Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Vectơ: tích vô hướng và tích có hướng
Độ lớn
|a| = √(ax² + ay² + az²)
Vectơ đơn vị
û = a/|a|
Các thành phần từ một góc
Fx = F·cos θ, Fy = F·sin θ
Tích vô hướng
a·b = axbx + ayby + azbz = |a||b|cos θ
Hình chiếu vô hướng của a lên b
a·b/|b|
Công
W = F·d
Tích có hướng
a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx)
Diện tích
hình bình hành |a × b|, tam giác ½|a × b|
Mô-men đối với O
MO = r × F, r = A − O
Thể tích hình hộp
V = |a·(b × c)|
Phương pháp
Viết mọi vectơ theo các thành phần; với lực cho bằng độ lớn và một góc, dùng F·cos θ và F·sin θ.
Với độ dài và hướng, dùng độ lớn √(x² + y² + z²) và vectơ đơn vị a/|a|.
Dùng tích vô hướng cho góc, hình chiếu, tính vuông góc và công: a·b = |a||b|cos θ.
Dùng tích có hướng cho các vectơ vuông góc, diện tích và mô-men: viết cẩn thận ba thành phần, giữ đúng thứ tự a × b.
Phản lực gối của dầm
Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d
Phương pháp
Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.
Giàn: phương pháp tách nút
Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén
Phương pháp
Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.
Khung và máy
Cân bằng của từng thanh
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Thanh chịu hai lực
lực dọc theo đường thẳng đi qua hai chốt của nó
Lực tại chốt
bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà nó nối
Độ lớn của lực tại chốt
F = √(Fx² + Fy²)
Đòn bẩy, kìm, tay quay chữ L
Fin·a = Fout·b
Cơ cấu khuỷu (toggle)
Flink = F/(2 sin θ), Q = F/(2 tan θ)
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Phương pháp
Vẽ toàn bộ kết cấu và tìm các phản lực gối đỡ nếu có không quá ba ẩn.
Nhận ra các thanh chịu hai lực: chỉ chịu tải tại hai chốt, lực của chúng tác dụng dọc theo đường thẳng giữa hai chốt.
Tháo khung ra và vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều ở nơi các thanh gặp nhau.
Với mỗi thanh, lấy mômen quanh một chốt có các lực chưa biết, rồi dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0; ghép các thành phần thành độ lớn ở cuối.
Lực cắt và mômen uốn
Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8
Phương pháp
Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.
Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Trọng tâm
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Định lý trục song song
I = Ic + A·d²
Mặt cắt ghép
I = Σ(Ic,i + Aidi²)
2Bài tập
1.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngTrung bình
Tìm tích vô hướng a·b của a = (1, −2, −4) và b = (−2, −2, 4).
a = (1, −2, −4)b = (−2, −2, 4)
a·b =
2.Vectơ: tích vô hướng và tích có hướngKhó
Với a = (2, 0, −3) và b = (2, 6, −5), tìm thành phần y (a × b)y của tích có hướng a × b.
a = (2, 0, −3)b = (2, 6, −5)
(a × b)y =
3.Phản lực gối của dầmTrung bình
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.
L = 10 mP1 = 50 kN tại 2 mP2 = 45 kN tại 6 m
RA = kN
4.Phản lực gối của dầmKhó
Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.
L = 5 mP = 40 kN tại 2,5 mw = 2 kN/m từ 0 đến 5 m
RB = kN
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.
nhịp = 6 mchiều cao = 2 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 10 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
Đúng một thanh của giàn này không mang lực dưới các tải này. Thanh nào là thanh không lực? Nhấp vào nó trong sơ đồ.
B: 25 kN ↓F: 20 kN →G: 35 kN ↓H: 15 kN ↓
1thanh AB
2thanh BC
3thanh CD
4thanh DE
5thanh FG
6thanh GH
7thanh AF
8thanh HE
9thanh BF
10thanh CG
11thanh DH
12thanh FC
13thanh HC
7.Khung và máyTrung bình
Khung trong hình có các chốt tại A, B và C; A và C được cố định xuống đất, cách nhau 3 m, còn B cao 3 m so với mặt đất và cách A 0,45 m về bên phải. Một tải thẳng đứng 4 kN tác dụng lên thanh AB tại K, cách A 0,1125 m (theo phương ngang). Tìm lực FBC trong thanh BC.
P = 4 kNL = 3 mH = 3 mkhoảng cách ngang từ A đến B = 0,45 mkhoảng cách ngang từ A đến K = 0,1125 m
FBC = kN
8.Khung và máyKhó
Khung chữ A trong hình đứng trên một gối cố định tại A và một con lăn tại B, cách nhau 2,4 m. Các chân gặp nhau tại chốt C, cao 2,4 m, và được giằng bởi thanh ngang DE ở độ cao 0,8 m. Một lực ngang 2 kN hướng sang phải tác dụng tại C. Tìm lực kéo T trong thanh giằng.
P = 2 kNAB = 2,4 mđộ cao của C = 2,4 mđộ cao của DE = 0,8 m
T = kN
9.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
Dầm công-xôn ngàm tại A. Dầm chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại vị trí cách A 1 m. Tìm mô-men uốn Mx tại mặt cắt x = 0,5 m tính từ ngàm A. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.
L = 2 mP = 55 kN tại 1 mw = 8 kN/m từ 0 đến 2 mx = 0,5 m
Mx = kN·m
10.Lực cắt và mômen uốnKhó
Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 4 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.
L = 5 mP = 60 kN tại 4 mw = 3 kN/m từ 0 đến 5 mx = 4 m
Mx = kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtTrung bình
Một ống tròn có đường kính ngoài D = 140 mm và đường kính trong d = 108 mm. Tìm bán kính quán tính r của nó đối với trục nằm ngang qua trọng tâm.
D = 140 mmd = 108 mm
r = mm
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắtKhó
Một dầm gang có tiết diện chữ T như hình, cánh nằm phía trên. Ứng suất cho phép là 40 MPa khi kéo và 120 MPa khi nén. Tìm mô-men uốn võng xuống lớn nhất Mallow mà dầm có thể chịu.
Dot product:a·b = axbx + ayby + azbz = |a|·|b|·cos θ, a scalar. It gives the angle between two vectors, cos θ = a·b/(|a|·|b|), and it is zero when they are perpendicular. The scalar projection of a onto b is a·b/|b|, and a constant force F moving through a displacement d does work W = F·d.
Cross product:a × b = (aybz − azby, azbx − axbz, axby − aybx) is perpendicular to both vectors, and |a × b| = |a|·|b|·sin θ is the area of the parallelogram they span (the triangle has half of it). Order matters: b × a = −(a × b). The moment of a force F applied at point A about point O is MO = r × F, with r = A − O.
Tích có hướng, từng thành phần
(a × b)x = aybz − azby = 0·(−5) − (−3)·6 = 18
(a × b)y = azbx − axbz = (−3)·2 − 2·(−5) = 4
(a × b)z = axby − aybx = 2·6 − 0·2 = 12
Thành phần cần tìm
(a × b)y = 4
Đáp số
(a × b)y = 4
Kiểm tra: a × b vuông góc với cả hai vectơ, nên tích vô hướng của nó với a và với b bằng 0.
3.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RA = 58 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
ΣMA = 0: RB·10 = 50·2 + 45·6
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 37 = 58 kN
Đáp số
RA = 58 kN
4.Phản lực gối của dầm
Đáp số: RB = 25 kN
Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.
Sơ đồ vật thể tự do
Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.
Cân bằng
Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 40·2,5 + 2·5·2,5
RB = 125/5 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 25 = 25 kN
Đáp số
RB = 25 kN
5.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: FAB = −9,428 kN
Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.
Phản lực gối
Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·2 → Cy = 3,333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3,333 = 6,667 kN
Nút A
Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.
sin α = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −6,667/0,7071 = −9,428 kN
Đáp số
FAB = −9,428 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút
Đáp số: thanh DH
Thanh không lực: tại một nút, các lực phải cân bằng theo mọi phương. Nếu một nút không có tải và không có gối tựa, và hai trong ba thanh của nó thẳng hàng, thì cân bằng theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ liên quan đến thanh thứ ba, nên lực của nó bằng không. Nếu chỉ có hai thanh gặp nhau tại một nút không chịu tải và chúng không thẳng hàng, cả hai đều bằng không.
Nút D
CD và DE nằm trên một đường thẳng và nút không chịu tải. Cân bằng lực theo phương vuông góc với đường thẳng đó chỉ còn lại DH.
ΣF⊥ = 0 → FDH = 0
Kiểm tra bằng phương pháp tách nút
Giải tất cả các nút cho các lực thanh sau (T = kéo, C = nén).
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Thanh chịu hai lực BC
BC = √(2,55² + 3²) = 3,937 m
Toàn bộ khung: mômen quanh A
Mặt đất đẩy BC tại C dọc theo CB; thành phần ngang của nó đi qua A, chỉ thành phần thẳng đứng mới có mômen.
FBC·(3/3,937)·3 = 4·0,1125
FBC = 0,1969 kN (nén)
Đáp số
FBC = 0,1969 kN
8.Khung và máy
Đáp số: T = 1,5 kN
Khung và máy: khác với giàn, khung chứa ít nhất một thanh chịu lực tại nhiều hơn hai điểm, hoặc chịu tải giữa các chốt của nó. Trước hết tìm các thanh chịu hai lực: một thanh chỉ chịu tải tại hai chốt có lực dọc theo đường thẳng đi qua chúng, nên chỉ thêm một ẩn, không phải hai. Sau đó dùng toàn bộ kết cấu để tìm phản lực gối đỡ khi có không quá ba ẩn. Cuối cùng tháo khung ra: vẽ riêng từng thanh, với các lực tại chốt bằng nhau và ngược chiều trên hai thanh mà chúng nối, rồi viết ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 cho nó. Lấy mômen quanh một chốt loại bỏ cả hai thành phần lực của chốt đó khỏi phương trình.
Toàn bộ khung: mômen quanh A
By·2,4 = 2·2,4
By = 2 kN
Chân BC: mômen quanh C
2·1,2 = T·1,6
T = 1,5 kN
Đáp số
T = 1,5 kN
T dương nghĩa là thanh giằng chịu kéo, đúng như đã giả sử.
9.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = −36,5 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Giữ phần đầu tự do
P: −55·0,5 = −27,5 kN·m
w: −8·1,5²/2 = −9 kN·m
Mx = −27,5 − 9 = −36,5 kN·m
Đáp số
Mx = −36,5 kN·m
Dấu âm nghĩa là uốn võng lên: thớ trên chịu kéo.
10.Lực cắt và mômen uốn
Đáp số: Mx = 54 kN·m
Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.
Phản lực gối
Cân bằng của cả dầm.
Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN, đặt tại x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 60·4 + 3·5·2,5
RB = 277,5/5 = 55,5 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 55,5 = 19,5 kN
Cắt tại x = 4 m và giữ phần bên trái
Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.
M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 19,5·4 − 3·4·2 = 54 kN·m
Đáp số
Mx = 54 kN·m
11.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: r = 44,2 mm
Mô-men quán tính của tiết diện: với hình chữ nhật đối với trục qua trọng tâm của nó I = bh³/12, và đối với trục đáy bh³/3 (định lý trục song song I = Ic + A·d²). Lỗ rỗng được xử lý bằng cách trừ đi I của nó, miễn là cả hai phần có chung một trục. Mô-đun chống uốn đàn hồi là S = I/c, với c là khoảng cách đến thớ ngoài cùng. Bán kính quán tính r = √(I/A) là khoảng cách mà tại đó toàn bộ diện tích cho cùng giá trị I; nó được dùng trong bài toán mất ổn định của cột.
Diện tích thực và mô-men quán tính
A = π(D² − d²)/4 = 6233 mm²
I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 1,218 × 10⁷ mm⁴
Bán kính quán tính
r = √(I/A) = √(1,218 × 10⁷/6233) = 44,2 mm
Đáp số
r = 44,2 mm
12.Trọng tâm và mômen quán tính mặt cắt
Đáp số: Mallow = 4,591 kN·m
Diện tích ghép: chia mặt cắt thành các hình chữ nhật. Trọng tâm là trung bình có trọng số theo diện tích ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. Mômen quán tính của mặt cắt đối với trục đi qua trọng tâm bằng tổng bh³/12 của từng phần và số hạng trục song song A·d², trong đó d là khoảng cách từ trọng tâm của phần đó đến trọng tâm chung. Ứng suất uốn là σ = M·y/I.