Thống kê 2: Suy diễn thống kê: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phân phối chuẩn

Điểm z: z = (x − μ)/σ
Dưới x: P(X < x) = Φ(z)
Trên x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
Giữa: Φ(z₂) − Φ(z₁)
Phân vị: x = μ + z·σ

Phương pháp

Đổi giá trị sang điểm z: z = (x − μ)/σ.
Tra Φ(z), diện tích bên trái z.
Với diện tích bên phải dùng 1 − Φ(z); với một khoảng thì trừ hai diện tích bên trái.
Với phân vị, làm ngược lại: tìm z cho diện tích, rồi x = μ + z·σ.

Khoảng tin cậy

biết σ: x̄ ± z·σ/√n
chưa biết σ: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z tới hạn: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
Cỡ mẫu: n = (z·σ/E)², rounded up

Phương pháp

Quyết định giữa z (biết σ của tổng thể) và t (chỉ có s của mẫu, với n − 1 bậc tự do).
Tìm giá trị tới hạn cho mức tin cậy.
Sai số biên: E = giá trị tới hạn × độ lệch chuẩn/√n.
Khoảng: x̄ ± E.

Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Kiểm định z cho giá trị trung bình: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
Kiểm định t cho giá trị trung bình: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
Hai phía ở mức 5%: bác bỏ H₀ nếu |z| > 1,96
Khoảng tin cậy: x̄ ± z·σ/√n

Phương pháp

Nêu H₀ và H₁ và quyết định kiểm định một phía hay hai phía.
Tính thống kê kiểm định: (x̄ − μ₀)/(σ/√n), hoặc với s và t.
So sánh với giá trị tới hạn, hoặc tìm giá trị p.
Bác bỏ H₀ nếu thống kê vượt quá giá trị tới hạn (p dưới α), và nêu kết luận bằng lời.

Hồi quy tuyến tính và tương quan

Tổng bình phương: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
Hệ số góc: b = S_xy/S_xx
Hệ số chặn: a = ȳ − b·x̄
Tương quan: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
Phần dư: e = y − ŷ

Kiểm định chi bình phương

Thống kê kiểm định: χ² = Σ(O − E)²/E
Độ phù hợp: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
Tính độc lập: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
Giá trị tới hạn (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
Quyết định: bác bỏ H₀ nếu χ² > χ²_crit

2Bài tập

1.Phân phối chuẩnTrung bình

điểm IQ có phân phối chuẩn với trung bình 100 điểm và độ lệch chuẩn 15 điểm. Tỉ lệ nào nằm giữa 88,75 và 118,75 điểm? Cho P dưới dạng số thập phân.

μ = 100σ = 15x₁ = 88,75x₂ = 118,75

P =

2.Phân phối chuẩnKhó

chiều cao của nam giới trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 178 cm và độ lệch chuẩn 7 cm. Tìm giá trị x mà 20% trong số chúng nằm dưới (phân vị thứ 20).

μ = 178σ = 7P = 20%

x = cm

3.Khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 7 phần tử có trung bình 100 và độ lệch chuẩn s = 5,5. Tổng thể xấp xỉ chuẩn. Tìm giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình.

n = 7x̄ = 100s = 5,595%t(6) = 2,447

giới hạn trên =

4.Khoảng tin cậyKhó

Độ lệch chuẩn của tổng thể là 39. Cần cỡ mẫu n lớn bao nhiêu để khoảng tin cậy 95% cho giá trị trung bình có sai số biên nhiều nhất là 4?

σ = 39E = 495%

n =

5.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyTrung bình

Một mẫu 16 sinh viên có điểm trung bình 110,3 và độ lệch chuẩn mẫu 15. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 110,3s = 15n = 16

t =

6.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậyKhó

Một kiểm định z một phía ở mức α = 0,05 phải phát hiện được sự dịch chuyển 5 đơn vị của trung bình với lực 80%. Độ lệch chuẩn là 19. Tìm cỡ mẫu nhỏ nhất n.

α = 0,05lực của kiểm định = 80%δ = 5σ = 19z_α = 1,645z_β = 0,842

n =

7.Hồi quy tuyến tính và tương quanTrung bình

Bảng cho 6 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.

n = 6

r² =

8.Hồi quy tuyến tính và tương quanKhó

Bảng cho 5 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Một quan sát mới (4,5, 21) được ghi nhận. Tìm sai số dư e = y − ŷ.

n = 5(4,5, 21)

e =

9.Kiểm định chi bình phươngTrung bình

Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “sinh viên, xe buýt”.

tổng hàng = 105tổng cột = 69N = 187

E =

10.Kiểm định chi bình phươngKhó

Bảng cho các số đếm quan sát. Kiểm tra tại α = 0,01 xem hai biến có độc lập hay không (không hiệu chỉnh liên tục). Tính thống kê kiểm định χ², rồi so sánh với giá trị tới hạn trong bảng.

N = 2803 × 2α = 0,01

χ² =

3Dung dịch

1.Phân phối chuẩn

Đáp số: P = 0,6677

Phân phối chuẩn: đổi một giá trị x sang điểm z, z = (x − μ)/σ, đếm số độ lệch chuẩn tính từ giá trị trung bình. Bảng z (hay Φ(z)) cho diện tích bên trái z, tức là P(X < x). Diện tích bên phải là 1 − Φ(z), và diện tích giữa hai giá trị là hiệu của hai diện tích đó.

điểm z

z₁ = (88,75 − 100)/15 = −0,75

z₂ = (118,75 − 100)/15 = 1,25

Diện tích ở giữa

P = Φ(1,25) − Φ(−0,75) = 0,8944 − 0,2266 = 0,6677

Đáp số

P = 0,6677

2.Phân phối chuẩn

Đáp số: x = 172,1 cm

z của phân vị

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

Quay lại x

x = 178 + −0,8416·7 = 172,11 cm

Đáp số

x = 172,11 cm

3.Khoảng tin cậy

Đáp số: giới hạn trên = 105,1

Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình: x̄ ± sai số biên. Khi biết σ của tổng thể, sai số biên là z·σ/√n; khi chỉ có độ lệch chuẩn mẫu s, dùng t với n − 1 bậc tự do: t·s/√n. Giá trị tới hạn: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). Để có sai số biên E hoặc nhỏ hơn, cần n ≥ (z·σ/E)², làm tròn lên.

Giá trị tới hạn

df = n − 1 = 6, t = 2,447

Sai số biên

E = 2,447·5,5/√7 = 5,087

Khoảng

100 ± 5,087 → [94,91, 105,1]

Đáp số

giới hạn trên = 105,1

4.Khoảng tin cậy

Đáp số: n = 366

Giải tìm n

n = (1,96·39/4)² = 365,2

Làm tròn lên

Cỡ mẫu là một số nguyên, và làm tròn xuống sẽ khiến sai số biên quá lớn.

n = 366

Đáp số

n = 366

5.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: t = −2,587

Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).

Sai số chuẩn

SE = 15/√16 = 15/4 = 3,75

Thống kê kiểm định

t = (110,3 − 120)/3,75 = −2,587

Đáp số

t = −2,587

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| > 2,131, nên H₀ bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).

6.Kiểm định giả thuyết và khoảng tin cậy

Đáp số: n = 90

Cỡ mẫu cho một kiểm định: để phát hiện sự dịch chuyển thật δ với lực 1 − β trong kiểm định z một phía ở mức α, sai số chuẩn phải thỏa δ = (z_α + z_β)·σ/√n, nên n = ((z_α + z_β)·σ/δ)², làm tròn lên.

Giải tìm n

n = ((1,645 + 0,842)·19/5)² = 89,31

Làm tròn lên

n = 90

Đáp số

n = 90

7.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: r² = 0,9235

Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

Các giá trị trung bình

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 333/6 = 55,5

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 127

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 249,5

Hệ số xác định

r² = 127²/(70·249,5) = 0,9235

Đáp số

r² = 0,9235

Khoảng 92,35% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.

8.Hồi quy tuyến tính và tương quan

Đáp số: e = 2,75

Các giá trị trung bình

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 107/5 = 21,4

Các tổng bình phương và tổng tích

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −21

Đường hồi quy

b = −21/10 = −2,1

a = 21,4 − (−2,1)·3 = 27,7

ŷ = 27,7 − 2,1·x

Giá trị dự đoán

ŷ = 27,7 + (−2,1)·4,5 = 18,25

Phần dư

e = 21 − 18,25 = 2,75

Đáp số

e = 2,75

Điểm nằm phía trên đường thẳng.

9.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: E = 38,74

Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.

Số đếm kỳ vọng

E = 105·69/187 = 38,74

Đáp số

E = 38,74

10.Kiểm định chi bình phương

Đáp số: χ² = 7,625

Số đếm kỳ vọng

tuổi 18–30: 32, 48

tuổi 31–50: 40, 60

tuổi 51+: 40, 60

Thống kê chi bình phương

χ² = (42 − 32)²/32 + (38 − 48)²/48 + (33 − 40)²/40 + (67 − 60)²/60 + (37 − 40)²/40 + (63 − 60)²/60

χ² = 7,625

Quyết định

df = 2, χ²_crit = 9,210

7,625 < 9,210

Đáp số

χ² = 7,625

χ² nhỏ hơn giá trị tới hạn, nên H₀ không bị bác bỏ: chưa có bằng chứng đáng kể về mối quan hệ.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference