Máy tính biến đổi Laplace ngược (phân tích thành phân thức đơn giản)

Gõ các hệ số của mỗi đa thức từ lũy thừa cao nhất của s trở xuống, cách nhau bằng dấu cách, dùng số không cho các lũy thừa bị thiếu. (s + 3)/(s² + 3s + 2) có tử số 1 3 và mẫu số 1 3 2; 1/(s³ + 4s) có tử số 1 và mẫu số 1 0 4 0. Cho phép phân số như 1/2 và số thập phân.

Với cực đơn tại s = a, nhân F(s) với (s − a), rút gọn rồi thay s = a. Với F(s) = (s + 3)/((s + 1)(s + 2)) ta được 2/1 = 2 tại s = −1 và 1/(−1) = −1 tại s = −2, nên f(t) = 2e^(−t) − e^(−2t).

Một cặp cực a ± bj cho số hạng (B(s − a) + C·b)/((s − a)² + b²), có biến đổi ngược là e^(at)·(B cos bt + C sin bt). Máy tính tìm B và C từ hệ số phức A tại a + bj: B = 2·Re A và C = −2·Im A.

Khi đó F(s) là phân thức không thực sự. Phép chia đa thức cho F(s) = Q(s) + R(s)/D(s). Đa thức Q(s) biến đổi thành các xung: hằng số c cho c·δ(t), c·s cho c·δ′(t), v.v. Phần thực sự R(s)/D(s) được phân tích thành phân thức đơn giản như thường lệ.

Các thừa số chung và thừa số lặp được tìm chính xác, bằng phân số. Các nghiệm và hệ số sau đó được tính bằng số đến khoảng 14 chữ số và hiển thị với 4 chữ số có nghĩa, nên các cực vô tỉ, như của s² + s + 1, xuất hiện dưới dạng số thập phân.

Biến đổi Laplace một phía chỉ dùng các giá trị của f với t ≥ 0. Nói chính xác, kết quả là f(t)·u(t), với u là hàm bậc thang đơn vị, nên f(t) = 0 với t < 0.