Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|
Phương pháp
Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Phản lực gối của dầm
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Phương pháp
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Giàn: phương pháp tách nút
Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén
Phương pháp
Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.
Khung và máy
Cân bằng của từng thanh
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực
lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt
bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt
F = √(Fx² + Fy²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L
Fin·a = Fout·b
Cơ cấu khuỷu (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Phương pháp
Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.
Lực cắt và mômen uốn
Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8
Phương pháp
Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Bài tập
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình
Tìm góc θ giữa các vectơ a = (0, 5, −2) và b = (4, −4, −5), theo độ.
a = (0, 5, −2)b = (4, −4, −5)
θ = °
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó
Lực F = (60, 0, 10) N tác dụng tại điểm A(1, −1, −4). Tọa độ tính bằng mét. Tìm thành phần z là Mz của mô-men của lực đối với điểm O(2, −3, −2).
F = (60, 0, 10) NA(1, −1, −4) mO(2, −3, −2) m
Mz = N·m
3.Phản lực gối của dầmTrung bình
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.
L = 8 mP1 = 55 kN tại 4 mP2 = 60 kN tại 6 m
RB = kN
4.Phản lực gối của dầmKhó
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 0,5 m, nghiêng 60° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 3 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực RA tại gối cố định A.
L = 5 mP = 10 kN tại 0,5 m, θ = 60°Q = 65 kN tại 3 m
RA = kN
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 30 kN ↓H: 20 kN ↓
1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓H: 35 kN ←
1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC
7.Khung và máyTrung bình
Khung trong hình có các chốt tại A, B và C; A và C được cố định xuống đất, cách nhau 5 m, còn B cao 3 m so với mặt đất và cách A 2,25 m về bên phải. Một tải thẳng đứng 12 kN tác dụng lên thanh AB tại K, cách A 1,688 m (theo phương ngang). Tìm lực FBC trong thanh BC.
P = 12 kNL = 5 mH = 3 mkhoảng cách ngang từ A đến B = 2,25 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,688 m
FBC = kN
8.Khung và máyKhó
Một cần đồng chất nằm ngang AB có trọng lượng 1,5 kN được liên kết chốt vào tường tại A và được giữ bằng một sợi cáp từ đầu B của nó đến điểm C trên tường, cao hơn A 2,5 m. Một tải 15 kN treo tại B. Tìm lực căng T trong cáp.
W = 15 kNWb = 1,5 kNAB = 4 mAC = 2,5 m
T = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Dầm đơn giản chịu một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M0 = 60 kN·m tại x = 2 m tính từ A, và không có tải nào khác. Tìm mô-men uốn Mx ngay bên phải ngẫu lực. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.
L = 10 mM0 = 60 kN·m cùng chiều kim đồng hồ, tại 2 m
Mx = kN·m
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Các điểm đánh dấu từ A đến G chia dầm thành sáu phần bằng nhau. Tại điểm nào mômen uốn có độ lớn lớn nhất, dù võng hay vồng? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
30 kN @ 0 m55 kN @ 12 m
1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một ống tròn có đường kính ngoài D = 280 mm và đường kính trong d = 260 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.
D = 280 mmd = 260 mm
r = mm
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 160 mm và dày 12 mm, chiều cao tổng thể 400 mm và bụng dày 12 mm. Nó chịu mô-men uốn 20 kN·m quanh trục x. Tìm độ lớn của ứng suất uốn lớn nhất σmax trong tiết diện.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Tích vô hướng
a·b = 0·4 + 5·(−4) + (−2)·(−5) = −10
Các độ lớn
|a| = √(0² + 5² + (−2)²) = 5,385
|b| = √(4² + (−4)² + (−5)²) = 7,55
Góc
cos θ = −10/(5,385·7,55) = −0,246
θ = arccos(−0,246) = 104,2°
Đáp số
θ = 104,2°
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: Mz = −120 N·m
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Vectơ vị trí từ O đến A
r = A − O = (1, −1, −4) − (2, −3, −2) = (−1, 2, −2) m
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·8 = 55·4 + 60·6
RB = 580/8 = 72,5 kN
ΣFy = 0: RA = 115 − 72,5 = 42,5 kN
Đáp số
RB = 72,5 kN
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 34,16 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Các thành phần của P
Pv = 10·sin 60° = 8,66 kN
Ph = 10·cos 60° = 5 kN
Các phản lực
ΣMA = 0: RB·5 = 8,66·0,5 + 65·3 → RB = 39,87 kN
Ay = 8,66 + 65 − 39,87 = 33,79 kN
Ax = Ph = 5 kN
Hợp lực tại A
RA = √(5² + 33,79²) = 34,16 kN
Đáp số
RA = 34,16 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: thanh CG
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút C
BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút G
FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Thanh chịu hai lực BC
BC = √(2,75² + 3²) = 4,07 m
Toàn bộ khung: mômen quanh A
Mặt đất đẩy BC tại C dọc theo CB; thành phần ngang của nó đi qua A, chỉ thành phần thẳng đứng mới có mômen.
FBC·(3/4,07)·5 = 12·1,688
FBC = 5,494 kN (nén)
Đáp số
FBC = 5,494 kN
8.Khung và máy
Đáp số: T = 29,72 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Góc của cáp
BC = √(4² + 2,5²) = 4,717 m, sin β = 0,53
Mômen quanh A
T·0,53·4 = 15·4 + 1,5·2
T = 29,72 kN
Đáp số
T = 29,72 kN
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = 48 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Một ngẫu lực đặt vào làm biểu đồ mô-men uốn nhảy một đoạn bằng độ lớn của ngẫu lực.
Phản lực gối
Mô-men đối với A, chiều ngược chiều kim đồng hồ là dương: RB·L − M0 = 0. Cân bằng theo phương thẳng đứng: RA + RB = 0.
RB = M0/L = 60/10 = 6 kN (hướng lên)
RA = −RB = −6 kN (hướng xuống)
Cắt ngay bên phải ngẫu lực
Bây giờ phần bên trái chứa RA và ngẫu lực.
Mx = RA·a + M0 = −6·2 + 60 = 48 kN·m
Đáp số
Mx = 48 kN·m
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: E (x = 8 m)
Mômen uốn lớn nhất: M đổi độ dốc ở bất cứ chỗ nào lực cắt thay đổi, nên các đỉnh của nó nằm nơi lực cắt đi qua không: dưới một tải tập trung, bên trong một tải phân bố, hoặc trên một gối của phần công-xon. Tại ngàm của dầm công-xon, mômen lớn nhất ở chân tường. So sánh độ lớn của M tại những chỗ đó, dù là mômen làm võng hay làm vồng.
Phản lực gối
Lấy mômen quanh một gối tựa, rồi dùng cân bằng lực thẳng đứng.
R1 = 3,333 kN, R2 = 81,67 kN
Mômen uốn tại mỗi điểm đánh dấu
Cộng các mômen của mọi lực ở một phía của mặt cắt. Võng là dương, vồng là âm.
MA = 0, MB = −60, MC = −113,3, MD = −166,7, ME = −220 kN·m, MF = −110, MG = 0
Đáp số
Điểm đánh dấu E: ME = −220 kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: r = 95,52 mm
Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.
Diện tích thực và mô-men quán tính
A = π(D² − d²)/4 = 8482 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7,74 × 10⁷ mm⁴
Bán kính quán tính
r = √(I/A) = √(7,74 × 10⁷/8482) = 95,52 mm
Đáp số
r = 95,52 mm
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: σmax = 20,23 MPa
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.
Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên
Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − tw) và cao hw = H − 2tf, và có chung trục x.