Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: thống kê z, thống kê t, khoảng tin cậy.

Bài tập miễn phíDễ
μ₀x̄c = ?α = 0,05

Một nhà cung cấp khẳng định rằng độ bền đứt trung bình của một loại cáp là 50 kN; bạn nghi ngờ nó cao hơn. Độ lệch chuẩn đã biết là 8 kN. Bạn sẽ lấy một mẫu 25 sợi cáp và kiểm định H₀: μ = 50 kN với H₁: μ > 50 kN ở mức α = 0,05. Trên giá trị trung bình mẫu x̄c nào thì bạn bác bỏ H₀?

μ₀ = 50 kNσ = 8 kNn = 25α = 0,05
kN
Bài tiếp theo →
Luyện tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy miễn phíLuyện tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễthống kê z
  2. Trung bìnhthống kê t
  3. Khókhoảng tin cậy

Cách giải bài tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Lỗi thường gặp

  • Dùng giá trị tới hạn một phía cho kiểm định hai phía.
  • Nói H₀ được chứng minh là đúng khi nó không bị bác bỏ.
  • Quên √n trong sai số chuẩn.

Công thức chính

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Học Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy từ đầu

Trước bài này: Khoảng tin cậy

1Ý tưởng của một kiểm định

Một máy phải rót chai 500 mL trung bình. Một mẫu chai có trung bình 496 mL. Máy sai, hay chỉ là ngẫu nhiên?

Một kiểm định giả thuyết trả lời câu hỏi đó bằng các con số. Bạn bắt đầu từ hai phát biểu:

  • Giả thuyết không H₀: không có gì thay đổi. Ở đây H₀: μ = 500.
  • Giả thuyết đối H₁: điều bạn nghi ngờ. Ở đây H₁: μ ≠ 500 (hai phía), hoặc μ < 500 nếu bạn chỉ lo rót thiếu (một phía).

Bạn giả định H₀ đúng và hỏi: mẫu này bất thường đến mức nào? Nếu nó rất bất thường, bạn bác bỏ H₀.

Tự kiểm tra Một nhà cung cấp tuyên bố các điện trở của họ trung bình là 220 Ω. Bạn muốn kiểm định tuyên bố này. H₀ là gì?
  1. x̄ = 220 Ω
  2. μ > 220 Ω
  3. μ = 220 Ω
  4. μ ≠ 220 Ω

Đáp số: μ = 220 Ω. H₀ là tuyên bố được kiểm định, về trung bình tổng thể μ. μ ≠ 220 Ω là giả thuyết đối H₁, và một giả thuyết không bao giờ nói về trung bình mẫu x̄, thứ bạn đã biết.

2Thống kê kiểm định

Thống kê kiểm định đo trung bình mẫu cách μ₀, giá trị trong H₀, bao xa, theo đơn vị sai số chuẩn.

z = (x̄ − μ₀) / (σ / √n)

Dùng z khi độ lệch chuẩn tổng thể σ đã biết. Khi chỉ biết độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t:

t = (x̄ − μ₀) / (s / √n), df = n − 1

Giá trị z hoặc t gần 0 nghĩa là mẫu phù hợp với H₀. Giá trị dương hoặc âm lớn nghĩa là mẫu xa μ₀.

Tự kiểm tra H₀: μ = 120, σ = 8, n = 16 và x̄ = 118. z là bao nhiêu?
  1. 1
  2. −0,25
  3. −1
  4. −4

Đáp số: −1. Sai số chuẩn là 8/√16 = 2, nên z = (118 − 120)/2 = −1. Chia cho σ = 8 thay vì σ/√n cho −0,25. Dấu âm vì x̄ dưới μ₀.

3Quyết định: giá trị tới hạn và giá trị p

Trước khi nhìn dữ liệu, chọn mức ý nghĩa α, thường là 0,05. Đó là rủi ro bạn chấp nhận khi bác bỏ một H₀ đúng.

Với kiểm định z tại α = 0,05:

  • Hai phía (H₁: μ ≠ μ₀): bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96.
  • Một phía (H₁: μ > μ₀): bác bỏ H₀ nếu z > 1,645. Với μ < μ₀: bác bỏ nếu z < −1,645.

Giá trị p là xác suất của một kết quả ít nhất cực đoan như vậy nếu H₀ đúng. Bác bỏ H₀ khi p < α.

Không bác bỏ H₀ không chứng minh nó. Nó chỉ nghĩa là dữ liệu chưa đủ mạnh làm bằng chứng chống lại nó.

Một kiểm định và một khoảng tin cậy nhất quán: kiểm định hai phía ở 5% bác bỏ H₀ đúng khi μ₀ nằm ngoài khoảng 95% x̄ ± 1,96 · σ/√n.

Tự kiểm tra Một kiểm định z hai phía tại α = 0,05 cho z = 1,8. Bạn kết luận gì?
  1. Bác bỏ H₀
  2. Bác bỏ H₁ và chấp nhận H₀ là đã được chứng minh
  3. H₀ được chứng minh là đúng
  4. Không bác bỏ H₀

Đáp số: Không bác bỏ H₀. |1,8| nhỏ hơn 1,96, nên kết quả không có ý nghĩa và H₀ không bị bác bỏ. Điều đó không chứng minh H₀; bằng chứng chỉ chưa đủ mạnh.

4Phương pháp từng bước

  1. Phát biểu H₀ và H₁, và quyết định kiểm định là một phía hay hai phía.
  2. Chọn z (σ đã biết) hoặc t (chỉ biết s, df = n − 1).
  3. Tính sai số chuẩn σ/√n hoặc s/√n.
  4. Tính thống kê kiểm định (x̄ − μ₀) / sai số chuẩn.
  5. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  6. Nêu kết luận bằng lời, theo ngôn ngữ của câu hỏi.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Một máy phải rót chai 500 mL trung bình. σ = 12 mL. Một mẫu 36 chai có trung bình 496 mL. Kiểm định H₀: μ = 500 so với H₁: μ ≠ 500 tại α = 0,05.

1

Các giả thuyết

H₀: μ = 500 mL. H₁: μ ≠ 500 mL. Đây là hai phía, nên các giá trị tới hạn là ±1,96.

2

Sai số chuẩn

σ đã biết, nên dùng z.

σ / √n = 12 / √36 = 12 / 6 = 2 mL
3

Thống kê kiểm định

z = (496 − 500) / 2 = −4 / 2 = −2
4

So sánh

−1,9601,962,5%2,5%95%z = −2

|−2| = 2 lớn hơn 1,96, nên z nằm trong miền bác bỏ được tô bóng.

5

Kiểm tra bằng một khoảng

496 ± 1,96 · 2 = [492,08, 499,92]

Giá trị 500 nằm ngoài khoảng 95%, nên khoảng cho cùng quyết định.

Đáp số

z = −2. Bác bỏ H₀ ở mức 5%: mức rót trung bình của máy khác 500 mL.

6Lỗi thường gặp

  • Dùng giá trị tới hạn một phía (1,645) cho kiểm định hai phía, hoặc ngược lại.
  • Nói H₀ được chứng minh là đúng khi nó không bị bác bỏ.
  • Quên √n trong sai số chuẩn.
  • Viết x̄ − μ₀ ngược lại, làm đảo dấu của z.
  • Dùng z khi chỉ biết s của mẫu cho một mẫu nhỏ.
Tự kiểm tra Một kiểm định một phía với H₁: μ > μ₀ tại α = 0,05 cho z = 1,8. Bạn kết luận gì?
  1. Bác bỏ H₀, vì 1,8 > 1,645
  2. Bác bỏ H₀, vì z dương
  3. Không bác bỏ H₀, vì 1,8 < 1,96
  4. Không bác bỏ H₀, vì 1,8 < 2,576

Đáp số: Bác bỏ H₀, vì 1,8 > 1,645. Một phía ở 5% đặt toàn bộ 5% vào một đuôi, nên giá trị tới hạn là 1,645. So với 1,96 là dùng nhầm giá trị hai phía.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: thống kê z. σ đã biết; tính z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n).
  • Trung bình: thống kê t. Chỉ cho độ lệch chuẩn mẫu s; tính t = (x̄ − μ₀)/(s/√n).
  • Khó: khoảng tin cậy. Tìm giới hạn dưới hoặc trên của x̄ ± z · σ/√n ở 95% hoặc 99%.

Một cách kiểm tra nhanh: nếu x̄ dưới μ₀, thống kê kiểm định phải âm.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
z −1,9601,96

Một máy được cho là rót trung bình 100 mL vào mỗi chai. Độ lệch chuẩn được biết là 4 mL. Một mẫu 81 chai có trung bình 99,6 mL. Tìm thống kê kiểm định z cho H₀: μ = 100.

μ₀ = 100 mLx̄ = 99,6 mLσ = 4 mLn = 81

Tìm z

Hiện các gợi ý
  1. Sai số chuẩn của trung bình là độ lệch chuẩn chia cho √n.
  2. SE = 4/√81 = 0,4444.
  3. Sau đó chia hiệu x̄ − μ₀ cho sai số chuẩn. Giữ nguyên dấu.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√81 = 4/9 = 0,4444

Thống kê kiểm định

z = (99,6 − 100)/0,4444 = −0,9

Đáp số

z = −0,9

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

Ví dụ 2Trung bình
t −1,99801,998

Một mẫu 64 sinh viên có điểm trung bình 504,5 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,5s = 15n = 64

Tìm t

Hiện các gợi ý
  1. Sai số chuẩn của trung bình là độ lệch chuẩn chia cho √n.
  2. SE = 15/√64 = 1,875.
  3. Sau đó chia hiệu x̄ − μ₀ cho sai số chuẩn. Giữ nguyên dấu.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

Thống kê kiểm định

t = (504,5 − 500)/1,875 = 2,4

Đáp số

t = 2,4
t0,025; df = 63 = 1,998

|t| > 1,998, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

Ví dụ 3Khó
z −2,57602,576

Một mẫu 64 phép đo có trung bình 80. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 20. Tìm giới hạn dưới L của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

x̄ = 80σ = 20n = 6499%

Tìm L

Hiện các gợi ý
  1. Khoảng tin cậy: x̄ ± z*·σ/√n.
  2. z* = 2,576 cho 99%.
  3. σ/√n = 2,5.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số biên

E = 2,576·20/√64 = 6,44

Giới hạn của khoảng

L = 80 − 6,44 = 73,56

Đáp số

L = 73,56

Câu hỏi thường gặp

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy là gì?

Một máy phải rót chai 500 mL trung bình. Một mẫu chai có trung bình 496 mL. Máy sai, hay chỉ là ngẫu nhiên?

Một kiểm định giả thuyết trả lời câu hỏi đó bằng các con số. Bạn bắt đầu từ hai phát biểu:

Làm thế nào để giải bài tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy từng bước?
  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Những lỗi thường gặp trong Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy là gì?
  • Dùng giá trị tới hạn một phía cho kiểm định hai phía.
  • Nói H₀ được chứng minh là đúng khi nó không bị bác bỏ.
  • Quên √n trong sai số chuẩn.
Các bài tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy bao gồm những gì?
  • Dễ: thống kê z
  • Trung bình: thống kê t
  • Khó: khoảng tin cậy

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Khoảng tin cậy

Tiếp tục với

Kiểm định chi bình phương

Máy tính

Máy tính kiểm định tMáy tính giá trị pMáy tính ANOVA một nhân tố

Các môn học có chủ đề này

Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý họcThống kê nhập mônThống kê 2: Suy diễn thống kêThực hành dựa trên bằng chứngBài tập AP StatisticsLuyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảPhân phối chuẩnKhoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy có đáp án
Luyện tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy miễn phíLuyện tập Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.