Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 33, 54, 41, 19, 60.

n = 5

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 500 và độ lệch chuẩn 50. Tỉ lệ P các giá trị lớn hơn 475 là bao nhiêu?

μ = 500σ = 50x = 475

P =

3.Xác suấtTrung bình

Có bao nhiêu cách N chọn một ủy ban gồm 2 người từ một nhóm 9 người? Thứ tự không quan trọng.

n = 9k = 2

N =

4.Xác suấtKhó

10 linh kiện được kiểm tra, mỗi linh kiện hỏng với xác suất 0,5, độc lập với nhau. Xác suất P để có nhiều nhất một linh kiện hỏng là bao nhiêu?

n = 10p = 0,5

P =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hành khách có hành lý là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 85 kg và độ lệch chuẩn 12 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 1103 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 12> 1103 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 100 điện thoại, trung bình 70,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 11 h. Mẫu 2: 100 điện thoại, trung bình 83 h, độ lệch chuẩn đã biết 20 h. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.

n₁ = 100x̄₁ = 70,5 hσ₁ = 11 hn₂ = 100x̄₂ = 83 hσ₂ = 20 h99%

giới hạn trên = h

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 27. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1?

σ = 27E = 199%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 499,4 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 499,4s = 4n = 100

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100 được thực hiện ở mức α = 0.10 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 12.5. Trên thực tế trung bình là 94.5. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 100μ = 94,5σ = 12,5n = 25α = 0,10

β = %

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số tương quan Pearson r.

n = 6

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 6.

n = 5x = 6

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 16,41

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 207/5 = 41,4

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−8,4)² + 12,6² + (−0,4)² + (−22,4)² + 18,6² = 1077

Độ lệch chuẩn

s = √(1077/4) = 16,41

Đáp số

s = 16,41

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,6915

Chuẩn hóa

z = −0,5

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

Đáp số

P = 0,6915

3.Xác suất

Đáp số: N = 36

Xác suất: với các kết quả đồng khả năng, P(A) = thuận lợi/tổng. Với các biến cố độc lập thì nhân: P(A và B) = P(A)·P(B). Biến cố bù thường có ích: P(ít nhất một) = 1 − P(không có). Nhị thức: trong n phép thử độc lập với xác suất thành công p, P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

Tổ hợp

C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36

Đáp số

N = 36

4.Xác suất

Đáp số: P = 0,01074

Không hỏng và một hỏng

P(X = 0) = 0,5¹⁰ = 0,0009766

P(X = 1) = 10·0,5·0,5⁹ = 0,009766

Cộng lại

P = 0,0009766 + 0,009766 = 0,01074

Đáp số

P = 0,01074

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,02275

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 1020 kg, σ_T = 12·√12 = 41,57 kg

Chuẩn hóa

z = (1103 − 1020)/41,57 = 2

Xác suất

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

Đáp số

P = 0,02275

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = −6,62 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

Ước lượng điểm

x̄₁ − x̄₂ = 70,5 − 83 = −12,5

Sai số chuẩn

SE = √(11²/100 + 20²/100) = 2,283

Sai số biên

E = 2,576·2,283 = 5,88

Khoảng

−12,5 ± 5,88 → [−18,38, −6,62]

Đáp số

giới hạn trên = −6,62 h

Khoảng không chứa 0, nên các trung bình khác nhau có ý nghĩa.

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 4838

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (2,576·27/1)² = 4837

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 4838

Đáp số

n = 4838

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −1,5

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 4/√100 = 4/10 = 0,4

Thống kê kiểm định

t = (499,4 − 500)/0,4 = −1,5

Đáp số

t = −1,5

t_{0,025; df = 99} = 1,984

|t| < 1.984, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 17,93 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 12,5/√25 = 2,5

x̄_c = 100 − 1,282·2,5 = 96,8

z theo trung bình thật

z = (96,8 − 94,5)/2,5 = 0,918

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 0.918) = 82.07%

β = 100% − 82,07% = 17,93%

Đáp số

β = 17,93%

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,99

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 490/6 = 81,67

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 370

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1995

Hệ số tương quan

r = 370/√(70·1995) = 0,99

Đáp số

r = 0,99

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 49,2

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 231/5 = 46,2

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 120

Đường hồi quy

b = 120/40 = 3

a = 46,2 − 3·5 = 31,2

ŷ = 31,2 + 3·x

Dự đoán

ŷ = 31,2 + 3·6 = 49,2

Đáp số

ŷ = 49,2

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1