Máy giải phương trình bậc hai (ax² + bx + c = 0)

Nhập số liệu của bạn. Đáp án và lời giải chi tiết cập nhật khi bạn gõ.

Kết quả

Các nghiệmx₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁2,5
x₂−1
Biệt thức Δ49
Bản chất của các nghiệmhai nghiệm thực phân biệt
Đỉnh(0,75, −6,125)
Trục đối xứngx = 0,75
Giao điểm với trục y−5
Parabol mởlên trên (cực tiểu tại đỉnh)
Dạng phân tích thành nhân tử(2x − 5)(x + 1)

Giải mọi phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Máy tính tính biệt thức, dùng công thức nghiệm và cho các nghiệm cả ở dạng thập phân lẫn dạng chính xác, như phân số hoặc căn bậc hai rút gọn như 2 ± √3, kể cả nghiệm phức. Nó cũng tìm đỉnh, trục đối xứng và dạng phân tích thành nhân tử, và kiểm tra các nghiệm bằng công thức Viète.

Lời giải từng bước

Xác định a, b và c

2x² − 3x − 5 = 0: a = 2, b = −3, c = −5

Biệt thức

Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4·2·(−5) = 49
Δ > 0 → hai nghiệm thực phân biệt

Công thức nghiệm bậc hai

x = (−b ± √Δ)/(2a) = (3 ± √49)/4
chính xác: x₁ = 5/2, x₂ = −1
x₁ = 2,5, x₂ = −1

Đỉnh và trục đối xứng

h = −b/(2a) = 3/4 ≈ 0,75
k = c − b²/(4a) = −49/8 ≈ −6,125
dạng đỉnh: y = 2(x − 0,75)2 − 6,125

Dạng phân tích thành nhân tử

2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1)

Kiểm tra bằng các công thức Vieta

x₁ + x₂ = −b/a = 1,5
x₁·x₂ = c/a = −2,5

Công thức chính

Phương trình bậc hai với p² < 4q
z = −p/2 ± j√(q − p²/4)

Cách giải phương trình bậc hai

  1. Hãy viết phương trình ở dạng chuẩn ax² + bx + c = 0 và đọc ra a, b và c, kèm dấu của chúng.
  2. Hãy tính biệt thức Δ = b² − 4ac. Nếu Δ > 0 có hai nghiệm thực, nếu Δ = 0 có một nghiệm kép, và nếu Δ < 0 có hai nghiệm phức liên hợp.
  3. Hãy dùng công thức nghiệm x = (−b ± √Δ)/(2a). Rút gọn căn bậc hai bằng cách đưa các thừa số chính phương ra ngoài: √12 = 2√3.
  4. Với Δ < 0 hãy viết √Δ = i·√|Δ|, nên các nghiệm là −b/(2a) ± i·√|Δ|/(2a).
  5. Đỉnh của parabol y = ax² + bx + c nằm tại x = −b/(2a); hãy thay vào để tìm tung độ y.
  6. Kiểm tra: tổng các nghiệm bằng −b/a và tích của chúng bằng c/a.

Câu hỏi thường gặp

Khi nào tôi có thể phân tích thành nhân tử thay vì dùng công thức?

Khi biệt thức là một số chính phương và các hệ số là số nguyên, các nghiệm là số hữu tỉ và tam thức phân tích được trên các số nguyên, như 2x² − 3x − 5 = (2x − 5)(x + 1). Nếu không, công thức nghiệm là phương pháp đáng tin cậy.

Biệt thức âm nghĩa là gì?

Parabol không cắt trục hoành, nên không có nghiệm thực. Hai nghiệm là các số phức liên hợp p ± qi, quan trọng chẳng hạn trong dao động tắt dần và trong phân tích mạch điện.

Dạng đỉnh là gì?

y = a(x − h)² + k, trong đó (h, k) là đỉnh. Nó cho thấy trực tiếp cực tiểu (a > 0) hoặc cực đại (a < 0) của parabol và được tìm bằng cách hoàn thành bình phương.

Nếu a = 0 thì sao?

Khi đó phương trình là tuyến tính, bx + c = 0, với nghiệm duy nhất x = −c/b. Công thức nghiệm sẽ chia cho không, nên máy tính yêu cầu a khác không.

Vì sao máy tính cho nghiệm chính xác?

Các bài thi thường yêu cầu đáp án như (3 ± √17)/4 chứ không phải số thập phân. Khi a, b và c là số nguyên hoặc số thập phân, máy tính làm việc với phân số chính xác và rút gọn căn bậc hai.

Tự luyện tập

Số phức: bài tập có lời giải từng bướcCách giải bài tập Số phứcPhiếu bài tập Số phức có đáp án

Luyện tập Số phức

Máy tính chỉ cho đáp án. Trong kỳ thi bạn cần phương pháp: hãy luyện nó với bài tập mới, gợi ý và lời giải chi tiết.

Luyện tập Số phức miễn phíLuyện tập Số phức ngayVí dụ có lời giải
</> Nhúng

Miễn phí cho giáo viên và trường học: dán mã này vào trang khóa học, LMS hoặc website của bạn. Sinh viên có thể dùng máy tính và lời giải từng bước mà không cần tài khoản.

Thêm máy tính

Máy tính điểm z và xác suất chuẩnMáy tính khoảng tin cậyMáy tính cỡ mẫuMáy tính trung bình, trung vị và độ lệch chuẩnMáy tính hồi quy tuyến tínhMáy tính kiểm định chi bình phương về độ phù hợpMáy tính định thức và ma trận nghịch đảoMáy tính phân phối chuẩnMáy tính phân phối nhị thứcMáy tính phân phối Poisson