Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
Khối lượng của hộp là độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 12 kg và độ lệch chuẩn 0,8 kg. Tìm xác suất P để tổng khối lượng của 12 trong số đó vượt quá 141,2 kg. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tìm giá trị x mà 25% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 25).
Một mẫu 16 phần tử có trung bình 28 và độ lệch chuẩn s = 5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm sai số biên E của khoảng tin cậy 99% cho giá trị trung bình.
Đường kính của 15 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 8,5 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 14, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 5,629 và 2,5% nằm trên 26,119.
Một mẫu 100 sinh viên có điểm trung bình 198,8 và độ lệch chuẩn mẫu 4. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 200.
Một mẫu 25 phép đo có trung bình 81. Độ lệch chuẩn của tổng thể là 10. Tìm giới hạn trên U của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Các tổng của chúng đã cho. Tìm hệ số tương quan Pearson r từ các tổng này.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tải trọng theo kN và y = độ giãn theo mm. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (7, 28) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “ca ngày, không lỗi”.
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 3 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Kiểm định có bao nhiêu bậc tự do df?
Đáp số: P = 0,8438
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Đáp số: x = 89,88 điểm
Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.
Đáp số: E = 3,684
Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.
Đáp số: σ = 6,223 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Khoảng 95% cho σ: [6,223, 13,41] µm.
Đáp số: t = −3
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
|t| > 1,984, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
Đáp số: U = 84,92
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
Đáp số: r = 0,9907
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Đáp số: e = 3,833
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Điểm nằm phía trên đường thẳng.
Đáp số: E = 16,75
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Đáp số: df = 2
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference