Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|
Phương pháp
Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Phản lực gối của dầm
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Phương pháp
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Giàn: phương pháp tách nút
Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén
Phương pháp
Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.
Khung và máy
Cân bằng của từng thanh
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực
lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt
bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt
F = √(Fx² + Fy²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L
Fin·a = Fout·b
Cơ cấu khuỷu (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Phương pháp
Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.
Lực cắt và mômen uốn
Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8
Phương pháp
Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Bài tập
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình
Tìm tích vô hướng a·b của a = (2, 2, 2) và b = (4, 0, 6).
a = (2, 2, 2)b = (4, 0, 6)
a·b =
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó
Tìm thể tích V của hình hộp có các cạnh xuất phát từ một đỉnh là a = (1, −4, −5), b = (5, 5, 3) và c = (−1, −2, −4).
a = (1, −4, −5)b = (5, 5, 3)c = (−1, −2, −4)
V =
3.Phản lực gối của dầmTrung bình
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.
L = 5 mP1 = 30 kN tại 2 mP2 = 25 kN tại 2,5 m
RA = kN
4.Phản lực gối của dầmKhó
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.
L = 8 mP = 30 kN tại 2 mw = 4 kN/m từ 3 đến 5 m
RA = kN
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.
nhịp = 6 mchiều cao = 4 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 60 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.
nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 60 kNtải ngang = 30 kN →
FBC = kN
7.Khung và máyTrung bình
Một dầm ngang AB được liên kết chốt vào tường tại A và được chống bởi thanh CD, liên kết chốt vào tường tại C, thấp hơn A 0,5 m. Một tải 6 kN treo tại B. Bỏ qua trọng lượng. Tìm độ lớn của lực tại chốt A tác dụng lên dầm tại A.
P = 6 kNAD = 1 mAB = 2,5 mAC = 0,5 m
A = kN
8.Khung và máyKhó
Khung trong hình có các chốt tại A, B và C; A và C được cố định xuống đất, cách nhau 5 m, còn B cao 2,5 m và cách A 2,25 m về bên phải. Thanh AB mang một tải thẳng đứng 20 kN tại K, cách A 1,35 m (theo phương ngang), và một tải ngang 3 kN hướng sang phải tác dụng tại B lên thanh AB. Tìm độ lớn của phản lực ngang Ax tại A.
P = 20 kNQ = 3 kNL = 5 mH = 2,5 mkhoảng cách ngang từ A đến B = 2,25 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,35 m
Ax = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.
L = 6 mw = 10 kN/m từ 0 đến 6 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.
L = 8 mP = 50 kN tại 4 mw = 10 kN/m từ 0 đến 8 m
Mmax = kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một tấm 150 mm × 300 mm có một lỗ tròn đường kính 30 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 120 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mmtâm lỗ: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 30 MPa khi kéo và 150 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Nhân các thành phần tương ứng và cộng lại
a·b = 2·4 + 2·0 + 2·6 = 8 + 0 + 12 = 20
Đáp số
a·b = 20
Dương: góc giữa hai vectơ nhỏ hơn 90°.
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: V = 57
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Tích có hướng b × c
(b × c)x = bycz − bzcy = 5·(−4) − 3·(−2) = −14
(b × c)y = bzcx − bxcz = 3·(−1) − 5·(−4) = 17
(b × c)z = bxcy − bycx = 5·(−2) − 5·(−1) = −5
Tích vô hướng với a
a·(b × c) = 1·(−14) + (−4)·17 + (−5)·(−5) = −57
V = |−57| = 57
Đáp số
V = 57
3.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 30,5 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·5 = 30·2 + 25·2,5
RB = 122,5/5 = 24,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 24,5 = 30,5 kN
Đáp số
RA = 30,5 kN
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 26,5 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 30·2 + 4·2·4
RB = 92/8 = 11,5 kN
ΣFy = 0: RA = 38 − 11,5 = 26,5 kN
Đáp số
RA = 26,5 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: FAB = −44,72 kN
Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.
Phản lực gối
Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: Cy·6 = 60·2 → Cy = 20 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 20 = 40 kN
Nút A
Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.
sin α = 4/4,472 = 0,8944
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −40/0,8944 = −44,72 kN
Đáp số
FAB = −44,72 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: FBC = −58,7 kN
Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.
Phản lực gối
Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·2 + 30·3 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 26,25 = 33,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN
Nút C
Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.
sin γ = 3/6,708 = 0,4472, cos γ = 6/6,708 = 0,8944
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Lực trong thanh chống
FCD = 6·2,5/(0,4472·1) = 33,54 kN
Các thành phần tại A
Ax = FCD·cos α = 30 kN (hướng về phía tường)
Ay = 6 − FCD·sin α = −9 kN
Độ lớn
A = √(30² + −9²) = 31,32 kN
Đáp số
A = 31,32 kN
Ay âm nghĩa là tường kéo dầm xuống tại A.
8.Khung và máy
Đáp số: Ax = 4,59 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Hướng của BC
BC = 3,717 m, cos = 0,7399, sin = 0,6727
Toàn bộ khung: mômen quanh A
FBC·0,6727·5 = 20·1,35 + 3·2,5
FBC = 10,26 kN
Cân bằng ngang
Ax + 3 − 10,26·0,7399 = 0
Ax = 4,59 kN → |Ax| = 4,59 kN
Đáp số
Ax = 4,59 kN
Ax hướng sang phải.
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = 33,75 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·6·3
RB = 180/6 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
Cắt tại x = 4,5 m và giữ phần bên trái
Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.
M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 30·4,5 − 10·4,5·2,25 = 33,75 kN·m
Đáp số
Mx = 33,75 kN·m
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mmax = 180 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN, đặt tại x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 10·8·4
RB = 520/8 = 65 kN
ΣFy = 0: RA = 130 − 65 = 65 kN
V = 0 ở đâu?
V(4⁻) = RA − w·4 = 25 kN
V(4⁺) = 25 − 50 = −25 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.
Mô-men lớn nhất
Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 65·4 − 10·4²/2 = 180 kN·m
Đáp số
Mmax = 180 kN·m
Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (45000·150 − 706,9·120)/(45000 − 706,9) = 150,5 mm
Tấm đầy đủ quanh ȳ
150·300³/12 + 45000·−0,4788² = 337,5 × 10⁶ mm⁴
Lỗ quanh ȳ
π·30⁴/64 + 706,9·−30,48² = 0,6964 × 10⁶ mm⁴
Trừ
Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
Đáp số
Ix = 336,8 × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Mallow = 10,39 kN·m
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.