Thống kê nhập môn: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 12 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Thống kê mô tả

Trung bình: x̄ = Σx/n
Độ lệch chuẩn mẫu: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
Trung vị: giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp
Điểm z: z = (x − μ)/σ
Phân phối chuẩn: 68% nằm trong ±1σ, 95% nằm trong ±2σ

Xác suất

Biến cố bù: P(not A) = 1 − P(A)
Quy tắc cộng: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Biến cố độc lập: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
Xác suất có điều kiện: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
Nhị thức: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

2Bài tập

1.Thống kê mô tảTrung bình

Tìm độ lệch chuẩn mẫu s của dữ liệu: 20, 41, 48, 26, 37, 59, 47.

n = 7

s =

2.Thống kê mô tảKhó

Một đại lượng có phân phối chuẩn với trung bình 70 và độ lệch chuẩn 5. Tỉ lệ P các giá trị nhỏ hơn 80 là bao nhiêu?

μ = 70σ = 5x = 80

P =

3.Xác suấtTrung bình

Với phân bố đã cho, tìm phương sai Var(X) của X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,25, 0,3, 0,1, 0,1

Var(X) =

4.Xác suấtKhó

X có phân bố như hiển thị, và Y = 5X − 3. Tìm độ lệch chuẩn σ_Y của Y.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,15, 0,25, 0,3Y = 5X − 3

σ_Y =

5.Phân phối chuẩnTrung bình

Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 16 trong số đó nhỏ hơn 187,2 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

μ = 12 kgσ = 0,8 kgn = 16< 187.2 kg

P =

6.Phân phối chuẩnKhó

Đường kính lỗ D có phân bố chuẩn với trung bình 25,02 mm và độ lệch chuẩn 0,015 mm. Đường kính trục d độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 25 mm và độ lệch chuẩn 0,02 mm. Một trục chọn ngẫu nhiên lắp vừa khi D − d > 0. Tìm xác suất P để nó lắp vừa. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.

lỗ: μ = 25,02 mm, σ = 0,015 mmtrục: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 7 phần tử có trung bình 97 và độ lệch chuẩn s = 16,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.

n = 7x̄ = 97s = 16,599%t(6) = 3,707

giới hạn dưới =

8.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 33. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 90% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 5?

σ = 33E = 590%

n =

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 36 sinh viên có điểm trung bình 204 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204s = 10n = 36

t =

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Trong một thử nghiệm, 163 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 47 trong 80 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 163n₁ = 250x₂ = 47n₂ = 80

z =

11.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.

n = 6Σx = 36Σy = 467Σx² = 286Σy² = 38379Σxy = 3177

r =

12.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (8, 99) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 6(8, 99)

e =

3Dung dịch

1.Thống kê mô tả

Đáp số: s = 13,41

Thống kê mô tả: trung bình là tổng chia cho n; trung vị là giá trị ở giữa của dữ liệu đã sắp xếp (trung bình của hai giá trị giữa khi n chẵn). Độ lệch chuẩn mẫu là s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). Điểm z z = (x − μ)/σ cho biết một giá trị cách trung bình bao nhiêu độ lệch chuẩn.

Trung bình

x̄ = 278/7 = 39,71

Bình phương các độ lệch

Σ(x − x̄)² = (−19,71)² + 1,286² + 8,286² + (−13,71)² + (−2,714)² + 19,29² + 7,286² = 1079

Độ lệch chuẩn

s = √(1079/6) = 13,41

Đáp số

s = 13,41

2.Thống kê mô tả

Đáp số: P = 0,9772

Chuẩn hóa

z = 2

Bảng phân phối chuẩn tắc

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

Đáp số

P = 0,9772

3.Xác suất

Đáp số: Var(X) = 1,548

Biến ngẫu nhiên rời rạc: một phân bố xác suất liệt kê mọi giá trị x mà biến có thể nhận cùng xác suất p(x) của nó; các xác suất nằm giữa 0 và 1 và có tổng bằng 1. Giá trị kỳ vọng (trung bình) là E(X) = Σx·p(x), trung bình dài hạn. Phương sai là Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ², và độ lệch chuẩn σ = √Var(X). Với phép biến đổi tuyến tính Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b, Var(Y) = a²·Var(X) và σ_Y = |a|·σ_X; cộng một hằng số không làm thay đổi độ phân tán.

Trung bình

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,3 + 3·0,1 + 4·0,1 = 1,55

Trung bình của các bình phương

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,3 + 9·0,1 + 16·0,1 = 3,95

Phương sai

Var(X) = 3,95 − 1,55² = 1,548

Đáp số

Var(X) = 1,548

4.Xác suất

Đáp số: σ_Y = 6,016

Độ phân tán của X

μ = 2,55, Var(X) = 1,447, σ_X = 1,203

Phép biến đổi tuyến tính

σ_Y = |5|·1,203 = 6,016

Đáp số

σ_Y = 6,016

Giá trị trung bình thì có dịch chuyển: E(Y) = 5·2,55 − 3 = 9,75.

5.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,06681

Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y², nên σ = √(σ_X² + σ_Y²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).

Phân bố của tổng

μ_T = 192 kg, σ_T = 0,8·√16 = 3,2 kg

Chuẩn hóa

z = (187,2 − 192)/3,2 = −1,5

Xác suất

P = Φ(−1,5) = 0,06681

Đáp số

P = 0,06681

6.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,7881

Phân bố của hiệu

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,025 mm

Chuẩn hóa

z = (0 − 0,02)/0,025 = −0,8

Xác suất

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

Đáp số

P = 0,7881

7.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn dưới = 73,88

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 6, t = 3,707

Sai số biên

E = 3,707·16,5/√7 = 23,12

Khoảng

97 ± 23,12 → [73,88, 120,1]

Đáp số

giới hạn dưới = 73,88

8.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 118

Giải tìm n

n = (1,645·33/5)² = 117,9

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 118

Đáp số

n = 118

9.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = 2,4

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667

Thống kê kiểm định

t = (204 − 200)/1,667 = 2,4

Đáp số

t = 2,4

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| > 2,03, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

10.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: z = 1,044

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

Các tỉ lệ mẫu

p̂₁ = 163/250 = 0,652

p̂₂ = 47/80 = 0,5875

p̂ = 210/330 = 0,6364

Sai số chuẩn theo H₀

SE = √(0,6364·0,3636·(1/250 + 1/80)) = 0,06179

Thống kê kiểm định

z = (0,652 − 0,5875)/0,06179 = 1,044

Đáp số

z = 1,044

|z| < 1.96, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

11.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r = 0,9946

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các tổng đã tâm hóa

S_xy = 3177 − 36·467/6 = 375

S_xx = 286 − 36²/6 = 70

S_yy = 38379 − 467²/6 = 2031

Hệ số tương quan

r = 375/√(70·2031) = 0,9946

Đáp số

r = 0,9946

12.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 2,157

Các giá trị trung bình

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 513/6 = 85,5

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 397

Đường hồi quy

b = 397/70 = 5,671

a = 85,5 − 5,671·6 = 51,47

ŷ = 51,47 + 5,671·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 51,47 + 5,671·8 = 96,84

Phần dư

e = 99 − 96,84 = 2,157

Đáp số

e = 2,157

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1