Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm: bài tập có lời giải từng bước

1Ổn định nghĩa là gì

Một hệ thống ổn định khi mọi tín hiệu vào bị chặn đều cho tín hiệu ra bị chặn. Sau một nhiễu, hệ ổn định sẽ lắng xuống; hệ không ổn định thì phân kỳ hoặc dao động với biên độ tăng dần.

Hành vi được quyết định bởi các cực của vòng kín: nghiệm của đa thức đặc trưng. Một cực tại s = p thêm vào đáp ứng một số hạng e^pt.

• Cực có phần thực âm (nửa mặt phẳng trái) cho một số hạng tắt dần.
• Cực có phần thực dương (nửa mặt phẳng phải) cho một số hạng tăng không giới hạn.
• Vì vậy hệ thống chỉ ổn định khi mọi cực nằm ở nửa mặt phẳng trái.

2Bảng Routh

Với đa thức bậc ba trở lên, khó tìm nghiệm bằng tay. Tiêu chuẩn Routh–Hurwitz cho biết có bao nhiêu nghiệm nằm ở nửa mặt phẳng phải mà không cần giải.

Viết các hệ số xen kẽ vào hai hàng đầu. Với s³ + a₂s² + a₁s + a₀:

Mỗi hàng mới được lập từ hai hàng ngay phía trên. Với đa thức bậc ba, phần tử s¹ là:

Số lần đổi dấu trong cột đầu bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải.

Ví dụ: s³ + 2s² + 3s + 10. Cột đầu là 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10. Các dấu là +, +, −, +: hai lần đổi dấu, nên hai cực nằm ở nửa mặt phẳng phải.

3Phương pháp từng bước

1. Viết phương trình đặc trưng vòng kín 1 + K·G(s) = 0 và khai triển thành đa thức.
2. Điền hai hàng đầu của bảng Routh bằng các hệ số.
3. Lập các hàng còn lại; giữ K làm ký hiệu nếu nó xuất hiện.
4. Đếm số lần đổi dấu trong cột đầu, hoặc yêu cầu mọi phần tử cột đầu đều dương để tìm khoảng K cho phép.
5. Tại độ lợi giới hạn, hàng s¹ bằng không. Khi đó hàng s² cho phương trình phụ a·s² + b = 0, có nghiệm ±jω cho biết tần số dao động.

Kiểm tra nhanh cho đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀: nó ổn định khi và chỉ khi mọi hệ số đều dương và a₂·a₁ > a₀.

4Một ví dụ có lời giải

Theo dõi từng bước. Hãy thử đoán bước tiếp theo trước khi mở nó.

5Quỹ đạo nghiệm số

Quỹ đạo nghiệm số cho thấy các cực vòng kín dịch chuyển thế nào khi K đi từ 0 đến ∞. Nó bắt đầu từ các cực vòng hở (×) và kết thúc ở các zero vòng hở (○) hoặc ở vô cùng.

• Một điểm trên trục thực nằm trên quỹ đạo khi số cực và zero thực ở bên phải nó là số lẻ.
• n − m nhánh đi ra vô cùng bám theo các đường tiệm cận với các góc (2q + 1)·180°/(n − m).
• Các đường tiệm cận xuất phát từ trọng tâm σ_a = (Σ cực − Σ zero)/(n − m).
• Các nhánh rời hoặc nhập vào trục thực tại nơi dK/ds = 0, với K = −1/G(s) trên trục.
• Độ lợi tại điểm s bất kỳ trên quỹ đạo là K = 1/|G(s)|, tức tích các khoảng cách đến các cực chia cho tích các khoảng cách đến các zero.

Với L(s) = K/(s(s + 2)(s + 4)), trọng tâm là (0 − 2 − 4)/3 = −2, và các đường tiệm cận xuất phát theo các góc 60°, 180° và 300°.

Điểm tách giữa 0 và −2 suy ra từ dK/ds = 0: 3s² + 12s + 8 = 0, nên s = −0,845.

6Lỗi thường gặp

• Gọi một hệ là ổn định chỉ vì mọi hệ số của nó đều dương. Với bậc ba trở lên bạn còn cần phép thử Routh.
• Quên số hạng hằng của đối tượng: với K/((s + a)(s + b)(s + c)), hệ số s⁰ là abc + K, không phải K.
• Lấy trung điểm của hai cực làm điểm tách khi một cực thứ ba hoặc một zero kéo quỹ đạo lệch đi.
• Bỏ qua dấu trong trọng tâm: thừa số (s + 4) là cực tại s = −4.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

• Dễ: bảng Routh và đếm cực. Bạn đếm số cực ở nửa mặt phẳng phải của đa thức bậc ba hoặc bậc bốn, tìm một phần tử của bảng, tìm một cực vòng kín của đối tượng bậc nhất, hoặc độ lợi đưa nó đến một điểm cho trước.
• Trung bình: khoảng giá trị của K. Bạn tìm độ lợi ổn định lớn nhất, tần số dao động tại độ lợi đó, độ lợi nhỏ nhất làm ổn định một đối tượng không ổn định, hoặc độ lợi có thể tăng bao nhiêu.
• Khó: quỹ đạo nghiệm số. Bạn tìm trọng tâm của các đường tiệm cận, giao điểm với trục ảo, các điểm tách và điểm nhập, góc xuất phát từ một cực phức, hoặc độ lợi tại một điểm hay một hệ số tắt dần cho trước.

Để tìm độ lợi ứng với một hệ số tắt dần, viết đa thức đặc trưng rồi so sánh với s² + 2ζω_ns + ω_n².