Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 16, 39, 23, 14, 18, 32, 25.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 170 và độ lệch chuẩn 20. Tìm điểm z z của điểm số 154.

μ = 170σ = 20x = 154

z =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,1, 0,2, 0,35

Var(X) =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X + 4. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35Y = 5X + 4

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tỉ lệ nào nằm giữa 169,95 và 190,6 cm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 178σ = 7x₁ = 169,95x₂ = 190,6

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Khối lượng X của một sản phẩm từ dây chuyền 1 và Y từ dây chuyền 2 là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 500 g và độ lệch chuẩn 8 g, Y có trung bình 490 g và độ lệch chuẩn 6 g. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 21 phần tử có trung bình 37,5 và độ lệch chuẩn s = 15,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 21x̄ = 37,5s = 15,590%t(20) = 1,725

E =

8.Khoảng tin cậyKhó

Không biết trước điều gì về tỉ lệ sản phẩm bị lỗi. Phải kiểm tra bao nhiêu sản phẩm n để khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ có sai số biên tối đa 0,03?

p = 0,5E = 0,0395%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 81 sinh viên có điểm trung bình 114,2 và độ lệch chuẩn mẫu 20. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 114,2s = 20n = 81

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ < 100 được thực hiện ở mức α = 0.05 với một mẫu 64; độ lệch chuẩn đã biết là 8. Trên thực tế trung bình là 97.3. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 100μ = 97,3σ = 8n = 64α = 0,05

β = %

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 5Σx = 35Σy = 339Σx² = 285Σy² = 24009Σxy = 2575

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 5.

n = 6x = 5

ŷ =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 9,045

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 167/7 = 23,86

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−7,857)² + 15,14² + (−0,8571)² + (−9,857)² + (−5,857)² + 8,143² + 1,143² = 490,9

Độ lệch chuẩn

s = √(490,9/6) = 9,045

Đáp số

s = 9,045

2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −0,8

Chuẩn hóa

z = (154 − 170)/20 = −0,8

Đáp số

z = −0,8

3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,648

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,1 + 2·0,2 + 3·0,35 = 1,55

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,1 + 4·0,2 + 9·0,35 = 4,05

Phương sai

Var(X) = 4,05 − 1,55² = 1,648

Đáp số

Var(X) = 1,648

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 6

Độ phân tán của X

μ = 1,6, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |5|·1,2 = 6

Đáp số

σ_Y = 6

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·1,6 + 4 = 12.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,839

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (169,95 − 178)/7 = −1,15

z₂ = (190,6 − 178)/7 = 1,8

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,8) − Φ(−1,15) = 0,9641 − 0,1251 = 0,839

Đáp số

P = 0,839

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8413

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của hiệu

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

Chuẩn hóa

z = (0 − 10)/10 = −1

Xác suất

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

Đáp số

P = 0,8413

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 5,835

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 20, t = 1,725

Sai số biên

E = 1,725·15,5/√21 = 5,835

Đáp số

E = 5,835

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 1068

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

Giải tìm n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,03² = 1067

Làm tròn lên

n = 1068

Đáp số

n = 1068

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,61

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

Thống kê kiểm định

t = (114,2 − 120)/2,222 = −2,61

Đáp số

t = −2,61

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 14,57 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 8/√64 = 1

x̄_c = 100 − 1,645·1 = 98,36

z theo trung bình thật

z = (98,36 − 97,3)/1 = 1,055

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z < 1.055) = 85.43%

β = 100% − 85,43% = 14,57%

Đáp số

β = 14,57%

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9977

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 2575 − 35·339/5 = 202

S_xx = 285 − 35²/5 = 40

S_yy = 24009 − 339²/5 = 1025

Hệ số tương quan

r = 202/√(40·1025) = 0,9977

Đáp số

r = 0,9977

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: ŷ = 16,92

Các giá trị trung bình

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 137/6 = 22,83

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 207

Đường hồi quy

b = 207/70 = 2,957

a = 22,83 − 2,957·7 = 2,133

ŷ = 2,133 + 2,957·x

Dự đoán

ŷ = 2,133 + 2,957·5 = 16,92

Đáp số

ŷ = 16,92

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1