hệ 2x + y = 5 và x − y = 1 được lưu thành ma trận [2 1; 1 −1] của các hệ số.

Một ma trận vuông có một số đặc biệt, định thức của nó, viết là det A. Với ma trận 2×2 đó là tích của một đường chéo trừ tích của đường chéo kia.

Với [3 1; 2 4], định thức là 3·4 − 1·2 = 10.

Nếu det A = 0, ma trận không có nghịch đảo, và hệ phương trình không có nghiệm duy nhất.

2Định thức 3×3 và tích ma trận

Với ma trận 3×3, khai triển theo hàng đầu. Mỗi phần tử được nhân với định thức con của nó: định thức 2×2 còn lại khi bạn gạch bỏ hàng và cột của phần tử đó.

Các dấu đi theo + − + dọc hàng đầu. Quy luật dấu này là phần dễ quên nhất.

Một tích ma trận AB được tạo từ các hàng của A và các cột của B. Phần tử ở hàng i, cột j là hàng i của A nhân với cột j của B: nhân từng cặp rồi cộng.

Tích chỉ tồn tại khi A có số cột bằng số hàng của B. Nói chung AB không bằng BA.

3Giá trị riêng và hệ phương trình

Một giá trị riêng λ của A là một số mà A·v = λ·v với một vectơ v ≠ 0 nào đó. Ma trận chỉ kéo giãn vectơ đó, không xoay nó.

Bạn tìm các giá trị riêng từ phương trình đặc trưng. Ở đây I là ma trận đơn vị [1 0; 0 1].

Với ma trận 2×2 nó trở thành một phương trình bậc hai. Hệ số giữa là vết a + d, và hằng số là det A:

Với [4 1; 2 3]: λ² − 7λ + 10 = 0, nên (λ − 2)(λ − 5) = 0 và các giá trị riêng là 2 và 5.

Quy tắc Cramer giải một hệ bằng định thức. Thay cột i của A bằng vế phải để được A_i, rồi x_i = det A_i / det A.

Với 2x + y = 5 và x − y = 1: det A = −3 và det A_x = 5·(−1) − 1·1 = −6, nên x = −6/−3 = 2.

4Phương pháp từng bước

1. Chép ma trận cẩn thận, kèm mọi dấu trừ.
2. Định thức 2×2: ad − bc.
3. Định thức 3×3: với mỗi phần tử của hàng đầu, gạch bỏ hàng và cột của nó và tìm định thức con 2×2.
4. Kết hợp với các dấu + − +: a₁₁M₁₁ − a₁₂M₁₂ + a₁₃M₁₃.
5. Giá trị riêng: viết λ² − (a + d)λ + det A = 0 và giải phương trình bậc hai.
6. Kiểm tra: một hàng toàn số không, hoặc hai hàng bằng nhau, luôn cho det A = 0.

Mẹo: khai triển theo một hàng hoặc cột có nhiều số không. Mỗi phần tử bằng không giúp bạn tiết kiệm một định thức con.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

6Lỗi thường gặp

• Quên dấu trừ cho số hạng giữa trong khai triển 3×3.
• Tính bc − ad thay vì ad − bc.
• Mất một dấu trừ khi một phần tử âm: −2 · −3 là +6.
• Nhân các ma trận từng phần tử thay vì hàng nhân cột.
• Lấy vết hoặc một phần tử đường chéo làm giá trị riêng thay vì giải phương trình đặc trưng.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

• Dễ: định thức của ma trận 2×2, thường có phần tử âm. Dùng ad − bc.
• Trung bình: một định thức 3×3 hoặc một tích ma trận. Khai triển theo hàng đầu với + − +.
• Khó: giá trị riêng của ma trận 2×2, hoặc một ẩn của hệ 2×2 bằng quy tắc Cramer.

Một cách kiểm tra nhanh cho giá trị riêng: tổng của chúng phải bằng vết a + d và tích của chúng bằng det A.