Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 33, 52, 13, 43, 32, 16.

n = 6

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 60 và độ lệch chuẩn 15. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 48 là bao nhiêu?

μ = 60σ = 15x = 48

P =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm độ lệch chuẩn σ của X.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35

σ =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 10X + 20. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,05, 0,15, 0,25, 0,25Y = 10X + 20

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 65 điểm và độ lệch chuẩn 10 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 62,5 và 70 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 65σ = 10x₁ = 62,5x₂ = 70

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tìm giá trị x mà 5% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 5).

μ = 500σ = 40P = 5%

x = h

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một khoảng tin cậy 90% cho một trung bình, dựa trên 50 quan sát và σ đã biết, có sai số biên 10,9. Sai số biên E₂ là bao nhiêu nếu cùng nghiên cứu đó dùng 100 quan sát?

90%n₁ = 50E₁ = 10,9n₂ = 100

E₂ =

8.Khoảng tin cậyKhó

Đường kính của 21 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 2,2 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 20, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 9,591 và 2,5% nằm trên 34,17.

n = 21s = 2,2 µmχ² = 9,591, 34,17

σ = µm

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 51 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 51s = 10n = 49

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một mẫu 100 phép đo có trung bình 76,8. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 8. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

x̄ = 76,8σ = 8n = 10095%

U =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 5

r² =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Với giá trị x nào thì đường thẳng dự đoán ŷ = 55?

n = 5ŷ = 55

x =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 15,08

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 189/6 = 31,5

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 1,5² + 20,5² + (−18,5)² + 11,5² + 0,5² + (−15,5)² = 1138

Độ lệch chuẩn

s = √(1138/5) = 15,08

Đáp số

s = 15,08

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,2119

Chuẩn hóa

z = −0,8

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(−0,8) = 0,2119

P = 0,2119

Đáp số

P = 0,2119

3.Xác suất

Đáp số: σ = 0,8367

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,3 + 2·0,35 = 1

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,3 + 4·0,35 = 1,7

Phương sai

Var(X) = 1,7 − 1² = 0,7

σ = √0,7 = 0,8367

Đáp số

σ = 0,8367

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 15,78

Độ phân tán của X

μ = 2,1, Var(X) = 2,49, σ_X = 1,578

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |10|·1,578 = 15,78

Đáp số

σ_Y = 15,78

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 10·2,1 + 20 = 41.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,2902

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (62,5 − 65)/10 = −0,25

z₂ = (70 − 65)/10 = 0,5

Diện tích ở giữa

P = Φ(0,5) − Φ(−0,25) = 0,6915 − 0,4013 = 0,2902

Đáp số

P = 0,2902

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 434,2 h

z của phân vị

Φ(z) = 0,05 → z = −1,645

Quay lại x

x = 500 + −1,645·40 = 434,2 h

Đáp số

x = 434,2 h

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E₂ = 7,707

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

Tỉ số các sai số biên

E₂/E₁ = (1,645/1,645)·√(50/100) = 0,7071

Sai số biên mới

E₂ = 10,9·0,7071 = 7,707

Đáp số

E₂ = 7,707

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: σ = 3,177 µm

Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.

Tổng bình phương

(n − 1)s² = 20·2,2² = 96,8

Các giới hạn cho σ²

96,8/34,17 = 2,833

96,8/9,591 = 10,09

Giới hạn cho σ

σ = √10,09 = 3,177 µm

Đáp số

σ = 3,177 µm

Khoảng 95% cho σ: [1,683, 3,177] µm.

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 0,7

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

Thống kê kiểm định

t = (51 − 50)/1,429 = 0,7

Đáp số

t = 0,7

t_{0,025; df = 48} = 2,011

|t| < 2.011, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: U = 78,37

Sai số biên

E = 1,96·8/√100 = 1,568

Giới hạn của khoảng

U = 76,8 + 1,568 = 78,37

Đáp số

U = 78,37

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9753

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 377/5 = 75,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 242

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1501

Hệ số xác định

r² = 242²/(40·1501) = 0,9753

Đáp số

r² = 0,9753

Khoảng 97,53% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: x = 4,541

Các giá trị trung bình

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 255/5 = 51

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

Đường hồi quy

b = 74/10 = 7,4

a = 51 − 7,4·4 = 21,4

ŷ = 21,4 + 7,4·x

Giải tìm x

x = (55 − 21,4)/7,4 = 4,541

Đáp số

x = 4,541

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1