Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|
Phương pháp
Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Phản lực gối của dầm
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Phương pháp
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Giàn: phương pháp tách nút
Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén
Phương pháp
Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.
Khung và máy
Cân bằng của từng thanh
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực
lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt
bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt
F = √(Fx² + Fy²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L
Fin·a = Fout·b
Cơ cấu khuỷu (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Phương pháp
Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.
Lực cắt và mômen uốn
Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8
Phương pháp
Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Bài tập
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình
Tìm giá trị của k để các vectơ a = (3, 2, 4) và b = (k, 5, 0) vuông góc.
a = (3, 2, 4)b = (k, 5, 0)
k =
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó
Với a = (4, −2, −1) và b = (−1, 4, 4), tìm thành phần x (a × b)x của tích có hướng a × b.
a = (4, −2, −1)b = (−1, 4, 4)
(a × b)x =
3.Phản lực gối của dầmTrung bình
Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách tường 7 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.
L = 8 mP = 30 kN tại 7 mw = 10 kN/m từ 0 đến 8 m
MA = kN·m
4.Phản lực gối của dầmKhó
Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 8 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 2 m và tải phân bố đều w từ 5 m đến đầu tự do tại 10 m. Tìm phản lực thẳng đứng RB, lấy chiều hướng lên là dương.
AB = 8 mAC = 10 mP = 50 kN tại 2 mw = 4 kN/m từ 5 đến 10 m
RB = kN
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FBC trong thanh BC. Lấy kéo là dương và nén là âm.
nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 30 kN
FBC = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.
nhịp = 8 mchiều cao = 3 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 60 kNtải ngang = 10 kN →
FAB = kN
7.Khung và máyTrung bình
Một dầm ngang AB được liên kết chốt vào tường tại A và được chống bởi thanh CD, liên kết chốt vào tường tại C, thấp hơn A 0,75 m. Một tải 2 kN treo tại B. Bỏ qua trọng lượng. Tìm độ lớn của lực tại chốt A tác dụng lên dầm tại A.
P = 2 kNAD = 2 mAB = 2,4 mAC = 0,75 m
A = kN
8.Khung và máyKhó
Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 5 m, với chốt đỉnh C cao 3 m và thanh giằng ngang DE cách mặt đất 0,8 m. Một tải thẳng đứng 20 kN tác dụng lên chân AC tại K, cách A 1,25 m (theo phương ngang). Tìm độ lớn của lực C mà chốt C tác dụng lên chân BC.
P = 20 kNAB = 5 mđộ cao của C = 3 mđộ cao của DE = 0,8 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 1,25 m
C = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 4 m. Tìm mô-men uốn Mx tại mặt cắt x = 3,5 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.
L = 4 mP = 25 kN tại 4 mw = 2 kN/m từ 0 đến 4 mx = 3,5 m
Mx = kN·m
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 3 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.
L = 6 mP = 10 kN tại 3,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 6 mx = 3 m
Mx = kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một tấm 150 mm × 240 mm có một lỗ tròn đường kính 50 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 156 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 150 mmh = 240 mmd = 50 mmtâm lỗ: y = 156 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 50 MPa khi kéo và 100 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng lên lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu (cho độ lớn của nó).
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Tích vô hướng bằng không
a·b = 3·k + 2·5 + 4·0 = 0
10 + 3·k = 0
Giải tìm k
k = −10/3 = −3,333
Đáp số
k = −3,333
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: (a × b)x = −4
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Tích có hướng, từng thành phần
(a × b)x = aybz − azby = (−2)·4 − (−1)·4 = −4
(a × b)y = azbx − axbz = (−1)·(−1) − 4·4 = −15
(a × b)z = axby − aybx = 4·4 − (−2)·(−1) = 14
Thành phần cần tìm
(a × b)x = −4
Đáp số
(a × b)x = −4
Kiểm tra: a × b vuông góc với cả hai vectơ, nên tích vô hướng của nó với a và với b bằng 0.
3.Phản lực gối của dầm
Đáp số: MA = 530 kN·m
Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng RA và một mô-men phản lực MA. ΣFy = 0 cho RA, và mô-men đối với tường cho MA = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.
Hợp lực của tải phân bố
W = 10·8 = 80 kN, x̄ = 4 m
Mô-men đối với tường
MA = P·a + W·x̄ = 30·7 + 80·4 = 530 kN·m
Đáp số
MA = 530 kN·m
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RB = 31,25 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Hợp lực của tải phân bố
W = 4·5 = 20 kN, x̄ = (5 + 10)/2 = 7,5 m
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 20·7,5
RB = 250/8 = 31,25 kN
RA = 70 − 31,25 = 38,75 kN
Đáp số
RB = 31,25 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: FBC = −25,16 kN
Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.
Phản lực gối
Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: Cy·4 = 30·3 → Cy = 22,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 22,5 = 7,5 kN
Nút C
Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.
sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.
Phản lực gối
Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: Cy·8 = 60·5 + 10·3 → Cy = 41,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 41,25 = 18,75 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
Nút A
Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.
sin α = 3/5,831 = 0,5145
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −18,75/0,5145 = −36,44 kN
Đáp số
FAB = −36,44 kN (nén)
7.Khung và máy
Đáp số: A = 6,412 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Lực trong thanh chống
FCD = 2·2,4/(0,3511·2) = 6,835 kN
Các thành phần tại A
Ax = FCD·cos α = 6,4 kN (hướng về phía tường)
Ay = 2 − FCD·sin α = −0,4 kN
Độ lớn
A = √(6,4² + −0,4²) = 6,412 kN
Đáp số
A = 6,412 kN
Ay âm nghĩa là tường kéo dầm xuống tại A.
8.Khung và máy
Đáp số: C = 7,569 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Phản lực gối đỡ tại B
By = 20·1,25/5 = 5 kN
Lực trong thanh giằng
T = 5·2,5/2,2 = 5,682 kN
Lực tại chốt lên BC
Cx = 5,682 kN, Cy = −5 kN
C = √(5,682² + 5²) = 7,569 kN
Đáp số
C = 7,569 kN
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = −12,75 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Giữ phần đầu tự do
P: −25·0,5 = −12,5 kN·m
w: −2·0,5²/2 = −0,25 kN·m
Mx = −12,5 − 0,25 = −12,75 kN·m
Đáp số
Mx = −12,75 kN·m
Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = 21,5 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·3,5 + 2·6·3
RB = 71/6 = 11,83 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 11,83 = 10,17 kN
Cắt tại x = 3 m và giữ phần bên trái
Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.
M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 10,17·3 − 2·3·1,5 = 21,5 kN·m
Đáp số
Mx = 21,5 kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (36000·120 − 1963·156)/(36000 − 1963) = 117,9 mm
Tấm đầy đủ quanh ȳ
150·240³/12 + 36000·2,077² = 173 × 10⁶ mm⁴
Lỗ quanh ȳ
π·50⁴/64 + 1963·38,08² = 3,154 × 10⁶ mm⁴
Trừ
Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
Đáp số
Ix = 169,8 × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Mallow = 18,38 kN·m
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.