Đáp ứng bước: bài tập có lời giải từng bước

Bài tập Đáp ứng bước miễn phí có hình vẽ, gợi ý và lời giải đầy đủ. Số liệu mới mỗi lần, ở ba mức độ: hệ bậc nhất, các thông số của hệ bậc hai, hệ vật lý và thiết kế.

Bài tập miễn phíDễ
+−5 VR = 4,7 kΩC = 47 µFvC​

Một tụ điện chưa tích điện C = 47 µF được nạp từ nguồn bước nhảy 5 V qua một điện trở R = 4,7 kΩ. Tìm điện áp tụ điện vC tại t = 220,9 ms.

R = 4,7 kΩC = 47 µFV = 5 Vt = 220,9 ms
V
Bài tiếp theo →
Luyện tập Đáp ứng bước miễn phíLuyện tập Đáp ứng bước ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.

Bạn luyện tập những gì

  1. Dễhệ bậc nhất
  2. Trung bìnhcác thông số của hệ bậc hai
  3. Khóhệ vật lý và thiết kế

Học Đáp ứng bước từ đầu

Trước bài này: Quá độ RC và RL, Biến đổi Laplace

1Đáp ứng bước nhảy là gì

Một bước nhảy là một đầu vào nhảy từ 0 lên một giá trị không đổi tại t = 0 rồi giữ nguyên ở đó. Hãy nghĩ đến việc bật một lò sưởi, hay nhấn chân ga và giữ nguyên.

Đáp ứng bước nhảy là cách đầu ra bám theo. Nó không thể nhảy ngay lập tức: nó tiến về một giá trị cuối mới y(∞) và ổn định ở đó.

tyy(∞)ab

Đường cong a tăng mượt và không bao giờ vượt quá. Đó là hệ bậc một, như một mạch RC hoặc một bể được đun nóng.

Đường cong b vượt quá, dao động vài lần rồi ổn định. Đó là hệ bậc hai cản yếu, như hệ thống treo ô tô hoặc một vật nặng gắn lò xo.

Giá trị cuối đến từ độ lợi DC G(0): một bước nhảy có độ lớn U ổn định ở y(∞) = G(0)·U. Đây là định lý giá trị cuối từ biến đổi Laplace.

Tự kiểm tra Một hệ G(s) = 3/(2s + 1) nhận một bước nhảy có độ lớn 4. Giá trị cuối y(∞) là bao nhiêu?
  1. 12
  2. 3
  3. 4
  4. 6

Đáp số: 12. G(0) = 3/(0 + 1) = 3, nên y(∞) = 3·4 = 12. Giá trị 4 quên độ lợi, 3 quên độ lớn bước nhảy, và 6 chia cho số 2 trong 2s, vốn biến mất tại s = 0.

2Hệ bậc một

Một hệ bậc một có dạng chuẩn dưới đây. K là độ lợi tĩnh và τ là hằng số thời gian tính bằng giây.

G(s) = K/(τs + 1) y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)

Nếu G(s) được viết dưới dạng b/(s + a), chia tử và mẫu cho a. Khi đó K = b/a và τ = 1/a.

ty(t)K·U0,63·K·Uτ2τ3τ4τ5τ
  • Sau 1τ đầu ra đã hoàn thành 63% thay đổi, sau 3τ là 95%, sau 5τ hơn 99%.
  • Thời gian để đạt một tỷ lệ x của giá trị cuối: t = −τ·ln(1 − x). Với 90%, t = τ·ln 10 = 2,3τ.
  • Thời gian tăng 10–90% là tr = τ·ln 9 ≈ 2,2τ.
  • Với mạch RC, τ = R·C. Lưu ý rằng kΩ nhân µF cho ra mili giây.

Nếu đo được đáp ứng, bạn có thể tìm τ ngược lại. Nếu đầu ra đạt tỷ lệ x tại thời điểm t, thì τ = −t/ln(1 − x).

Ví dụ có lời giải

G(s) = 10/(s + 5) nhận một bước nhảy có độ lớn 2 tại t = 0. Tìm giá trị cuối và thời gian để đạt 90% của nó.

1

Dạng chuẩn

Chia tử và mẫu cho 5:

G(s) = 2/(0,2s + 1) ⇒ K = 2, τ = 0,2 s
2

Giá trị cuối

y(∞) = K·U = 2·2 = 4
3

Thời gian đến 90%

Giải 1 − e−t/τ = 0,9, nên e−t/τ = 0,1:

t = −τ·ln(0,1) = 0,2·2,303 = 0,461 s
Đáp số

y(∞) = 4 và đầu ra đạt 90% sau t ≈ 0,461 s.

Tự kiểm tra Hằng số thời gian của G(s) = 10/(s + 5) là bao nhiêu?
  1. 0,2 s
  2. 10 s
  3. 2 s
  4. 5 s

Đáp số: 0,2 s. Viết dưới dạng 2/(0,2s + 1), hằng số thời gian là τ = 1/5 = 0,2 s. 5 s nhầm τ với a, và 2 là độ lợi K, không phải thời gian.

3Hệ bậc hai

Một hệ bậc hai có mẫu số bậc hai. So sánh nó với dạng chuẩn:

G(s) = K/(s² + 2ζωns + ωn²)
  • Số hạng hằng là ωn², nên tần số riêng là ωn = √(số hạng hằng), tính bằng rad/s.
  • Hệ số của s là 2ζωn, nên tỷ số cản là ζ = (hệ số của s)/(2ωn).
  • Với 0 < ζ < 1 đáp ứng vượt quá và dao động. ζ nhỏ hơn nghĩa là vượt quá nhiều hơn.

Với bước nhảy đơn vị, giá trị cuối là G(0) = K/ωn². Năm con số mô tả hình dạng của đáp ứng:

ty(t)y(∞)tp​ymax​%OSts​
ωd = ωn·√(1 − ζ²) tp = π/ωd
%OS = 100·e−ζπ/√(1 − ζ²) ts ≈ 4/(ζωn)
  • ωd là tần số có cản: đáp ứng dao động nhanh đến mức nào.
  • tp là thời gian đỉnh, khi đầu ra cao nhất. %OS là phần trăm vượt quá so với giá trị cuối.
  • ts là thời gian xác lập, sau đó đầu ra nằm trong phạm vi 2% của giá trị cuối.
ReImσjωd​ωn​θ

Hai cực là s = σ ± jωd, với phần thực σ = −ζωn. Khoảng cách của chúng từ gốc là ωn, và cos θ = ζ.

Tự kiểm tra Một hệ có mẫu số s² + 4s + 25. Tỷ số cản ζ là bao nhiêu?
  1. 0,08
  2. 0,4
  3. 0,8
  4. 2

Đáp số: 0,4. ωn = √25 = 5, và 2ζωn = 4 cho ζ = 4/(2·5) = 0,4. 0,8 quên số 2, 0,08 chia cho ωn² thay vì ωn, và 2 là ζωn.

4Phương pháp từng bước

  1. Xác định bậc: mẫu số bậc 1 là hệ bậc một, bậc 2 là hệ bậc hai.
  2. Bậc một: viết G(s) dưới dạng K/(τs + 1) và đọc K và τ.
  3. Bậc hai: so sánh mẫu số với s² + 2ζωns + ωn². Tìm ωn trước, rồi ζ.
  4. Tìm giá trị cuối y(∞) = G(0)·U.
  5. Áp dụng công thức cho đại lượng được hỏi: y(t), một thời gian, tp, %OS, ts hoặc σ.
  6. Kiểm tra đơn vị: thời gian tính bằng giây, ω bằng rad/s, và góc trong các công thức e… và π tính bằng radian.

5Một ví dụ có lời giải

Đây là một câu hỏi trung bình điển hình. Hãy thử từng bước trước khi mở nó.

Ví dụ có lời giải

G(s) = 16/(s² + 4s + 16) nhận một bước nhảy đơn vị. Tìm ζ, ωn, phần trăm vượt quá và thời gian đỉnh.

1

Tần số riêng

Số hạng hằng là ωn² = 16.

ωn = √16 = 4 rad/s
2

Hệ số cản

Hệ số của s là 2ζωn = 4.

ζ = 4/(2·4) = 0,5

ζ nằm giữa 0 và 1, nên đáp ứng vượt quá.

3

Phần trăm vượt quá

ζπ/√(1 − ζ²) = 0,5·π/√0,75 = 1,814
%OS = 100·e−1,814 = 16,3%
4

Thời gian đỉnh

ωd = 4·√(1 − 0,25) = 3,464 rad/s
tp = π/3,464 = 0,907 s
5

Kiểm tra đáp án

Giá trị cuối là G(0) = 16/16 = 1, nên đỉnh khoảng 1,163. Hình ở phần trước dùng chính hệ này.

Thời gian xác lập 4/(ζωn) = 4/2 = 2 s muộn hơn đỉnh, như phải có.

Đáp số

ωn = 4 rad/s, ζ = 0,5, %OS ≈ 16,3% và tp ≈ 0,907 s.

6Lỗi thường gặp

  • Coi sự tăng là tuyến tính. Một hàm mũ đạt 90% sau 2,3τ, không phải sau 0,9τ: dùng t = −τ·ln(1 − x).
  • Dùng ln(x) thay vì ln(1 − x). Logarit lấy phần còn thiếu.
  • Đọc τ = a từ b/(s + a). Hằng số thời gian là 1/a.
  • Dùng ωn² như ωn. Hãy lấy căn bậc hai của số hạng hằng.
  • Quên số 2 trong 2ζωn, hoặc dùng ωn thay vì ωd trong tp = π/ωd.
  • Đưa độ vượt quá dưới dạng phân số (0,163) khi đề hỏi phần trăm (16,3%).
Tự kiểm tra G(s) = 2/(s + 4) nhận một bước nhảy. Đầu ra mất bao lâu để đạt 90% giá trị cuối của nó?
  1. 0,026 s
  2. 0,225 s
  3. 0,576 s
  4. 9,21 s

Đáp số: 0,576 s. τ = 1/4 = 0,25 s và t = −0,25·ln(0,1) = 0,576 s. Đáp án 0,225 s coi sự tăng là tuyến tính (0,9τ). 0,026 s dùng ln(0,9) thay vì ln(0,1). 9,21 s dùng a = 4 thay vì τ.

7Các câu hỏi thi trông như thế nào

  • Dễ: hệ bậc một. Bạn tìm y(∞), đầu ra tại một thời điểm cho trước, thời gian để đạt một tỷ lệ phần trăm, τ từ một điểm đo được, hoặc thời gian nạp của mạch RC.
  • Trung bình: các tham số bậc hai. Từ G(s) = K/(s² + a₁s + a₀) bạn tìm ζ, ωn, %OS, tp, ts hoặc phần thực σ của các cực.
  • Khó: hệ vật lý và thiết kế. Một hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn hoặc mạch RLC, hoặc ζ và ωn suy ngược từ độ vượt quá và thời gian đỉnh đo được.

Với khối lượng m, bộ giảm chấn c và lò xo k, phương trình m·x″ + c·x′ + k·x = F cho:

ωn = √(k/m) ζ = c/(2√(k·m)) x(∞) = F/k

Để suy ngược từ độ vượt quá, giải công thức %OS theo ζ:

ζ = −ln(OS)/√(π² + ln²(OS)), OS = %OS/100

Học từng bước một trong ứng dụngHọc từng bước một trong ứng dụng

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1Dễ
t (s)y(t)y(∞) = ?

Một hệ bậc nhất G(s) = 2/(2s + 1) nhận tín hiệu vào là bước nhảy có biên độ 2 tại t = 0, xuất phát từ trạng thái nghỉ. Tìm giá trị cuối y(∞) của đầu ra.

G(s) = 2/(2s + 1)U = 2

Tìm y(∞)

Hiện các gợi ý
  1. Định lý giá trị cuối: y(∞) = lim s·G(s)·U/s = G(0)·U.
  2. G(0) là hệ số khuếch đại một chiều.
  3. G(0) = 2.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

Độ lợi DC

G(0) = 2

Giá trị cuối

y(∞) = G(0)·U = 2·2 = 4

Đáp số

y(∞) = 4
Ví dụ 2Trung bình
t (s)y(t)3?

Một hệ có hàm truyền G(s) = 213/(s² + 8s + 71) và nhận tín hiệu vào là bước nhảy đơn vị. Tìm độ vọt lố phần trăm %OS của đáp ứng bước.

G(s) = 213/(s² + 8s + 71)

Tìm %OS (%)

Hiện các gợi ý
  1. So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ².
  2. ωₙ = √71 = 8,426 rad/s, ζ = 8/(2ωₙ).
  3. ζ = 0,4747.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

So sánh với dạng chuẩn

Mẫu số phải khớp với s² + 2ζωₙs + ωₙ².

ωₙ² = 71 → ωₙ = 8,426 rad/s
2ζωₙ = 8 → ζ = 8/(2·8,426) = 0,4747

Kết quả

%OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²) = 100·e−1,694 = 18,37 %

Đáp số

%OS = 18,37 %
Ví dụ 3Khó
k = 800 N/mc = 9 N·s/mm = 2,5 kgF = 10 Nx(t)

Một vật khối lượng m = 2,5 kg treo trên lò xo k = 800 N/m có bộ giảm chấn nhớt c = 9 N·s/m (m·x″ + c·x′ + k·x = F). Ở trạng thái cân bằng đứng yên, một lực không đổi F = 10 N đột ngột được đặt vào. Tìm thời điểm tp mà độ dịch chuyển lớn nhất.

m = 2,5 kgk = 800 N/mc = 9 N·s/mF = 10 N

Tìm tp (s)

Hiện các gợi ý
  1. Chia cho m: x″ + (c/m)·x′ + (k/m)·x = F/m, nên ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)).
  2. ωₙ = 17,89 rad/s, ζ = 0,1006.
  3. Độ dịch chuyển cuối là F/k = 12,5 mm.
Hiện đáp án và lời giải từng bước

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

Tần số riêng và hệ số tắt dần

ωₙ = √(k/m) = √(800/2,5) = 17,89 rad/s
ζ = c/(2√(km)) = 9/(2·√(800·2,5)) = 0,1006

Kết quả

ωd = 17,8 rad/s
tp = π/ωd = 0,1765 s

Đáp số

tp = 0,1765 s

Câu hỏi thường gặp

Đáp ứng bước là gì?

Một bước nhảy là một đầu vào nhảy từ 0 lên một giá trị không đổi tại t = 0 rồi giữ nguyên ở đó. Hãy nghĩ đến việc bật một lò sưởi, hay nhấn chân ga và giữ nguyên.

Đường cong a tăng mượt và không bao giờ vượt quá. Đó là hệ bậc một, như một mạch RC hoặc một bể được đun nóng.

Làm thế nào để giải bài tập Đáp ứng bước từng bước?

Đáp ứng bước: một hệ bậc nhất G(s) = K/(τs + 1) đáp ứng với một bước nhảy có biên độ U là y(t) = K·U·(1 − e−t/τ): nó đạt 63,2 % giá trị cuối K·U sau một hằng số thời gian τ và 98 % sau 4τ. Một hệ bậc hai G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) có các cực s = −ζωₙ ± jωd với ωd = ωₙ√(1 − ζ²). Với 0 < ζ < 1, đáp ứng bước có độ vọt lố: độ vọt lố phần trăm %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), thời gian đỉnh tp = π/ωd, và thời gian xác lập 2 % ts ≈ 4/(ζωₙ). So sánh mẫu số với s² + 2ζωₙs + ωₙ² để suy ra ωₙ và ζ. Với hệ khối lượng–lò xo–giảm chấn ωₙ = √(k/m) và ζ = c/(2√(km)); với mạch RLC nối tiếp ωₙ = 1/√(LC) và ζ = (R/2)·√(C/L).

Những lỗi thường gặp trong Đáp ứng bước là gì?
  • Đầu ra xác lập tại K·U chứ không phải tại U: hệ số khuếch đại một chiều là G(0) = 2.
  • Hãy biểu diễn độ vọt lố theo phần trăm: nhân với 100.
  • Số mũ là −ζπ/√(1 − ζ²).
Các bài tập Đáp ứng bước bao gồm những gì?
  • Dễ: hệ bậc nhất
  • Trung bình: các thông số của hệ bậc hai
  • Khó: hệ vật lý và thiết kế

Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án. Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.

Cách luyện tập hoạt động

  • Mỗi bài tập có số liệu mới, nên bạn học phương pháp chứ không học thuộc đáp án.
  • Bí rồi? Hãy mở một gợi ý nhỏ trước, và chỉ xem giải thích đầy đủ khi cần.
  • Tiến độ, lỗi sai và các bài đã lưu của bạn được giữ lại, để bạn xem lại trước kỳ thi.

Các chủ đề trước và sau chủ đề này

Học trước

Quá độ RC và RLBiến đổi Laplace

Tiếp tục với

Sai số xác lập và điều khiển PID

Các môn học có chủ đề này

Kỹ thuật điều khiển 1Tín hiệu và hệ thốngKỹ thuật điều khiển 2: Thiết kế điều khiển hồi tiếpHệ thống cơ điện tửLuyện thi FE Điện và Máy tínhLuyện thi FE Cơ khí

Thêm chủ đề trong Điện

Điện trở nối tiếp và song songNguyên lý xếp chồngThévenin và NortonPhương pháp điện thế nútPhương pháp dòng điện mạch vòngQuá độ RC và RLTổng trở xoay chiều và phasorCông suất xoay chiều và hệ số công suấtCộng hưởng LC, hệ số Q và băng thôngCông suất ba phaMáy biến ápĐộng cơ một chiềuMạch khuếch đại thuật toánDiode và transistorBộ biến đổi DC-DCLogic số: cổng, bìa K và flip-flopCầu Wheatstone và cảm biến biến dạngThu thập dữ liệu và lấy mẫuBiến đổi LaplaceSơ đồ khốiBiểu đồ Bode và độ dự trữỔn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệmSai số xác lập và điều khiển PIDTích chập và hệ LTI

Phiếu bài tập in được

Phiếu bài tập Đáp ứng bước có đáp án
Luyện tập Đáp ứng bước miễn phíLuyện tập Đáp ứng bước ngay5 bài miễn phí mỗi ngày. Không cần thẻ.