Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 41, 11, 31, 12, 22, 44, 36.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 200.

μ = 170σ = 20x = 200

z =

3.Xác suấtTrung bình

Một túi chứa 7 quả bóng đỏ và 7 quả xanh dương. Bạn rút hai quả mà không trả quả đầu tiên lại. Xác suất P để cả hai đều đỏ là bao nhiêu?

7 / 7

P =

4.Xác suấtKhó

11 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 11p = 0,5

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Kéo z sao cho diện tích tô bóng dưới đường cong chuẩn tắc, bên phải z, bằng 0,6179. Tìm z với hai chữ số thập phân.

A = 0,6179

z =

6.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 90% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 90).

μ = 500σ = 40P = 90%

x = h

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 12 phần tử có trung bình 50 và độ lệch chuẩn s = 14. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 12x̄ = 50s = 1499%t(11) = 3,106

giới hạn trên =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 18. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 2?

σ = 18E = 299%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 201,4 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 201,4s = 8n = 100

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 100 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 45 trong 100 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 100n₁ = 250x₂ = 45n₂ = 100

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 30Σy = 53Σx² = 220Σy² = 605Σxy = 358

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 35?

n = 5ŷ = 35

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,41

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 197/7 = 28,14

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 12,86² + (−17,14)² + 2,857² + (−16,14)² + (−6,143)² + 15,86² + 7,857² = 1079

Độ lệch chuẩn

s = √(1079/6) = 13,41

Đáp số

s = 13,41

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = 1,5

Chuẩn hóa

z = (200 − 170)/20 = 1,5

Đáp số

z = 1,5

3.Xác suất

Đáp số: P = 0,2308

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Lần rút thứ nhất và thứ hai

P = 7/14 · 6/13 = 42/182 = 0,2308

Đáp số

P = 0,2308

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,005859

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,5¹¹ = 0,0004883

P(X = 1) = 11·0,5·0,5¹⁰ = 0,005371

Cộng lại

P = 0,0004883 + 0,005371 = 0,005859

Đáp số

P = 0,005859

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: z = −0,3

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái z

Φ(z) = 1 − 0,6179 = 0,3821

Đọc bảng z theo chiều ngược lại

Tìm 0,3821 bên trong bảng và đọc ra z.

z = −0,30

Đáp số

z = −0,30

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 551,3 h

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

z của phân vị

Φ(z) = 0,9 → z = 1,282

Quay lại x

x = 500 + 1,282·40 = 551,26 h

Đáp số

x = 551,26 h

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 62,55

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 11, t = 3,106

Sai số biên

E = 3,106·14/√12 = 12,55

Khoảng

50 ± 12,55 → [37,45, 62,55]

Đáp số

giới hạn trên = 62,55

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 538

Giải tìm n

n = (2,576·18/2)² = 537,5

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 538

Đáp số

n = 538

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 1,75

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 8/√100 = 8/10 = 0,8

Thống kê kiểm định

t = (201,4 − 200)/0,8 = 1,75

Đáp số

t = 1,75

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = −0,8579

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 100/250 = 0,4

p̂₂ = 45/100 = 0,45

p̂ = 145/350 = 0,4143

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,4143·0,5857·(1/250 + 1/100)) = 0,05829

Thống kê kiểm định

z = (0,4 − 0,45)/0,05829 = −0,8579

Đáp số

z = −0,8579

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9623

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 358 − 30·53/5 = 40

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 605 − 53²/5 = 43,2

Hệ số tương quan

r = 40/√(40·43,2) = 0,9623

Đáp số

r = 0,9623

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 4,541

Các giá trị trung bình

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 165/5 = 33

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 37

Đường hồi quy

b = 37/10 = 3,7

a = 33 − 3,7·4 = 18,2

ŷ = 18,2 + 3,7·x

Giải tìm x

x = (35 − 18,2)/3,7 = 4,541

Đáp số

x = 4,541

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1