Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​ = ?1,5 m1,5 m2 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RB.

L = 5 mP1 = 55 kN tại 1,5 mP2 = 40 kN tại 3 m
RB = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m2 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối di động tại B. Tìm phản lực thẳng đứng RA.

L = 4 mP = 20 kN tại 2 mw = 2 kN/m từ 0 đến 1 m
RA = kN
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
w = 3 kN/mABmặt cắt1 m5 m

Tìm lực cắt Vx tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 6 mw = 3 kN/m từ 0 đến 6 mx = 1 m
Vx = kN
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 5 kN/mP = 65 kNAB4 m2 m

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất Mmax trong dầm.

L = 6 mP = 65 kN tại 4 mw = 5 kN/m từ 0 đến 6 m
Mmax = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB15 kN8 m5 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 8 mchiều cao = 2 mB cách A 5 mtải thẳng đứng = 15 kN
FAB = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB25 kN30 kN4 m3 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 4 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 25 kNtải ngang = 30 kN ←
FAC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 6 kN/mP = 28 kNABδ2 m

Một dầm công-xôn chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ chiều dài và một lực tập trung P tại đầu tự do. Dùng nguyên lý chồng chất, tìm độ võng δ tại đầu tự do.

P = 28 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.Độ võng của dầmKhó
w = 1 kN/mABδ5 m

Một dầm gỗ đơn giản có tiết diện chữ nhật, rộng 125 mm, chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Độ võng tại giữa nhịp không được vượt quá nhịp/360. Tìm chiều cao tiết diện nhỏ nhất hreq.

w = 1 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (gỗ xẻ)b = 125 mm
hreq = mm
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 4 md = 25 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)d = 25 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
PL = 2,5 md = 50 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng thép được hai đầu khớp. Tìm độ mảnh của nó và ứng suất oằn tới hạn σcr theo công thức Euler.

L = 2,5 mE = 200 GPa (thép)d = 50 mm
σcr = MPa

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RB = 40,5 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

P1​ = 55 kNP2​ = 40 kNABRA​RB​1,5 m1,5 m2 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

ΣMA = 0: RB·5 = 55·1,5 + 40·3
RB = 202,5/5 = 40,5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 40,5 = 54,5 kN

Đáp số

RB = 40,5 kN
2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 11,75 kN

Cân bằng tĩnh: một vật đứng yên có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 quanh mọi điểm. Lấy mômen quanh một gối sẽ loại phản lực của gối đó khỏi phương trình.

w = 2 kN/mP = 20 kNABRA​RB​1 m1 m2 m

Sơ đồ vật thể tự do

Thay các gối đỡ bằng phản lực. Gối di động cho một phản lực thẳng đứng; khi chỉ có tải thẳng đứng, gối cố định cũng cho một phản lực thẳng đứng.

Cân bằng

Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương. Sau đó cân bằng lực theo phương thẳng đứng.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·1 = 2 kN, đặt tại x̄ = 0,5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 20·2 + 2·1·0,5
RB = 41/4 = 10,25 kN
ΣFy = 0: RA = 22 − 10,25 = 11,75 kN

Đáp số

RA = 11,75 kN
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Vx = 6 kN

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 3·6·3
RB = 54/6 = 9 kN
ΣFy = 0: RA = 18 − 9 = 9 kN
w = 3 kN/mABRA​ = 9RB​ = 9mặt cắt1 m5 m

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

V = RA − (mọi tải hướng xuống bên trái mặt cắt)
Vx = 9 − 3·1 = 6 kN

Đáp số

Vx = 6 kN
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mmax = 106,7 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 5·6 = 30 kN, đặt tại x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 65·4 + 5·6·3
RB = 350/6 = 58,33 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 58,33 = 36,67 kN

V = 0 ở đâu?

V(4⁻) = RA − w·4 = 16,67 kN
V(4⁺) = 16,67 − 65 = −48,33 kN
Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

Mmax = RA·4 − w·4²/2 = 36,67·4 − 5·4²/2 = 106,7 kN·m

Đáp số

Mmax = 106,7 kN·m

Nó xảy ra tại x = 4 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAB = −15,15 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·5 → Cy = 9,375 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 9,375 = 5,625 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 2/5,385 = 0,3714
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −5,625/0,3714 = −15,15 kN

Đáp số

FAB = −15,15 kN (nén)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAC = 1,875 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB25 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·3 − 30·2 → Cy = 3,75 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 3,75 = 21,25 kN
ΣFx = 0: Ax = 30 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3,75/0,8944 = −4,193 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−4,193)·0,4472 = 1,875 kN

Đáp số

FAC = 1,875 kN (kéo)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ = 49,24 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

P = 28000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

Từng tải riêng rẽ

δP = PL³/(3EI) = 28000·2000³/(3·1,76 × 10¹²) = 42,42 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 6,818 mm

Cộng lại

δ = 42,42 + 6,818 = 49,24 mm

Đáp số

δ = 49,24 mm
8.Độ võng của dầm

Đáp số: hreq = 172,3 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 1 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

Giới hạn độ võng

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1·5000⁴/(384·11000·13,89) = 5,327 × 10⁷ mm⁴

Chiều cao cần thiết

bh³/12 = Ireq → h = (12·5,327 × 10⁷/125)1/3 = 172,3 mm

Đáp số

hreq = 172,3 mm

Trong thực tế, hãy chọn chiều cao tiêu chuẩn kế tiếp lớn hơn giá trị này.

9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 2,366 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·4000 = 4000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

Đáp số

Pcr = 2,366 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: σcr = 49,35 MPa

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Mặt cắt tròn có cùng I đối với mọi trục.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

Bán kính quán tính và độ mảnh

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·2500 = 2500 mm
KL/r = 2500/12,5 = 200

Ứng suất tới hạn

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

Đáp số

σcr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis