Phân phối chuẩn: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Phân phối chuẩn miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: diện tích một phía, diện tích giữa hai giá trị, phân vị.

Bài tập miễn phíDễ
μ = 6567,5P = ?

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào lớn hơn 67,5 điểm? Tìm P(X > x) dưới dạng số thập phân.

μ = 65σ = 10x = 67,5
Bài tiếp theo →
Luyện tập Phân phối chuẩn miễn phíLuyện tập Phân phối chuẩn ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễdiện tích một phía
  2. Trung bìnhdiện tích giữa hai giá trị
  3. Khóphân vị

Cách giải bài tập Phân phối chuẩn

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Lỗi thường gặp

  • Đọc bảng ở sai phía đuôi.
  • Quên chia cho σ.
  • Dùng dấu của z ngược lại cho các phân vị dưới 50%.

Công thức chính

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Học Phân phối chuẩn từ đầu

Trước bài này: Thống kê mô tả

1Đường cong hình chuông

Nhiều đại lượng, như chiều cao, điểm IQ hay khối lượng các gói hàng từ một máy, tuân theo phân phối chuẩn. Hầu hết giá trị nằm gần giữa, còn các giá trị ở xa thì hiếm.

Đồ thị là một hình chuông đối xứng. Nó có hai số: giá trị trung bình μ, nơi có đỉnh, và độ lệch chuẩn σ, quyết định độ rộng.

7085100μ115130

Ý chính: xác suất là diện tích dưới đường cong. Tổng diện tích bằng 1. Nửa trái được tô bóng có diện tích 0,5, nên một nửa số giá trị nằm dưới giá trị trung bình.

Khoảng 68% giá trị nằm trong phạm vi một σ quanh giá trị trung bình, và khoảng 95% trong phạm vi hai σ.

Tự kiểm tra Khối lượng các gói hàng tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 g. Bao nhiêu phần các gói nặng dưới 500 g?
  1. 0,5
  2. 0,68
  3. 0,95
  4. Phụ thuộc vào σ

Đáp số: 0,5. Đường cong đối xứng quanh giá trị trung bình, nên chính xác một nửa diện tích nằm dưới μ, bất kể σ là bao nhiêu. 0,68 là diện tích trong phạm vi một σ về hai phía.

2Điểm z và bảng tra

Mọi phân phối chuẩn đều trở thành cùng một đường cong chuẩn tắc (trung bình 0, σ = 1) khi bạn đổi một giá trị x thành điểm z:

z = (x − μ) / σ

Bảng cho Φ(z): diện tích ở bên trái z. Ví dụ Φ(1,2) = 0,8849, nên 88,49% giá trị nằm dưới z = 1,2.

  • Dưới x: P(X < x) = Φ(z).
  • Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z), vì tổng diện tích bằng 1.
  • Với z âm: Φ(−z) = 1 − Φ(z), do tính đối xứng. Vậy Φ(−1,2) = 0,1151.

Các giá trị bạn sẽ thường gặp: Φ(1) = 0,8413, Φ(1,5) = 0,9332, Φ(2) = 0,9772.

Tự kiểm tra Φ(1,2) = 0,8849. P(Z > 1,2) bằng bao nhiêu?
  1. 0,1151
  2. 0,3849
  3. 0,8849
  4. 1,2

Đáp số: 0,1151. Bảng cho diện tích bên trái. Diện tích bên phải là 1 − 0,8849 = 0,1151. Dùng trực tiếp 0,8849 là đọc nhầm phần đuôi.

3Giữa hai giá trị và bách phân vị

Để tìm diện tích giữa hai giá trị, hãy trừ hai diện tích bên trái: toàn bộ phần dưới giá trị lớn, trừ toàn bộ phần dưới giá trị nhỏ.

P(x₁ < X < x₂) = Φ(z₂) − Φ(z₁)

Bách phân vị làm theo chiều ngược lại. Bách phân vị thứ 90 là giá trị có 90% diện tích nằm bên trái.

  • Tìm z sao cho Φ(z) bằng diện tích đó. Với 90%, z = 1,2816. Với 80%, z = 0,8416.
  • Đổi lại về x: x = μ + z · σ.

Với bách phân vị dưới 50%, z âm. Bách phân vị thứ 10 có z = −1,2816.

Tự kiểm tra Điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với μ = 100 và σ = 15. Giá trị z của bách phân vị thứ 80 là 0,8416. Bách phân vị thứ 80 là bao nhiêu?
  1. 100,8
  2. 112,6
  3. 115
  4. 87,4

Đáp số: 112,6. x = 100 + 0,8416 · 15 = 112,6. Dùng dấu trừ cho ra 87,4, là bách phân vị thứ 20; 100,8 là do quên nhân với σ.

4Phương pháp từng bước

  1. Phác họa đường cong hình chuông, đánh dấu μ và các giá trị, rồi tô bóng vùng diện tích được hỏi.
  2. Đổi mỗi giá trị thành điểm z: z = (x − μ)/σ.
  3. Tra Φ(z), diện tích bên trái.
  4. Dưới: Φ(z). Trên: 1 − Φ(z). Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁).
  5. Với bách phân vị, đi ngược lại: diện tích → z → x = μ + zσ.
  6. So sánh với hình phác của bạn: vùng tô bóng nhỏ hơn một nửa thì phải cho một số nhỏ hơn 0,5.

5Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

Điểm IQ tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 15. Phần P nằm giữa 91 và 121 là bao nhiêu?

1

Phác họa vùng diện tích

91x₁100121x₂

Vùng tô bóng bao phủ phần giữa và nhiều hơn về phía bên phải. Hãy kỳ vọng một số cao hơn 0,5 một chút.

2

Điểm z dưới

z₁ = (91 − 100) / 15 = −9/15 = −0,6
3

Điểm z trên

z₂ = (121 − 100) / 15 = 21/15 = 1,4
4

Tra cả hai diện tích

Φ(1,4) = 0,9192
Φ(−0,6) = 1 − Φ(0,6) = 1 − 0,7257 = 0,2743
5

Trừ

P = 0,9192 − 0,2743 = 0,6449

Giá trị này cao hơn 0,5 một chút, đúng như hình phác dự đoán.

Đáp số

P ≈ 0,645: khoảng 64,5% số điểm nằm giữa 91 và 121.

6Lỗi thường gặp

  • Đọc nhầm phần đuôi: dùng Φ(z) khi đề hỏi diện tích phía trên x.
  • Quên chia cho σ trong điểm z.
  • Cộng hai diện tích bên trái cho một khoảng thay vì trừ chúng.
  • Dùng sai dấu của z với bách phân vị dưới 50%.
  • Nhầm σ với phương sai σ². Hãy chia cho σ, độ lệch chuẩn.
Tự kiểm tra Điểm thi tuân theo phân phối chuẩn với μ = 65 và σ = 10. Φ(−1,5) = 0,0668. Bao nhiêu phần có điểm trên 50?
  1. 0,0668
  2. 0,4332
  3. 0,5668
  4. 0,9332

Đáp số: 0,9332. z = (50 − 65)/10 = −1,5, và P(X > 50) = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332. 0,0668 là diện tích dưới 50: nhầm phần đuôi. Hầu hết sinh viên đạt điểm trên 50, nên đáp án phải lớn.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: diện tích ở một phía đuôi. Tìm P(X < x) hoặc P(X > x) với một điểm z.
  • Trung bình: diện tích giữa hai giá trị, Φ(z₂) − Φ(z₁), như trong ví dụ.
  • Khó: bách phân vị. Tìm giá trị mà dưới nó có 80% hoặc 90% dữ liệu.

Luôn phác họa trước. Một hình phác mười giây bắt được hầu hết lỗi về phần đuôi.

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
μ = 3236,8P = ?

thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào lớn hơn 36,8 min? Tìm P(X > x) dưới dạng số thập phân.

μ = 32σ = 6x = 36,8

Tìm P(X > x)

Hiện các gợi ý
  1. Đổi sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. z = (36,8 − 32)/6 = 0,8.
  3. Diện tích bên phải là 1 − Φ(z).
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

Điểm z

z = (36,8 − 32)/6 = 0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

Đáp số

P = 0,2119

Đó là 21,19%.

Ví dụ 2Trung bình
750 g769,7 gX + Y?

X có phân bố chuẩn với trung bình 250 g và độ lệch chuẩn 4 g; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 9 g. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 769,7 g. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 769,7 g

Tìm P

Hiện các gợi ý
  1. E(X + Y) = 250 + 500 = 750 g.
  2. σ = √(4² + 9²) = 9,849 g.
  3. z = (769,7 − 750)/9,849.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

Chuẩn hóa

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

Đuôi trên

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275
Ví dụ 3Khó
μ = 178x = ?20%

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

Tìm x (cm)

Hiện các gợi ý
  1. Làm ngược lại: tìm z có Φ(z) = P/100 trong bảng.
  2. z = −0,8416.
  3. Khi đó x = μ + z·σ.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Quay lại x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Đáp số

x = 172,11 cm

Câu hỏi thường gặp

Phân phối chuẩn là gì?

Nhiều đại lượng, như chiều cao, điểm IQ hay khối lượng các gói hàng từ một máy, tuân theo phân phối chuẩn. Hầu hết giá trị nằm gần giữa, còn các giá trị ở xa thì hiếm.

Đồ thị là một hình chuông đối xứng. Nó có hai số: giá trị trung bình μ, nơi có đỉnh, và độ lệch chuẩn σ, quyết định độ rộng.

Làm thế nào để giải bài tập Phân phối chuẩn từng bước?
  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Những lỗi thường gặp trong Phân phối chuẩn là gì?
  • Đọc bảng ở sai phía đuôi.
  • Quên chia cho σ.
  • Dùng dấu của z ngược lại cho các phân vị dưới 50%.
Các bài tập Phân phối chuẩn bao gồm những gì?
  • Dễ: diện tích một phía
  • Trung bình: diện tích giữa hai giá trị
  • Khó: phân vị

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Thống kê mô tả

Tiếp tục với

Khoảng tin cậy

Máy tính

Máy tính điểm z và xác suất chuẩnMáy tính phân phối chuẩn

Các môn học có chủ đề này

Phương pháp nghiên cứu và thống kê cho tâm lý họcThống kê nhập mônToán kỹ thuậtThống kê 2: Suy diễn thống kêLuyện thi FE Xây dựngBài tập AP StatisticsLuyện tập phương pháp định lượng và thu nhập cố định CFA Level I

Thêm chủ đề trong Toán học và thống kê

Giới hạnĐạo hàmTối ưu hóaTích phânDãy số & chuỗiGiải tích nhiều biếnPhương trình vi phânSố phứcPhương pháp sốMa trận và định thứcVectơ: tích vô hướng và tích có hướngLogic mệnh đề & chứng minhTập hợp, quan hệ & hàmLý thuyết đồ thịLý thuyết số & số học đồng dưXác suấtThống kê mô tảKhoảng tin cậyKiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyHồi quy tuyến tính và tương quanKiểm định chi bình phương

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Phân phối chuẩn có đáp án
Luyện tập Phân phối chuẩn miễn phíLuyện tập Phân phối chuẩn ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.