Tĩnh học: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Độ lớn: |a| = √(a_x² + a_y² + a_z²)
Vectơ đơn vị: û = a/|a|
Các thành phần từ một góc: F_x = F·cos θ, F_y = F·sin θ
Tích vô hướng: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b: a·b/|b|
Công: W = F·d
Tích có hướng: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x)
Diện tích: hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O: M_O = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp: V = |a·(b × c)|

Phương pháp

Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Khung và máy

Cân bằng của từng thanh: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực: lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt: bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt: F = √(F_x² + F_y²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L: F_in·a = F_out·b
Cơ cấu khuỷu (toggle): F_link = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải

Phương pháp

Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Trọng tâm: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Định lý trục song song: I = I_c + A·d²
Mặt cắt ghép: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

2Bài tập

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình

Tìm góc θ giữa các vectơ a = (6, 1, 5) và b = (0, 1, 6), theo độ.

a = (6, 1, 5)b = (0, 1, 6)

θ = °

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó

Lực F = (−40, 50, 20) N tác dụng tại điểm A(3, −3, −1). Tọa độ tính bằng mét. Tìm thành phần x là M_x của mô-men của lực đối với gốc tọa độ O(0, 0, 0).

F = (−40, 50, 20) NA(3, −3, −1) mO(0, 0, 0) m

M_x = N·m

3.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 3 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng R_A, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 65 kN tại 0,5 mP₂ = 45 kN tại 4 m

R_A = kN

4.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 4 m, nghiêng 30° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 1 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực R_A tại gối cố định A.

L = 8 mP = 40 kN tại 4 m, θ = 30°Q = 75 kN tại 1 m

R_A = kN

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 6 mchiều cao = 2 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 50 kN

F_AC = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.

B: 25 kN ↓C: 30 kN ↓G: 30 kN ↓H: 30 kN ↓H: 15 kN ←

1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC

7.Khung và máyTrung bình

Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 3 m, với chốt đỉnh C cao 3,6 m và thanh giằng ngang DE cách mặt đất 2 m. Một tải thẳng đứng 2 kN tác dụng lên chân AC tại K, cách A 1,125 m (theo phương ngang). Tìm lực kéo T trong thanh giằng.

P = 2 kNAB = 3 mđộ cao của C = 3,6 mđộ cao của DE = 2 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,125 m

T = kN

8.Khung và máyKhó

Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 4,8 m, với chốt đỉnh C cao 2,4 m và thanh giằng ngang DE cách mặt đất 0,8 m. Một tải thẳng đứng 12 kN tác dụng lên chân AC tại K, cách A 1,2 m (theo phương ngang). Tìm độ lớn của lực C mà chốt C tác dụng lên chân BC.

P = 12 kNAB = 4,8 mđộ cao của C = 2,4 mđộ cao của DE = 0,8 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,2 m

C = kN

9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P₁ giữa hai gối và một lực tập trung P₂ tại C. Tìm mô-men uốn M_x dưới tải P₁. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 7 mP₁ = 80 kN tại 2 mP₂ = 75 kN tại 7 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m

M_x = kN·m

10.Lực cắt và mômen uốnKhó

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 5 mP = 55 kN tại 1,5 mw = 8 kN/m từ 0 đến 5 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình

Một tiết diện chữ I đối xứng có các cánh rộng 200 mm và dày 16 mm, chiều cao tổng thể 320 mm và bụng dày 14 mm. Tìm mô-men quán tính I_x của nó đối với trục nằm ngang x qua trọng tâm.

B = 200 mmH = 320 mmt_f = 16 mmt_w = 14 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó

Một tấm 100 mm × 200 mm có một lỗ khoét hình chữ nhật rộng 50 mm và cao 20 mm, đặt giữa đường tâm thẳng đứng với tâm cách đáy 80 mm. Tìm mômen quán tính diện tích I_x quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.

b = 100 mmh = 200 mmlỗ khoét: 50 × 20 mmtâm lỗ: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

3Dung dịch

1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: θ = 49,67 °

Dot product: a·b = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.

Tích vô hướng

a·b = 6·0 + 1·1 + 5·6 = 31

Các độ lớn

|a| = √(6² + 1² + 5²) = 7,874

|b| = √(0² + 1² + 6²) = 6,083

Góc

cos θ = 31/(7,874·6,083) = 0,6472

θ = arccos(0,6472) = 49,67°

Đáp số

θ = 49,67°

2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Đáp số: M_x = −10 N·m

Cross product: a × b = (a_yb_z − a_zb_y, a_zb_x − a_xb_z, a_xb_y − a_yb_x) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is M_O = r × F, with r = A − O.

Vectơ vị trí từ O đến A

r = A − O = (3, −3, −1) − (0, 0, 0) = (3, −3, −1) m

Mô-men M = r × F

(r × F)_x = r_yF_z − r_zF_y = (−3)·20 − (−1)·50 = −10 N·m

(r × F)_y = r_zF_x − r_xF_z = (−1)·(−40) − 3·20 = −20 N·m

(r × F)_z = r_xF_y − r_yF_x = 3·50 − (−3)·(−40) = 30 N·m

Thành phần cần tìm

M_x = −10 N·m

Đáp số

M_x = −10 N·m

3.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 39,17 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 65·0,5 + 45·4

R_B = 212,5/3 = 70,83 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = 65 + 45 − 70,83 = 39,17 kN

Đáp số

R_A = 39,17 kN

4.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = 83,18 kN

Các thành phần của P

P_v = 40·sin 30° = 20 kN

P_h = 40·cos 30° = 34,64 kN

Các phản lực

ΣM_A = 0: R_B·8 = 20·4 + 75·1 → R_B = 19,38 kN

A_y = 20 + 75 − 19,38 = 75,63 kN

A_x = P_h = 34,64 kN

Hợp lực tại A

R_A = √(34,64² + 75,63²) = 83,18 kN

Đáp số

R_A = 83,18 kN

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AC = 20,83 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 50·5 → C_y = 41,67 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 41,67 = 8,333 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −41,67/0,8944 = −46,58 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−46,58)·0,4472 = 20,83 kN

Đáp số

F_AC = 20,83 kN (kéo)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: thanh DH

Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.

Nút D

CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).

AB: 45 kN (T), BC: 45 kN (T), CD: 55 kN (T), DE: 55 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 84,85 kN (C), HE: 77,78 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 49,5 kN (T), HC: 35,36 kN (T)

Đáp số

Thanh không lực: DH

7.Khung và máy

Đáp số: T = 0,7031 kN

Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.

Toàn bộ khung: mômen quanh A

B_y = 2·1,125/3 = 0,75 kN

Chân BC: mômen quanh C

0,75·1,5 = T·1,6

T = 0,7031 kN

Đáp số

T = 0,7031 kN

8.Khung và máy

Đáp số: C = 5,408 kN

Phản lực gối đỡ tại B

B_y = 12·1,2/4,8 = 3 kN

Lực trong thanh giằng

T = 3·2,4/1,6 = 4,5 kN

Lực tại chốt lên BC

C_x = 4,5 kN, C_y = −3 kN

C = √(4,5² + 3²) = 5,408 kN

Đáp số

C = 5,408 kN

9.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 81,67 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 80·2 + 75·7

R_B = 685/6 = 114,2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 155 − 114,2 = 40,83 kN

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái

M_x = R_A·2 = 40,83·2 = 81,67 kN·m

Đáp số

M_x = 81,67 kN·m

10.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 45,75 kN·m

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 8·5 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1,5 + 8·5·2,5

R_B = 182,5/5 = 36,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 36,5 = 58,5 kN

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 58,5·3,5 − 55·(3,5 − 1,5) − 8·3,5·1,75 = 45,75 kN·m

Đáp số

M_x = 45,75 kN·m

11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 175,9 × 10⁶ mm⁴

Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = I_c + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng.

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Hai phần khuyết cộng lại rộng (B − t_w) và cao h_w = H − 2t_f, và có chung trục x.

h_w = 320 − 2·16 = 288 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (200·320³ − 186·288³)/12

I_x = 1,759 × 10⁸ mm⁴ = 175,9 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 175,9 × 10⁶ mm⁴

12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

Đáp số: I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có I_c = bh³/12 và hình tròn có I_c = πd⁴/64.

Trọng tâm

ȳ = (20000·100 − 1000·80)/(20000 − 1000) = 101,1 mm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

100·200³/12 + 20000·−1,053² = 66,69 × 10⁶ mm⁴

Lỗ quanh ȳ

50·20³/12 + 1000·−21,05² = 0,4765 × 10⁶ mm⁴

Trừ

I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_x = 66,21 × 10⁶ mm⁴

ExamProblems · examproblems.com/courses/statics

Tĩnh học: gói ôn nước rút

1Công thức và phương pháp

Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng

Phương pháp

Phản lực gối của dầm

Phương pháp

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp

Khung và máy

Phương pháp

Lực cắt và mômen uốn

Phương pháp

Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt

2Bài tập

3Dung dịch

Tích vô hướng

Các độ lớn

Góc

Đáp số

Vectơ vị trí từ O đến A

Mô-men M = r × F

Thành phần cần tìm

Đáp số

Mômen quanh A

Cân bằng theo phương thẳng đứng

Đáp số

Các thành phần của P

Các phản lực

Hợp lực tại A

Đáp số

Phản lực gối

Nút C

Đáp số

Nút D

Kiểm tra bằng phương pháp tách nút

Đáp số

Toàn bộ khung: mômen quanh A

Chân BC: mômen quanh C

Đáp số

Phản lực gối đỡ tại B

Lực trong thanh giằng

Lực tại chốt lên BC

Đáp số

Phản lực gối

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Đáp số

Phản lực gối

Cắt tại x = 3,5 m và giữ phần bên trái

Đáp số

Hình chữ nhật ngoài trừ hai phần khuyết hai bên

Đáp số

Trọng tâm

Tấm đầy đủ quanh ȳ

Lỗ quanh ȳ

Trừ

Đáp số

Cắt dưới P₁ và giữ phần bên trái