Máy tính hoán vị và tổ hợp (nPr và nCr)
Nhập số liệu của bạn. Đáp án và lời giải chi tiết cập nhật khi bạn gõ.
Kết quả
Đếm số cách chọn r phần tử từ n. Hoán vị, nPr, đếm các cách sắp xếp có thứ tự; tổ hợp, nCr, đếm các cách chọn mà thứ tự không quan trọng. Máy tính cũng cho số cách khi các phần tử có thể lặp lại, và làm việc với số nguyên chính xác cho n và r đến 1000: các bước giải hiển thị mọi chữ số, kể cả với kết quả rất lớn.
Lời giải từng bước
Hoán vị: thứ tự có ý nghĩa
Tổ hợp: thứ tự không có ý nghĩa
Cho phép lặp
Công thức chính
- Hoán vị
- P(n, r) = n!/(n − r)!
- Tổ hợp
- C(n, r) = n!/(r!·(n − r)!)
- Có lặp
- nr nếu thứ tự quan trọng, C(n + r − 1, r) nếu không
Cách tính hoán vị và tổ hợp
- Xác định thứ tự có ý nghĩa hay không. Xếp người thành hàng, trao giải nhất và giải nhì hoặc lập một mã số: thứ tự có ý nghĩa, nên dùng hoán vị. Chọn một đội hoặc một bộ bài: thứ tự không có ý nghĩa, nên dùng tổ hợp.
- Hoán vị: nPr = n!/(n − r)!, tích của r thừa số n·(n − 1)···(n − r + 1).
- Tổ hợp: nCr = n!/(r!(n − r)!) = nPr/r!. Chia cho r! loại bỏ r! thứ tự của mỗi cách chọn.
- Khi cho phép lặp, các cách chọn có thứ tự cho nʳ và các cách chọn không thứ tự cho C(n + r − 1, r).
- Kiểm tra với trường hợp nhỏ: C(4, 2) = 6 và P(4, 2) = 12, vì mỗi cặp có thể viết theo 2 thứ tự.
Câu hỏi thường gặp
Hoán vị và tổ hợp khác nhau thế nào?
Hoán vị là một cách sắp xếp có thứ tự còn tổ hợp là một cách chọn không có thứ tự. Từ các chữ cái A, B và C bạn lập được 6 cặp có thứ tự (AB, BA, AC, CA, BC, CB) nhưng chỉ 3 cặp không thứ tự ({A, B}, {A, C}, {B, C}).
Tại sao C(n, r) bằng C(n, n − r)?
Chọn r phần tử lấy đi cũng giống như chọn n − r phần tử để lại. Ví dụ, C(10, 3) = C(10, 7) = 120.
0! bằng bao nhiêu?
0! = 1. Quy ước này giúp các công thức đúng ở các trường hợp biên: C(n, 0) = C(n, n) = 1, vì chỉ có đúng một cách chọn không phần tử nào hoặc chọn tất cả.
Tổ hợp lặp là gì?
Các cách chọn không thứ tự trong đó cùng một phần tử có thể được chọn nhiều lần, chẳng hạn 3 viên kem từ 10 vị kem. Số cách là C(n + r − 1, r), tức C(12, 3) = 220 cho ví dụ này.
Tổ hợp được dùng ở đâu trong xác suất?
Trong công thức nhị thức, C(n, x) đếm số thứ tự mà x lần thành công có thể xảy ra trong n phép thử. Trong xổ số và trò chơi bài, xác suất của một bộ bài bằng số tổ hợp thuận lợi chia cho tổng số tổ hợp.
Tự luyện tập
Luyện tập Xác suất
Máy tính chỉ cho đáp án. Trong kỳ thi bạn cần phương pháp: hãy luyện nó với bài tập mới, gợi ý và lời giải chi tiết.