Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.
X có phân bố chuẩn với trung bình 12 min và độ lệch chuẩn 1,5 min; Y độc lập và có phân bố chuẩn với trung bình 20 min và độ lệch chuẩn 2 min. Tìm xác suất P để X + Y lớn hơn 35,8 min. Làm tròn z đến hai chữ số thập phân.
tuổi thọ pin tuân theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình 500 h và độ lệch chuẩn 40 h. Kéo ngưỡng sao cho 70% thấp nhất được tô bóng nằm bên trái nó. Tìm ngưỡng x.
Huyết áp của 7 bệnh nhân được đo trước và sau một đợt điều trị. Các hiệu d = trước − sau (mmHg) có trung bình 8,4 và độ lệch chuẩn 2,8. Tìm giới hạn dưới của khoảng tin cậy 95% cho hiệu trung bình.
Đường kính của 30 trục gia công có độ lệch chuẩn mẫu 6 µm. Giả sử các đường kính tuân theo phân phối chuẩn, hãy tìm σ giới hạn trên của khoảng tin cậy 95% cho độ lệch chuẩn tổng thể. Với df = 29, 2,5% của phân phối χ² nằm dưới 16,047 và 2,5% nằm trên 45,722.
Một mẫu 49 sinh viên có điểm trung bình 73,71 và độ lệch chuẩn mẫu 10. Tìm thống kê kiểm định t cho H₀: μ = 75.
Một kiểm định z một phía của H₀: μ = 80 với H₁: μ > 80 được thực hiện ở mức α = 0,01 với một mẫu 25; độ lệch chuẩn đã biết là 2,5. Trên thực tế trung bình là 81,55. Tìm lực của kiểm định 1 − β theo phần trăm.
Bảng cho 5 cặp quan sát của x = chi phí quảng cáo theo nghìn € và y = doanh số theo nghìn €. Tìm hệ số xác định r² của đường thẳng bình phương tối thiểu.
Bảng cho 6 cặp quan sát của x = tuổi xe theo năm và y = giá theo nghìn €. Dùng đường thẳng bình phương tối thiểu ŷ = a + b·x. Dự đoán ŷ cho x = 1,5.
Bảng tiếp liên cho các số đếm quan sát. Với kiểm định chi bình phương về tính độc lập, hãy tìm số đếm kỳ vọng E cho ô “ca ngày, nhẹ”.
Kiểm định chi bình phương về mức độ phù hợp so sánh số đếm quan sát trong 11 nhóm với các tỉ lệ kỳ vọng đã xác định đầy đủ (không ước lượng tham số nào từ dữ liệu). Dùng bảng, tìm giá trị tới hạn χ²crit tại mức ý nghĩa α = 0,01.
Đáp số: P = 0,06426
Tổng và hiệu của các biến chuẩn: nếu X và Y độc lập và có phân bố chuẩn thì X + Y và X − Y cũng có phân bố chuẩn. Các trung bình cộng hoặc trừ: E(X ± Y) = μX ± μY. Các phương sai luôn cộng, kể cả với hiệu: Var(X ± Y) = σX² + σY², nên σ = √(σX² + σY²). Các độ lệch chuẩn không bao giờ cộng trực tiếp. Tổng của n phần tử độc lập có cùng phân bố có trung bình n·μ và độ lệch chuẩn σ·√n. Sau đó chuẩn hóa như thường lệ: z = (x − trung bình)/σ rồi tra Φ(z).
Đáp số: x = 521 h
Từ diện tích trở lại z: Φ(z) là diện tích bên trái z. Với diện tích đuôi trái A, tìm z sao cho Φ(z) = A trong bảng. Diện tích đuôi phải A nghĩa là Φ(z) = 1 − A. Diện tích ở giữa A nằm giữa −z và z để lại (1 − A)/2 ở mỗi đuôi, nên Φ(z) = (1 + A)/2. Với một giá trị x, dùng x = μ + zσ.
Đáp số: giới hạn dưới = 5,81 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
Đáp số: σ = 8,066 µm
Khoảng cho một phương sai: (n − 1)s²/σ² có phân phối χ² với n − 1 bậc tự do. Khoảng 95% cho σ² chạy từ (n − 1)s² chia cho giá trị χ² trên (2,5% nằm trên nó) đến (n − 1)s² chia cho giá trị χ² dưới (2,5% nằm dưới nó); khoảng cho σ là căn bậc hai của cả hai giới hạn. Nó không đối xứng quanh s.
Khoảng 95% cho σ: [4,778, 8,066] µm.
Đáp số: t = −0,903
Kiểm định giá trị trung bình: thống kê kiểm định đo xem trung bình mẫu cách giá trị nêu trong H₀ bao nhiêu sai số chuẩn: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) khi biết σ, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) khi nó được ước lượng từ mẫu. Khoảng tin cậy là x̄ ± (giá trị tới hạn)·(sai số chuẩn).
|t| < 2.011, nên H₀ không bị bác bỏ ở mức 5% (hai phía).
Đáp số: 1 − β = 78,05 %
Lực của một kiểm định: lực = 1 − β là xác suất bác bỏ H₀ khi nó sai. Tìm ngưỡng x̄c từ μ₀ và z_α, rồi tính xác suất rơi vượt quá x̄c bằng trung bình thật: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).
Đáp số: r² = 0,9788
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Khoảng 97,88% biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Đáp số: ŷ = 19,39
Hồi quy bình phương tối thiểu: với x̄ và ȳ là các giá trị trung bình, Sxx = Σ(x − x̄)², Syy = Σ(y − ȳ)² và Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ), đường thẳng ŷ = a + b·x có hệ số góc b = Sxy/Sxx và hệ số chặn a = ȳ − b·x̄, nên luôn đi qua (x̄, ȳ). Hệ số tương quan Pearson r = Sxy/√(Sxx·Syy) nằm trong khoảng từ −1 đến 1; r² là tỉ lệ biến thiên của y được giải thích bởi đường thẳng.
Đáp số: E = 28,23
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Đáp số: χ²crit = 23,21
Kiểm định chi bình phương: so sánh số đếm quan sát O với số đếm kỳ vọng E theo H₀ bằng χ² = Σ(O − E)²/E. Kiểm định mức độ phù hợp: E = n·p cho mỗi nhóm, df = k − 1 (trừ thêm một cho mỗi tham số ước lượng từ dữ liệu). Kiểm định tính độc lập trong bảng r × c: E = tổng hàng × tổng cột / tổng chung, df = (r − 1)(c − 1). Bác bỏ H₀ khi χ² lớn hơn giá trị tới hạn ứng với α đã chọn.
Bác bỏ H₀ nếu χ² tính được lớn hơn giá trị này.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference