Tĩnh học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Độ lớn: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vectơ đơn vị: û = a/|a|
Các thành phần từ một góc: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Tích vô hướng: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b: a·b/|b|
Công: W = F·d
Tích có hướng: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Diện tích: hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O: M_O = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp: V = |a·(b × c)|

Phương pháp

Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Khung và máy

Cân bằng của từng thanh: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực: lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt: bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt: F = √(F_x² + F_y²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L: F_in·a = F_out·b
Cơ cấu khuỷu (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải

Phương pháp

Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Bài tập

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình

Tìm góc θ giữa các vectơ a = (0, −5, −2) và b = (−1, −6, −4), theo độ.

a = (0, −5, −2)b = (−1, −6, −4)

θ = °

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó

Lực F = (10, 10, −10) N tác dụng tại điểm A(3, −2, −1). Tọa độ tính bằng mét. Tìm thành phần z là M_z của mô-men của lực đối với gốc tọa độ O(0, 0, 0).

F = (10, 10, −10) NA(3, −2, −1) mO(0, 0, 0) m

M_z = N·m

3.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản (gối cố định tại A, gối con lăn tại B) chịu tải thay đổi tuyến tính giảm từ 20 kN/m tại A xuống không tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A tại gối.

L = 5 mw₀ = 20 kN/m

R_A = kN

4.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 0,5 m, nghiêng 45° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 4,5 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực R_A tại gối cố định A.

L = 5 mP = 50 kN tại 0,5 m, θ = 45°Q = 55 kN tại 4,5 m

R_A = kN

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 3 mB cách A 4 mtải thẳng đứng = 10 kN

F_AC = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_BC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 3 mB cách A 4 mtải thẳng đứng = 10 kNtải ngang = 20 kN →

F_BC = kN

7.Khung và máyTrung bình

Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 4,8 m. Các chân gặp nhau tại chốt C, cao 4 m, và thanh giằng ngang DE cách mặt đất 1,5 m. Một tải 8 kN tác dụng tại C. Tìm độ lớn của lực C mà chốt C tác dụng lên chân BC.

P = 8 kNAB = 4,8 mđộ cao của C = 4 mđộ cao của DE = 1,5 m

C = kN

8.Khung và máyKhó

Dầm AB của giá đỡ tường trong hình được liên kết chốt tại A và được chống bởi thanh CD (C thấp hơn A 0,6 m). Dầm mang tải phân bố đều 3 kN/m trên toàn chiều dài và một tải tập trung 5 kN ở đầu tự do B. Tìm lực F_CD trong thanh chống.

w = 3 kN/mP = 5 kNAD = 2 mAB = 3 mAC = 0,6 m

F_CD = kN

9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mw = 12 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

10.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 5 mP = 10 kN tại 3,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 m

M_max = kN·m

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một ống tròn có đường kính ngoài D = 280 mm và đường kính trong d = 252 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.

D = 280 mmd = 252 mm

r = mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 40 MPa khi kéo và 90 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng lên lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu (cho độ lớn của nó).

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

3Dung dịch

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: θ = 14,24 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Tích vô hướng

a·b = 0·(−1) + (−5)·(−6) + (−2)·(−4) = 38

Các độ lớn

|a| = √(0² + (−5)² + (−2)²) = 5,385

|b| = √((−1)² + (−6)² + (−4)²) = 7,28

Góc

cos θ = 38/(5,385·7,28) = 0,9693

θ = arccos(0,9693) = 14,24°

Đáp số

θ = 14,24°

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: M_z = 50 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vectơ vị trí từ O đến A

r = A − O = (3, −2, −1) − (0, 0, 0) = (3, −2, −1) m

Mô-men M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−2)·(−10) − (−1)·10 = 30 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·10 − 3·(−10) = 20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·10 − (−2)·10 = 50 N·m

Thành phần cần tìm

M_z = 50 N·m

Đáp số

M_z = 50 N·m

3.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 33,33 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = L/3 = 1,667 m

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·1,667

R_B = 16,67 kN

R_A = 50 − 16,67 = 33,33 kN

Đáp số

R_A = 33,33 kN

4.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 51,41 kN

Các thành phần của P

P_v = 50·sin 45° = 35,36 kN

P_h = 50·cos 45° = 35,36 kN

Các phản lực

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35,36·0,5 + 55·4,5 → R_B = 53,04 kN

A_y = 35,36 + 55 − 53,04 = 37,32 kN

A_x = P_h = 35,36 kN

Hợp lực tại A

R_A = √(35,36² + 37,32²) = 51,41 kN

Đáp số

R_A = 51,41 kN

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 4,444 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 → C_y = 6,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6,667 = 3,333 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6,667/0,8321 = −8,012 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8,012)·0,5547 = 4,444 kN

Đáp số

F_AC = 4,444 kN (kéo)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_BC = −20,03 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 + 20·3 → C_y = 16,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 16,67 = −6,667 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −16,67/0,8321 = −20,03 kN

Đáp số

F_BC = −20,03 kN (nén)

7.Khung và máy

Đáp số: C = 5,545 kN

Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.

Lực trong thanh giằng từ chân BC

B_y = 4 kN

T = 4·2,4/2,5 = 3,84 kN

Các thành phần của lực chốt lên BC

C_x = T = 3,84 kN, C_y = −B_y = −4 kN

Độ lớn

C = √(3,84² + 4²) = 5,545 kN

Đáp số

C = 5,545 kN

8.Khung và máy

Đáp số: F_CD = 49,59 kN

Hợp lực của tải phân bố đều

w·L = 3·3 = 9 kN tại 1,5 m

Mômen quanh A cho dầm

F_CD·0,2873·2 = 9·1,5 + 5·3 = 28,5 kN·m

F_CD = 49,59 kN

Đáp số

F_CD = 49,59 kN

9.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 24 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·5·2,5

R_B = 150/5 = 30 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 30 = 30 kN

Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 30·4 − 12·4·2 = 24 kN·m

Đáp số

M_x = 24 kN·m

10.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 15,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3,5 + 2·5·2,5

R_B = 60/5 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 12 = 8 kN

V = 0 ở đâu?

V(3,5⁻) = R_A − w·3,5 = 1 kN

V(3,5⁺) = 1 − 10 = −9 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·3,5 − w·3,5²/2 = 8·3,5 − 2·3,5²/2 = 15,75 kN·m

Đáp số

M_max = 15,75 kN·m

Nó xảy ra tại x = 3,5 m tính từ A.

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: r = 94,18 mm

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.

Diện tích thực và mô-men quán tính

A = π(D² − d²)/4 = 11699 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,038 × 10⁸ mm⁴

Bán kính quán tính

r = √(I/A) = √(1,038 × 10⁸/11699) = 94,18 mm

Đáp số

r = 94,18 mm

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 26,84 kN·m

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Trọng tâm

ȳ = (5000·292,5 + 3360·140)/8360 = 231,2 mm

cạnh trên: c = 305 − 231,2 = 73,79 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 200·25³/12 + 5000·61,29² + 12·280³/12 + 3360·91,21² = 6,895 × 10⁷ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng lên: thớ trên chịu kéo, thớ dưới chịu nén.

cạnh trên: M = 40·6,895 × 10⁷/73,79 = 37,37 kN·m

cạnh dưới: M = 90·6,895 × 10⁷/231,2 = 26,84 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 26,84 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 26,84 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics