Tĩnh học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Độ lớn: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vectơ đơn vị: û = a/|a|
Các thành phần từ một góc: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Tích vô hướng: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b: a·b/|b|
Công: W = F·d
Tích có hướng: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Diện tích: hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O: M_O = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp: V = |a·(b × c)|

Phương pháp

Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Khung và máy

Cân bằng của từng thanh: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực: lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt: bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt: F = √(F_x² + F_y²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L: F_in·a = F_out·b
Cơ cấu khuỷu (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải

Phương pháp

Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Bài tập

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình

Tìm giá trị của k để các vectơ a = (0, 4, 5) và b = (3, 3, k) vuông góc.

a = (0, 4, 5)b = (3, 3, k)

k =

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó

Vectơ đơn vị n̂ vuông góc với cả a = (3, −2, 5) và b = (5, 4, 0) và có thành phần z dương. Tìm thành phần x là n̂_x của nó.

a = (3, −2, 5)b = (5, 4, 0)n̂_z > 0

n̂_x =

3.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_B.

L = 8 mP₁ = 55 kN tại 6 mP₂ = 60 kN tại 7 m

R_B = kN

4.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng R_A.

L = 10 mP = 40 kN tại 3 mw = 10 kN/m từ 6 đến 7 m

R_A = kN

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

C: 30 kN ↓D: 30 kN ↓F: 25 kN ↓G: 40 kN ↓

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 25 kN ↓C: 40 kN ↓F: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ↓H: 40 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

7.Khung và máyTrung bình

Khung trong hình có các chốt tại A, B và C; A và C được cố định xuống đất, cách nhau 3 m, còn B cao 3 m so với mặt đất và cách A 1,8 m về bên phải. Một tải thẳng đứng 20 kN tác dụng lên thanh AB tại K, cách A 1,35 m (theo phương ngang). Tìm lực F_BC trong thanh BC.

P = 20 kNL = 3 mH = 3 mkhoảng cách ngang từ A đến B = 1,8 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,35 m

F_BC = kN

8.Khung và máyKhó

Một cần đồng chất nằm ngang AB có trọng lượng 0,5 kN được liên kết chốt vào tường tại A và được giữ bằng một sợi cáp từ B đến điểm C trên tường, cao hơn A 2,5 m. Một tải 6 kN treo tại B. Tìm độ lớn của phản lực tại chốt A.

W = 6 kNW_b = 0,5 kNAB = 6 mAC = 2,5 m

A = kN

9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 6 mP₁ = 60 kN tại 1,5 mP₂ = 30 kN tại 3,5 m

M_max = kN·m

10.Lực cắt và mômen uốnKhó

Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

15 kN @ 6 m8 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Tìm mômen quán tính I_x của mặt cắt chữ T đối với trục ngang x đi qua trọng tâm.

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 60 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất M_allow mà dầm có thể chịu.

b_f = 200 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

3Dung dịch

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: k = −2,4

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Tích vô hướng bằng không

a·b = 0·3 + 4·3 + 5·k = 0

12 + 5·k = 0

Giải tìm k

k = −12/5 = −2,4

Đáp số

k = −2,4

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: n̂_x = −0,5149

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Tích có hướng

(a × b)_x = a_yb_z − a_zb_y = (−2)·0 − 5·4 = −20

(a × b)_y = a_zb_x − a_xb_z = 5·5 − 3·0 = 25

(a × b)_z = a_xb_y − a_yb_x = 3·4 − (−2)·5 = 22

Chuẩn hóa

Thành phần z của a × b đã dương.

|a × b| = √((−20)² + 25² + 22²) = 38,85

n̂ = (−20, 25, 22)/38,85 = (−0,5149, 0,6436, 0,5663)

n̂_x = −0,5149

Đáp số

n̂_x = −0,5149

3.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_B = 93,75 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 55·6 + 60·7

R_B = 750/8 = 93,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 93,75 = 21,25 kN

Đáp số

R_B = 93,75 kN

4.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 31,5 kN

Sơ đồ vật thể tự do

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN, đặt tại x̄ = 6,5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·3 + 10·1·6,5

R_B = 185/10 = 18,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 18,5 = 31,5 kN

Đáp số

R_A = 31,5 kN

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh BF

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút B

AB và BC nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại BF.

ΣF⊥ = 0 → F_BF = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 61,25 kN (T), BC: 61,25 kN (T), CD: 63,75 kN (T), DE: 63,75 kN (T), FG: 97,5 kN (C), GH: 97,5 kN (C), AF: 86,62 kN (C), HE: 90,16 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 30 kN (T), FC: 51,27 kN (T), HC: 47,73 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: BF

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh DH

Nút D

CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 78,33 kN (T), BC: 78,33 kN (T), CD: 68,33 kN (T), DE: 68,33 kN (T), FG: 163,3 kN (C), GH: 163,3 kN (C), AF: 147,9 kN (C), HE: 85,42 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 56,25 kN (T), HC: 68,75 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: DH

7.Khung và máy

Đáp số: F_BC = 9,693 kN

Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.

Thanh chịu hai lực BC

BC = √(1,2² + 3²) = 3,231 m

Toàn bộ khung: mômen quanh A

Mặt đất đẩy BC tại C dọc theo CB; thành phần ngang của nó đi qua A, chỉ thành phần thẳng đứng mới có mômen.

F_BC·(3/3,231)·3 = 20·1,35

F_BC = 9,693 kN (nén)

Đáp số

F_BC = 9,693 kN

8.Khung và máy

Đáp số: A = 15 kN

Lực căng cáp

T = (6 + 0,5/2)/0,3846 = 16,25 kN

Các thành phần tại A

A_x = T·cos β = 15 kN

A_y = 6 + 0,5 − T·sin β = 0,25 kN

Độ lớn

A = √(15² + 0,25²) = 15 kN

Đáp số

A = 15 kN

9.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 86,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1,5 + 30·3,5

R_B = 195/6 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 32,5 = 57,5 kN

Mô-men dưới mỗi tải

Giữ phần bên trái của mỗi tải.

dưới P₁: M = R_A·1,5 = 57,5·1,5 = 86,25 kN·m

dưới P₂: M = R_B·2,5 = 32,5·2,5 = 81,25 kN·m

Giá trị lớn nhất

M_max = 86,25 kN·m (dưới P₁)

Đáp số

M_max = 86,25 kN·m

10.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: E (x = 4 m)

Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.

Phản lực gối

Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.

R₁ = 8,5 kN, R₂ = 38,5 kN

Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu

Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.

M_A = 0, M_B = 4,5, M_C = 1, M_D = −10,5, M_E = −30 kN·m, M_F = −15, M_G = 0

Đáp số

Điểm đánh dấu E: M_E = −30 kN·m

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 13,38 × 10⁶ mm⁴

Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.

Chia thành hai hình chữ nhật

Đo mọi y từ mép dưới.

cánh: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 140 + 15/2 = 147,5 mm

bụng: A_w = 18·140 = 2520 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

Trọng tâm

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·147,5 + 2520·70)/6420 = 117,1 mm

Định lý trục song song

cánh: 260·15³/12 + 3900·(147,5 − 117,1)² = 3,682 × 10⁶ mm⁴

bụng: 18·140³/12 + 2520·(70 − 117,1)² = 9,702 × 10⁶ mm⁴

I_x = 3,682 × 10⁶ + 9,702 × 10⁶ = 1,338 × 10⁷ mm⁴ = 13,38 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 13,38 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: M_allow = 32,81 kN·m

Trọng tâm

ȳ = (6000·315 + 6000·150)/12000 = 232,5 mm

cạnh trên: c = 330 − 232,5 = 97,5 mm

Mômen quán tính mặt cắt

I = 200·30³/12 + 6000·82,5² + 20·300³/12 + 6000·82,5² = 1,271 × 10⁸ mm⁴

Mô-men cho phép theo từng cạnh

Võng xuống: thớ trên chịu nén, thớ dưới chịu kéo.

cạnh trên: M = 150·1,271 × 10⁸/97,5 = 195,6 kN·m

cạnh dưới: M = 60·1,271 × 10⁸/232,5 = 32,81 kN·m

Giá trị quyết định

M_allow = min = 32,81 kN·m (cạnh dưới)

Đáp số

M_allow = 32,81 kN·m

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics