Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
thời gian giao hàng có phân phối chuẩn với trung bình 32 min và độ lệch chuẩn 6 min. Tỉ lệ nào nằm giữa 25,1 và 36,8 min? Cho P dưới dạng số thập phân.
Thời gian một vòng X của vận động viên A và Y của vận động viên B là độc lập và có phân bố chuẩn: X có trung bình 52 s và độ lệch chuẩn 4 s, Y có trung bình 48 s và độ lệch chuẩn 3 s. Tìm xác suất P để X lớn hơn Y. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 95,5 và độ lệch chuẩn s = 19,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
Độ lệch chuẩn của tổng thể là 36. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 1,5?
Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 76,92 và độ lệch chuẩn mẫu 8. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
Trong một thử nghiệm, 175 trong 250 bệnh nhân dùng phương pháp điều trị A hồi phục, và 174 trong 300 bệnh nhân dùng phương pháp B. Dùng tỉ lệ gộp, tìm thống kê kiểm định z cho H₀: p₁ = p₂.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = số giờ học và y = điểm thi. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (10, 109) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Tính thống kê chi bình phương χ² cho kiểm định tính độc lập giữa biến hàng và biến cột. Không dùng hiệu chỉnh liên tục.
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp kiểm tra xem số đếm trong 6 nhóm có tuân theo phân phối Poisson với giá trị trung bình được ước lượng từ chính dữ liệu đó hay không. Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
Đáp số: P = 0,6631
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
Đáp số: P = 0,7881
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Đáp số: giới hạn dưới = 85,11
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Đáp số: n = 2213
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.
Đáp số: t = 2,4
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
|t| > 1,984, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
Đáp số: z = 2,91
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
|z| > 1,96, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
Đáp số: r = 0,995
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Đáp số: e = −3,65
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Điểm nằm phía dưới đường thẳng.
Đáp số: χ² = 2,909
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
df = 1. Tại α = 0,05, giá trị tới hạn là 3,841, nên H₀ (tính độc lập) không bị bác bỏ.
Đáp số: df = 4
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference