Máy tính giá trị riêng và vectơ riêng

Nhập số liệu của bạn. Đáp án và lời giải chi tiết cập nhật khi bạn gõ.

Kết quả

λ15
λ23
λ32
Đa thức đặc trưngλ³ − 10λ² + 31λ − 30
Vết10
Định thức30
Giá trị riêngBộiVectơ riêngVectơ riêng đơn vị
51(2, 0, 1)(0,8944, 0, 0,4472)
31(1, 1, −1)(0,5774, 0,5774, −0,5774)
21(1, 0, −1)(0,7071, 0, −0,7071)

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận 2×2 hoặc 3×3. Máy tính khai triển det(A − λI) thành đa thức đặc trưng, giải nó để có các giá trị riêng thực hoặc phức cùng bội của chúng, và tìm vectơ riêng của mọi giá trị riêng thực bằng cách giải (A − λI)v = 0. Mỗi vectơ riêng được kiểm tra bằng cách tính A·v, và với giá trị riêng lặp, máy tính cho biết ma trận có chéo hóa được hay không.

Lời giải từng bước

Phương trình đặc trưng det(A − λI) = 0

det(A − λI) = (4 − λ)[(3 − λ)(3 − λ) − 0·(−1)] − 1[0(3 − λ) − 0·1] + 2[0·(−1) − (3 − λ)·1]
= −(λ³ − 10λ² + 31λ − 30)
tr A = 10, tổng các định thức con chính cấp 2×2 = 31, det A = 30
λ³ − (tr A)λ² + (ΣM)λ − det A = λ³ − 10λ² + 31λ − 30 = 0

Giá trị riêng

(λ − 5)(λ − 3)(λ − 2) = 0
λ = 5, 3, 2
Kiểm tra: Σλ = 10 = tr A

Vectơ riêng (λ = 5)

A − λI = [−1 1 2; 0 −2 0; 1 −1 −2]
(A − λI)·v = 0 → v = (2, 0, 1)
A·(2, 0, 1) = (10, 0, 5) = 5·(2, 0, 1) ✓

Vectơ riêng (λ = 3)

A − λI = [1 1 2; 0 0 0; 1 −1 0]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 1, −1)
A·(1, 1, −1) = (3, 3, −3) = 3·(1, 1, −1) ✓

Vectơ riêng (λ = 2)

A − λI = [2 1 2; 0 1 0; 1 −1 1]
(A − λI)·v = 0 → v = (1, 0, −1)
A·(1, 0, −1) = (2, 0, −2) = 2·(1, 0, −1) ✓

Công thức chính

Giá trị riêng
det(A − λI) = 0

Cách tìm giá trị riêng và vectơ riêng

  1. Trừ λ khỏi mọi phần tử đường chéo của A để được A − λI.
  2. Cho định thức bằng không: det(A − λI) = 0. Với ma trận 2×2 đó là λ² − (tr A)λ + det A = 0; với ma trận 3×3 đó là phương trình bậc ba.
  3. Giải phương trình đặc trưng. Kiểm tra: tổng các giá trị riêng bằng vết và tích của chúng bằng định thức.
  4. Với mỗi giá trị riêng, giải (A − λI)v = 0 bằng phép khử hàng. Tập nghiệm tạo thành một đường thẳng (hoặc một mặt phẳng); mọi vectơ khác không trong đó đều là vectơ riêng.
  5. Kiểm tra từng vectơ riêng: A·v phải bằng λ·v.

Câu hỏi thường gặp

Tôi nhập ma trận như thế nào?

Gõ các hàng cách nhau bằng dấu chấm phẩy và các số trong mỗi hàng cách nhau bằng dấu cách, ví dụ 4 1 2; 0 3 0; 1 -1 3 cho ma trận 3×3. Cho phép số thập phân và số âm.

Tại sao ma trận có thể có giá trị riêng phức?

Đa thức đặc trưng có thể có nghiệm phức, và với ma trận thực chúng luôn xuất hiện thành cặp liên hợp. Ma trận quay 0 -1; 1 0 có các giá trị riêng ±i, vì không có vectơ thực nào giữ nguyên hướng khi quay.

Giá trị riêng lặp nghĩa là gì?

Là một nghiệm của đa thức đặc trưng có bội 2 hoặc 3. Ma trận vẫn có thể có đủ số vectơ riêng độc lập đó, như ma trận đơn vị, hoặc ít hơn. Nếu ít hơn thì nó bị khuyết và không chéo hóa được.

Vectơ riêng có duy nhất không?

Không. Mọi bội khác không của một vectơ riêng cũng là vectơ riêng. Máy tính hiển thị dạng đơn giản, với số nguyên khi có thể, và vectơ đơn vị có độ dài 1.

Giá trị riêng được dùng để làm gì?

Chúng cho tần số riêng của các hệ dao động, ứng suất chính của một tenxơ ứng suất, tính ổn định của hệ phương trình vi phân và các hướng chính trong phân tích thành phần chính.

Tự luyện tập

Ma trận và định thức: bài tập có lời giải từng bướcCách giải bài tập Ma trận và định thứcPhiếu bài tập Ma trận và định thức có đáp án

Luyện tập Ma trận và định thức

Máy tính chỉ cho đáp án. Trong kỳ thi bạn cần phương pháp: hãy luyện nó với bài tập mới, gợi ý và lời giải chi tiết.

Luyện tập Ma trận và định thức miễn phíLuyện tập Ma trận và định thức ngayVí dụ có lời giải
</> Nhúng

Miễn phí cho giáo viên và trường học: dán mã này vào trang khóa học, LMS hoặc website của bạn. Sinh viên có thể dùng máy tính và lời giải từng bước mà không cần tài khoản.

Thêm máy tính

Máy tính điểm z và xác suất chuẩnMáy tính khoảng tin cậyMáy tính cỡ mẫuMáy tính trung bình, trung vị và độ lệch chuẩnMáy tính hồi quy tuyến tínhMáy tính kiểm định chi bình phương về độ phù hợpMáy tính định thức và ma trận nghịch đảoMáy tính phân phối chuẩnMáy tính phân phối nhị thứcMáy tính phân phối Poisson