Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình
x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị
giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z
z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn
68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù
P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập
P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện
P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức
P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z
z = (x − μ)/σ
Dưới x
P(X < x) = Φ(z)
Trên x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa
Φ(z2) − Φ(z1)
Phân vị
x = μ + z·σ

Phương pháp

  1. Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
  2. Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
  3. Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
  4. Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ
x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu
n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

  1. Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
  2. Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
  3. Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
  4. Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%
bác bỏ H0 nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy
x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

  1. Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
  2. Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
  3. So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
  4. Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc
b = Sxy/Sxx
Hệ số chặn
a = ȳ − b·x̄
Tương quan
r = Sxy/√(SxxSyy)
Phần dư
e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình
152025303540

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 39, 26, 24, 40, 12.

n = 5
s =
2.Thống kê mô tảKhó
z −2−1012

Điểm thi có phân phối chuẩn với trung bình 100 và độ lệch chuẩn 5. Tìm điểm z z của điểm số 94.

μ = 100σ = 5x = 94
z =
3.Xác suấtTrung bình
xp(x)00,3510,1520,2530,25μ = 1,4

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,35, 0,15, 0,25, 0,25
Var(X) =
4.Xác suấtKhó
xp(x)10,1520,3530,2540,25μ

X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X + 10. Tìm độ lệch chuẩn σY của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,35, 0,25, 0,25Y = 5X + 10
σY =
5.Phân phối chuẩnTrung bình
422548P = ?

tuổi thọ pin có phân phối chuẩn với trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Tỉ lệ nào nằm giữa 422 và 548 h? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 500σ = 40x1 = 422x2 = 548
P =
6.Phân phối chuẩnKhó
157164171178185192199cmtrên 5%

chiều cao của nam giới trưởng thành tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Kéo ngưỡng sao cho 5% cao nhất được tô bóng nằm bên phải nó. Tìm ngưỡng x.

μ = 178 cmσ = 7 cm5%
x = cm
7.Khoảng tin cậyTrung bình
n = 15, s = 11,5LUx̄ = 103E = ?90%

Một mẫu 15 phần tử có trung bình 103 và độ lệch chuẩn s = 11,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình.

n = 15x̄ = 103s = 11,590%t(14) = 1,761
E =
8.Khoảng tin cậyKhó
σ = 15, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0,590%

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 15. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 0,5?

σ = 15E = 0,590%
n =
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình
t −2,13102,131

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 497,8 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 497,8s = 10n = 16
t =
10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó
μ₀x̄c

Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 100 với H₁: μ > 100 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 100; độ lệch chuẩn đã biết là 15. Trên thực tế trung bình là 103,6. Tìm xác suất sai lầm loại II β theo phần trăm.

μ₀ = 100μ = 103,6σ = 15n = 100α = 0,01
β = %
11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình
xy345447550651755862xy4685060

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6
r² =
12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó
xy347444548659760xy4645505560x = 3,5

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (3,5, 43) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 43)
e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 11,63

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 141/5 = 28,2

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = 10,8² + (−2,2)² + (−4,2)² + 11,8² + (−16,2)² = 540,8

Độ lệch chuẩn

s = √(540,8/4) = 11,63

Đáp số

s = 11,63
2.Thống kê mô tả

Đáp số: z = −1,2

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Chuẩn hóa

z = (94 − 100)/5 = −1,2

Đáp số

z = −1,2
3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,44

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,35 + 1·0,15 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,4

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,35 + 1·0,15 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,4

Phương sai

Var(X) = 3,4 − 1,4² = 1,44

Đáp số

Var(X) = 1,44
4.Xác suất

Đáp số: σY = 5,099

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σY = |a|·σX; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Độ phân tán của X

μ = 2,6, Var(X) = 1,04, σX = 1,02

Phép biến đổi tuyến tính

σY = |5|·1,02 = 5,099

Đáp số

σY = 5,099

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·2,6 + 10 = 23.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,8593

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (422 − 500)/40 = −1,95
z₂ = (548 − 500)/40 = 1,2

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,2) − Φ(−1,95) = 0,8849 − 0,02559 = 0,8593

Đáp số

P = 0,8593
6.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 189,5 cm

Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.

Diện tích bên trái

Φ(z) = 0,95

z từ bảng

z ≈ 1,64

Trở lại đơn vị ban đầu

x = 178 + 1,64·7 = 189,5 cm

Đáp số

x = 189,5 cm
7.Khoảng tin cậy

Đáp số: E = 5,229

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 14, t = 1,761

Sai số biên

E = 1,761·11,5/√15 = 5,229

Đáp số

E = 5,229
8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 2436

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = (1,645·15/0,5)² = 2435

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 2436

Đáp số

n = 2436
9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −0,88

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

Thống kê kiểm định

t = (497,8 − 500)/2,5 = −0,88

Đáp số

t = −0,88
t0,025; df = 15 = 2,131

|t| < 2.131, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: β = 47,05 %

Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

Trung bình mẫu tới hạn

SE = 15/√100 = 1,5
x̄c = 100 + 2,326·1,5 = 103,5

z theo trung bình thật

z = (103,5 − 103,6)/1,5 = −0,074

Sai lầm loại II

lực của kiểm định = P(Z > −0,074) = 52,95%
β = 100% − 52,95% = 47,05%

Đáp số

β = 47,05%
11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9227

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 33/6 = 5,5
ȳ = 310/6 = 51,67

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 55
Syy = Σ(y − ȳ)² = 187,3

Hệ số xác định

r² = 55²/(17,5·187,3) = 0,9227

Đáp số

r² = 0,9227

Khoảng 92,27% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = −2,45

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 258/5 = 51,6

Các tổng bình phương và tổng tích

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 41

Đường hồi quy

b = 41/10 = 4,1
a = 51,6 − 4,1·5 = 31,1
ŷ = 31,1 + 4,1·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 31,1 + 4,1·3,5 = 45,45

Phần dư

e = 43 − 45,45 = −2,45

Đáp số

e = −2,45

Điểm nằm phía dưới đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1