Thống kê mô tả
- Trung bình
- x̄ = Σx/n
- Độ lệch chuẩn mẫu
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- Trung vị
- giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Phân phối chuẩn
- 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ
Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút
Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
1Công thức và phương pháp
Xác suất
- Biến cố bù
- P(not A) = 1 − P(A)
- Quy tắc cộng
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- Biến cố độc lập
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- Xác suất có điều kiện
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- Nhị thức
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
Phân phối chuẩn
- Điểm z
- z = (x − μ)/σ
- Dưới x
- P(X < x) = Φ(z)
- Trên x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- Giữa
- Φ(z2) − Φ(z1)
- Phân vị
- x = μ + z·σ
Phương pháp
- Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
- Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
- Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
- Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.
Khoảng tin cậy
- biết σ
- x̄ ± z·σ/√n
- chưa biết σ
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z tới hạn
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- Cỡ mẫu
- n = (z·σ/E)², rounded up
Phương pháp
- Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
- Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
- Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
- Khoảng: x̄ ± E.
Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
- Kiểm định z cho giá trị trung bình
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- Kiểm định t cho giá trị trung bình
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- Hai phía ở mức 5%
- bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
- Khoảng tin cậy
- x̄ ± z·σ/√n
Phương pháp
- Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
- Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
- So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
- Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.
Hồi quy tuyến tính và tương quan
- Tổng bình phương
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- Hệ số góc
- b = Sxy/Sxx
- Hệ số chặn
- a = ȳ − b·x̄
- Tương quan
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- Phần dư
- e = y − ŷ
2Bài tập
1.Thống kê mô tảTrung bình
Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 33, 10, 50, 31, 57, 35, 23.
n = 7
s =
2.Thống kê mô tảKhó
Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 15. Tìm điểm z z của điểm số 155.
μ = 170σ = 15x = 155
z =
3.Xác suấtTrung bình
Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.
x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,35, 0,3
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
Một trò chơi tốn €1 mỗi lượt. Bạn thắng €3 với xác suất 0,1 và €10 với xác suất 0,05; nếu không bạn không thắng gì. Tiền cược không được trả lại. Tìm lợi nhuận ròng kỳ vọng E(G) mỗi lượt.
tiền cược = €1€3: p = 0,1€10: p = 0,05
E(G) = €
5.Phân phối chuẩnTrung bình
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 32,3 và 35 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
μ = 32σ = 6x1 = 32,3x2 = 35
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,01 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,01 mm
P =
7.Khoảng tin cậyTrung bình
Thời lượng pin của hai mẫu điện thoại được so sánh. Mẫu 1: 50 điện thoại, trung bình 52 h, độ lệch chuẩn đã biết 9 h. Mẫu 2: 60 điện thoại, trung bình 54,5 h, độ lệch chuẩn đã biết 11 h. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho μ₁ − μ₂.
n₁ = 50x̄₁ = 52 hσ₁ = 9 hn₂ = 60x̄₂ = 54,5 hσ₂ = 11 h99%
giới hạn dưới = h
8.Khoảng tin cậyKhó
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 22. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?
σ = 22E = 595%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
Hai phương pháp giảng dạy được so sánh. Nhóm 1: 5 học sinh, điểm trung bình 89, độ lệch chuẩn 6. Nhóm 2: 7 học sinh, điểm trung bình 97, độ lệch chuẩn 2,5. Giả sử các phương sai tổng thể bằng nhau và dùng kiểm định t hai mẫu gộp. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ₁ = μ₂, lấy hiệu là x̄₁ − x̄₂ (nhóm 1 trừ nhóm 2).
n₁ = 5x̄₁ = 89s₁ = 6n₂ = 7x̄₂ = 97s₂ = 2,5
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
Trong một thử nghiệm, 83 trong 150 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 155 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 83n₁ = 150x₂ = 155n₂ = 250
z =
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
n = 5
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = nhiệt độ theo °C và y = số kem bán được. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (23,5, 62) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
n = 6(23,5, 62)
e =
3Dung dịch
1.Thống kê mô tả
Đáp số: s = 15,77
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Trung bình
x̄ = 239/7 = 34,14
Bình phương các độ lệch
Σ(x − x̄)² = (−1,143)² + (−24,14)² + 15,86² + (−3,143)² + 22,86² + 0,8571² + (−11,14)² = 1493
Độ lệch chuẩn
s = √(1493/6) = 15,77
Đáp số
s = 15,77
2.Thống kê mô tả
Đáp số: z = −1
Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.
Chuẩn hóa
z = (155 − 170)/15 = −1
Đáp số
z = −1
3.Xác suất
Đáp số: Var(X) = 0,6475
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Trung bình
μ = 0·0,35 + 1·0,35 + 2·0,3 = 0,95
Trung bình của các bình phương
E(X²) = 0·0,35 + 1·0,35 + 4·0,3 = 1,55
Phương sai
Var(X) = 1,55 − 0,95² = 0,6475
Đáp số
Var(X) = 0,6475
4.Xác suất
Đáp số: E(G) = −0,2 €
Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.
Các kết quả ròng
G: 2 (p = 0,1), 9 (p = 0,05), −1 (p = 0,85)
Giá trị kỳ vọng
E(G) = 2·0,1 + 9·0,05 − 1·0,85 = −0,2 €
Đáp số
E(G) = −0,2 €
Giá trị âm nghĩa là trung bình bạn thua tiền.
5.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,1715
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
điểm z
z₁ = (32,3 − 32)/6 = 0,05
z₂ = (35 − 32)/6 = 0,5
Diện tích ở giữa
P = Φ(0,5) − Φ(0,05) = 0,6915 − 0,5199 = 0,1715
Đáp số
P = 0,1715
6.Phân phối chuẩn
Đáp số: P = 0,8665
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Phân bố của hiệu
μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,01803 mm
Chuẩn hóa
z = (0 − 0,02)/0,01803 = −1,11
Xác suất
P = 1 − Φ(−1,11) = 0,8665
Đáp số
P = 0,8665
7.Khoảng tin cậy
Đáp số: giới hạn dưới = −7,412 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Ước lượng điểm
x̄₁ − x̄₂ = 52 − 54,5 = −2,5
Sai số chuẩn
SE = √(9²/50 + 11²/60) = 1,907
Sai số biên
E = 2,576·1,907 = 4,912
Khoảng
−2,5 ± 4,912 → [−7,412, 2,412]
Đáp số
giới hạn dưới = −7,412 h
Khoảng chứa 0, nên dữ liệu không cho thấy sự khác biệt có ý nghĩa.
8.Khoảng tin cậy
Đáp số: n = 75
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Giải tìm n
n = (1,96·22/5)² = 74,37
Làm tròn lên
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
n = 75
Đáp số
n = 75
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: t = −3,207
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Phương sai gộp
sp² = (4·6² + 6·2,5²)/10 = 18,15
sp = 4,26
Sai số chuẩn
SE = 4,26·√(1/5 + 1/7) = 2,495
Thống kê kiểm định
t = (89 − 97)/2,495 = −3,207
Đáp số
t = −3,207
Với df = 10, giá trị tới hạn hai phía ở mức 5% là 2,228; |t| lớn hơn, nên H₀ bị bác bỏ.
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy
Đáp số: z = −1,315
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
Các tỉ lệ mẫu
p̂₁ = 83/150 = 0,5533
p̂₂ = 155/250 = 0,62
p̂ = 238/400 = 0,595
Sai số chuẩn theo H₀
SE = √(0,595·0,405·(1/150 + 1/250)) = 0,0507
Thống kê kiểm định
z = (0,5533 − 0,62)/0,0507 = −1,315
Đáp số
z = −1,315
|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: r² = 0,8568
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 287/5 = 57,4
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 258
Syy = Σ(y − ȳ)² = 863,2
Hệ số xác định
r² = 258²/(90·863,2) = 0,8568
Đáp số
r² = 0,8568
Khoảng 85,68% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
12.Hồi quy tuyến tính và tương quan
Đáp số: e = −4,167
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Các giá trị trung bình
x̄ = 141/6 = 23,5
ȳ = 397/6 = 66,17
Các tổng bình phương và tổng tích
Sxx = Σ(x − x̄)² = 157,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 691,5
Đường hồi quy
b = 691,5/157,5 = 4,39
a = 66,17 − 4,39·23,5 = −37,01
ŷ = −37,01 + 4,39·x
Giá trị dự đoán
ŷ = −37,01 + 4,39·23,5 = 66,17
Phần dư
e = 62 − 66,17 = −4,167
Đáp số
e = −4,167
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1