Máy tính tiêu chuẩn ổn định Routh–Hurwitz
Nhập số liệu của bạn. Đáp án và lời giải chi tiết cập nhật khi bạn gõ.
Kết quả
| cột 1 | cột 2 | cột 3 | |
|---|---|---|---|
| s⁴ | 1 | 3 | 5 |
| s³ | 2 | 4 | 0 |
| s² | 1 | 5 | 0 |
| s¹ | −6 | 0 | 0 |
| s⁰ | 5 | 0 | 0 |
Kiểm tra tính ổn định của hệ tuyến tính từ đa thức đặc trưng của nó. Máy tính lập bảng Routh bằng phân số chính xác, xử lý số không ở cột đầu (phương pháp ε) và hàng toàn số không (đa thức phụ), đếm số lần đổi dấu và cho số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải, trên trục ảo và ở nửa mặt phẳng trái.
Lời giải từng bước
Đa thức đặc trưng
Hai hàng đầu tiên
Các hàng tiếp theo
Đếm số lần đổi dấu ở cột đầu tiên
Công thức chính
- Ổn định
- mọi nghiệm của đa thức đặc trưng ở nửa mặt phẳng trái
- bảng Routh, phần tử s¹ của đa thức bậc ba
- b1 = (a2a1 − a3a0)/a2
- Nghiệm ở nửa mặt phẳng phải
- số lần đổi dấu trong cột đầu tiên
- Đa thức bậc ba s³ + a₂s² + a₁s + a₀
- ổn định khi mọi a > 0 và a₂·a₁ > a₀
- Phương trình đặc trưng
- 1 + K·G(s) = 0
Cách dùng tiêu chuẩn Routh–Hurwitz
- Viết đa thức đặc trưng với mọi lũy thừa của s từ cao nhất trở xuống. Nếu thiếu một hệ số hoặc các dấu khác nhau, hệ không thể ổn định.
- Điền hàng đầu bằng các hệ số thứ 1, 3, 5, … và hàng thứ hai bằng các hệ số thứ 2, 4, 6, ….
- Mỗi phần tử tiếp theo là (b₁·a_(j+1) − a₁·b_(j+1))/b₁, dùng hai hàng ngay phía trên nó.
- Nếu một phần tử đầu bằng không nhưng hàng không toàn số không, thay nó bằng một số ε > 0 nhỏ. Nếu cả hàng bằng không, thay hàng đó bằng đạo hàm của đa thức phụ lập từ hàng ngay trên.
- Số lần đổi dấu ở cột đầu tiên bằng số nghiệm ở nửa mặt phẳng phải.
Câu hỏi thường gặp
Hàng toàn số không có nghĩa là gì?
Đa thức có các nghiệm đối xứng qua gốc tọa độ: các cặp ±a, ±jω, hoặc bộ bốn. Đa thức phụ từ hàng ngay trên chứa đúng những nghiệm đó, và các nghiệm của nó trên trục ảo khiến hệ cùng lắm chỉ ổn định biên.
Phương pháp ε có luôn đáng tin không?
Không, khi có nghiệm nằm trên trục ảo. Vì vậy máy tính còn tách ra thừa số chung của P(s) và P(−s), chứa mọi nghiệm đối xứng, và đếm chính xác các nghiệm trên trục ảo của nó. Nếu điều đó làm đổi kết quả đếm, các bước giải sẽ ghi rõ.
Làm sao tìm khoảng K để hệ ổn định?
Đưa độ lợi K vào các hệ số, lập bảng dưới dạng ký hiệu và yêu cầu mọi phần tử của cột đầu tiên đều dương. Máy tính này làm việc với số, nên bạn có thể dùng nó để kiểm tra một giá trị K ở hai phía của giới hạn bạn đã tìm.
Bảng Routh ổn định có nghĩa là thiết kế tốt không?
Nó chỉ cho biết mọi cực đều ở nửa mặt phẳng trái. Đáp ứng nhanh và tắt dần tốt đến đâu phụ thuộc vào vị trí các cực; hãy dùng quỹ tích nghiệm hoặc biểu đồ Bode cho việc đó.
Tự luyện tập
Luyện tập Ổn định: Routh–Hurwitz và quỹ đạo nghiệm
Máy tính chỉ cho đáp án. Trong kỳ thi bạn cần phương pháp: hãy luyện nó với bài tập mới, gợi ý và lời giải chi tiết.