Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều: hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen: M = F·d

Phương pháp

Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
Dùng ΣF_y = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen: V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn: σ = M·y/I
Hình chữ nhật: I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt: W = I/y_max
Dầm đơn giản, tải phân bố đều: M_max = wL²/8

Phương pháp

Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt: ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh: dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

Tìm phản lực gối cho cả giàn.
Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0.
Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp: δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản: δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu: δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều: δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng: δ = δ₁ + δ₂

Mất ổn định cột

Tải Euler: P_cr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán: K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn: σ_cr = P_cr/A
Độ mảnh: λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình

Dầm có gối cố định tại A và gối con lăn tại B, cách A 6 m, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B tới đầu tự do C. Tìm phản lực thẳng đứng R_A, lấy chiều hướng lên là dương.

AB = 6 mAC = 8 mP₁ = 40 kN tại 4 mP₂ = 75 kN tại 8 m

R_A = kN

2.Phản lực gối của dầmKhó

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 6 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 4 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực M_A tại tường.

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 75 kN tại 4 m

M_A = kN·m

3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình

Tìm mômen uốn M_x tại mặt cắt x = 2,5 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 4 mw = 2 kN/m từ 0 đến 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

4.Lực cắt và mômen uốnKhó

Dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp và một lực tập trung P. Tìm mô-men uốn lớn nhất M_max trong dầm.

L = 4 mP = 65 kN tại 2,5 mw = 10 kN/m từ 0 đến 4 m

M_max = kN·m

5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 4 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 45 kN

F_AB = kN

6.Giàn: phương pháp tách nútKhó

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực F_AB trong thanh AB. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 2 mtải thẳng đứng = 35 kNtải ngang = 20 kN →

F_AB = kN

7.Độ võng của dầmTrung bình

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn nhịp. Tìm độ võng lớn nhất δ_max, tại giữa nhịp.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (nhôm)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.Độ võng của dầmKhó

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w. Độ võng của nó không được vượt quá nhịp/360. Tìm mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt I_req thỏa mãn giới hạn này.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (thép)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cộtTrung bình

Một cột dài L làm bằng thép được ngàm ở chân và khớp ở đỉnh. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn P_cr của nó.

L = 4 mE = 200 GPa (thép)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.Mất ổn định cộtKhó

Một cột tròn đặc dài L làm bằng nhôm được ngàm ở chân và tự do ở đỉnh. Nó phải chịu 55 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 55 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (nhôm)

d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: R_A = −11,67 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 40·4 + 75·8

R_B = 760/6 = 126,7 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

R_A = 40 + 75 − 126,7 = −11,67 kN

Đáp số

R_A = −11,67 kN

R_A âm: gối cố định tại A phải giữ dầm xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: M_A = 500 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng R_A và một mô-men phản lực M_A. ΣF_y = 0 cho R_A, và mô-men đối với tường cho M_A = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6,667 m

Mô-men đối với tường

M_A = W·x̄ + P·a = 30·6,667 + 75·4 = 500 kN·m

Đáp số

M_A = 500 kN·m

3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_x = 3,75 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·4·2

R_B = 16/4 = 4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 8 − 4 = 4 kN

Cắt tại x = 2,5 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = R_A·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)

M_x = 4·2,5 − 2·2,5·1,25 = 3,75 kN·m

Đáp số

M_x = 3,75 kN·m

4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: M_max = 79,69 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt. Mô-men lớn nhất: vì dM/dx = V, mô-men uốn đạt cực trị tại nơi lực cắt đi qua không, hoặc tại một lực tập trung hoặc bên trong một tải phân bố.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN, đặt tại x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·2,5 + 10·4·2

R_B = 242,5/4 = 60,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 60,63 = 44,38 kN

V = 0 ở đâu?

V(2,5⁻) = R_A − w·2,5 = 19,38 kN

V(2,5⁺) = 19,38 − 65 = −45,63 kN

Lực cắt đổi dấu tại tải, nên giá trị lớn nhất nằm dưới tải.

Mô-men lớn nhất

M_max = R_A·2,5 − w·2,5²/2 = 44,38·2,5 − 10·2,5²/2 = 79,69 kN·m

Đáp số

M_max = 79,69 kN·m

Nó xảy ra tại x = 2,5 m tính từ A.

5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −30,19 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣF_x = 0 và ΣF_y = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 45·2 → C_y = 18 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 18 = 27 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 4/4,472 = 0,8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27/0,8944 = −30,19 kN

Đáp số

F_AB = −30,19 kN (nén)

6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: F_AB = −10,82 kN

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 35·2 + 20·3 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 26 = 9 kN

ΣF_x = 0: A_x = −20 kN

Nút A

Giả sử mọi thanh đều chịu kéo (kéo ra khỏi nút). Chỉ có AB có thành phần thẳng đứng tại A.

sin α = 3/3,606 = 0,8321

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −9/0,8321 = −10,82 kN

Đáp số

F_AB = −10,82 kN (nén)

7.Độ võng của dầm

Đáp số: δ_max = 6,683 mm

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng).

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

Độ võng

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·3,99 × 10¹²) = 6,683 mm

Đáp số

δ_max = 6,683 mm

8.Độ võng của dầm

Đáp số: I_req = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Giới hạn độ võng

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

Mômen quán tính mặt cắt yêu cầu

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·3000⁴/(384·200000·8,333) = 1,266 × 10⁶ mm⁴

I_req = 1,266 × 10⁶ mm⁴

Đáp số

I_req = 1,266 × 10⁶ mm⁴

9.Mất ổn định cột

Đáp số: P_cr = 80,57 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại P_cr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

Tải trọng tới hạn

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2800² = 80568 N = 80,57 kN

Đáp số

P_cr = 80,57 kN

10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 155,4 mm

Tải trọng tới hạn yêu cầu

P_cr = n·P = 2,5·55000 = 137500 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·137500·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 155,4 mm

Đáp số

d = 155,4 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 308,8, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis