Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|
Phương pháp
Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Phản lực gối của dầm
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Phương pháp
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Giàn: phương pháp tách nút
Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén
Phương pháp
Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.
Khung và máy
Cân bằng của từng thanh
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực
lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt
bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt
F = √(Fx² + Fy²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L
Fin·a = Fout·b
Cơ cấu khuỷu (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Phương pháp
Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.
Lực cắt và mômen uốn
Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8
Phương pháp
Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Bài tập
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình
Tìm góc θ giữa các vectơ a = (−5, 3, 6) và b = (3, 0, −2), theo độ.
a = (−5, 3, 6)b = (3, 0, −2)
θ = °
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó
Vectơ đơn vị n̂ vuông góc với cả a = (0, 4, −3) và b = (4, 1, 3) và có thành phần z dương. Tìm thành phần x là n̂x của nó.
a = (0, 4, −3)b = (4, 1, 3)n̂z > 0
n̂x =
3.Phản lực gối của dầmTrung bình
Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 2,5 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng RA, lấy chiều hướng lên là dương.
AB = 2,5 mAC = 4 mP1 = 70 kN tại 1,5 mP2 = 35 kN tại 4 m
RA = kN
4.Phản lực gối của dầmKhó
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Một lực P tác dụng tại vị trí cách A 4 m, nghiêng 40° so với phương ngang, và một lực thẳng đứng Q tác dụng tại vị trí cách A 9 m. Tìm độ lớn của tổng phản lực RA tại gối cố định A.
L = 10 mP = 60 kN tại 4 m, θ = 40°Q = 40 kN tại 9 m
RA = kN
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓H: 20 kN ↓
1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh BG
13thanh DG
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
B: 15 kN ↓D: 30 kN ↓F: 35 kN ↓F: 20 kN →
1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC
7.Khung và máyTrung bình
Một dầm ngang AB được liên kết chốt vào tường tại A và được chống bởi thanh CD, liên kết chốt vào tường tại C, thấp hơn A 0,6 m. Một tải 10 kN treo tại B. Bỏ qua trọng lượng. Tìm độ lớn của lực tại chốt A tác dụng lên dầm tại A.
P = 10 kNAD = 0,8 mAB = 1,5 mAC = 0,6 m
A = kN
8.Khung và máyKhó
Khung trong hình có các chốt tại A, B và C; A và C được cố định xuống đất, cách nhau 3 m, còn B cao 2 m và cách A 1,8 m về bên phải. Thanh AB mang một tải thẳng đứng 6 kN tại K, cách A 0,45 m (theo phương ngang), và một tải ngang 8 kN hướng sang phải tác dụng tại B lên thanh AB. Tìm độ lớn của phản lực ngang Ax tại A.
P = 6 kNQ = 8 kNL = 3 mH = 2 mkhoảng cách ngang từ A đến B = 1,8 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 0,45 m
Ax = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Dầm đơn giản chịu hai lực tập trung. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.
L = 5 mP1 = 40 kN tại 1 mP2 = 35 kN tại 2 m
Mmax = kN·m
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 2 m tới đầu tự do C. Tải phân bố đều w tác dụng trên toàn bộ chiều dài A–C. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mmax giữa hai gối.
L = 8 mw = 5 kN/m từ 0 đến 8 mcác gối tại x = 0 và x = 6 m
Mmax = kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một tấm 120 mm × 200 mm có một lỗ tròn đường kính 40 mm trên đường tâm thẳng đứng, tâm lỗ cách đáy 80 mm. Tìm mômen quán tính diện tích Ix quanh trục nằm ngang đi qua trọng tâm.
b = 120 mmh = 200 mmd = 40 mmtâm lỗ: y = 80 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Mặt cắt chữ T được dùng làm dầm với cánh ở trên và chịu mômen uốn làm võng xuống 5 kN·m. Tìm độ lớn ứng suất uốn σtrên ở mép trên.
Tích vô hướng:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, là một đại lượng vô hướng. Nó cho góc giữa hai vectơ, cos θ = a·b/(|a|·|b|), và bằng không khi chúng vuông góc. Hình chiếu vô hướng của a lên b là a·b/|b|, và một lực không đổi F dịch chuyển qua độ dời d sinh công W = F·d.
Tích vô hướng
a·b = (−5)·3 + 3·0 + 6·(−2) = −27
Các độ lớn
|a| = √((−5)² + 3² + 6²) = 8,367
|b| = √(3² + 0² + (−2)²) = 3,606
Góc
cos θ = −27/(8,367·3,606) = −0,895
θ = arccos(−0,895) = 153,5°
Đáp số
θ = 153,5°
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Đáp số: n̂x = −0,6
Tích có hướng:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) vuông góc với cả hai vectơ, và |a × b| = |a|·|b|·sin θ là diện tích hình bình hành mà chúng tạo ra (tam giác có một nửa diện tích đó). Thứ tự có ý nghĩa: b × a = −(a × b). Mô-men của một lực F đặt tại điểm A đối với điểm O là MO = r × F, với r = A − O.
Tích có hướng
(a × b)x = aybz − azby = 4·3 − (−3)·1 = 15
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·4 − 0·3 = −12
(a × b)z = axby − aybx = 0·1 − 4·4 = −16
Chuẩn hóa
Thành phần z của a × b âm, nên dùng −(a × b).
|a × b| = √(15² + (−12)² + (−16)²) = 25
n̂ = −(15, −12, −16)/25 = (−0,6, 0,48, 0,64)
n̂x = −0,6
Đáp số
n̂x = −0,6
3.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 7 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Mômen quanh A
Ngược chiều kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: RB·2,5 = 70·1,5 + 35·4
RB = 245/2,5 = 98 kN
Cân bằng theo phương thẳng đứng
RA = 70 + 35 − 98 = 7 kN
Đáp số
RA = 7 kN
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 53,38 kN
Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Các thành phần của P
Pv = 60·sin 40° = 38,57 kN
Ph = 60·cos 40° = 45,96 kN
Các phản lực
ΣMA = 0: RB·10 = 38,57·4 + 40·9 → RB = 51,43 kN
Ay = 38,57 + 40 − 51,43 = 27,14 kN
Ax = Ph = 45,96 kN
Hợp lực tại A
RA = √(45,96² + 27,14²) = 53,38 kN
Đáp số
RA = 53,38 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: thanh CG
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút C
BC và CD nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút G
FG và GH nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại CG.
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Lực trong thanh chống
FCD = 10·1,5/(0,6·0,8) = 31,25 kN
Các thành phần tại A
Ax = FCD·cos α = 25 kN (hướng về phía tường)
Ay = 10 − FCD·sin α = −8,75 kN
Độ lớn
A = √(25² + −8,75²) = 26,49 kN
Đáp số
A = 26,49 kN
Ay âm nghĩa là tường kéo dầm xuống tại A.
8.Khung và máy
Đáp số: Ax = 4,26 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Hướng của BC
BC = 2,332 m, cos = 0,5145, sin = 0,8575
Toàn bộ khung: mômen quanh A
FBC·0,8575·3 = 6·0,45 + 8·2
FBC = 7,269 kN
Cân bằng ngang
Ax + 8 − 7,269·0,5145 = 0
Ax = −4,26 kN → |Ax| = 4,26 kN
Đáp số
Ax = 4,26 kN
Dấu trừ nghĩa là Ax hướng sang trái.
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mmax = 66 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
ΣMA = 0: RB·5 = 40·1 + 35·2
RB = 110/5 = 22 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 22 = 53 kN
Mô-men dưới mỗi tải
Giữ phần bên trái của mỗi tải.
dưới P1: M = RA·1 = 53·1 = 53 kN·m
dưới P2: M = RB·3 = 22·3 = 66 kN·m
Giá trị lớn nhất
Mmax = 66 kN·m (dưới P2)
Đáp số
Mmax = 66 kN·m
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mmax = 17,78 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.
Phản lực gối
Cân bằng của toàn bộ dầm, kể cả tải trên đoạn công-xôn.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN, đặt tại x̄ = 4 m
Tiết diện có lỗ: coi lỗ là một diện tích âm. Trọng tâm là ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂), với A₁, y₁ cho tấm đầy đủ và A₂, y₂ cho lỗ. Với mômen quán tính diện tích quanh trục đi qua trọng tâm, dùng định lý trục song song cho từng phần rồi trừ lỗ: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²), trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm riêng của mỗi phần đến trục đi qua ȳ. Hình chữ nhật có Ic = bh³/12 và hình tròn có Ic = πd⁴/64.
Trọng tâm
ȳ = (24000·100 − 1257·80)/(24000 − 1257) = 101,1 mm
Tấm đầy đủ quanh ȳ
120·200³/12 + 24000·−1,105² = 80,03 × 10⁶ mm⁴
Lỗ quanh ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−21,11² = 0,6854 × 10⁶ mm⁴
Trừ
Ix = 79,34 × 10⁶ mm⁴
Đáp số
Ix = 79,34 × 10⁶ mm⁴
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: σtrên = 4,96 MPa
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.
Chia thành hai hình chữ nhật
Đo mọi y từ mép dưới.
cánh: Af = 240·30 = 7200 mm², yf = 240 + 30/2 = 255 mm