Phân tích kết cấu: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 10 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Phản lực gối của dầm

Cân bằng
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
Tải phân bố đều
hợp lực w·L đặt tại giữa đoạn tải
Mômen
M = F·d

Phương pháp

  1. Vẽ sơ đồ vật thể tự do và thay mỗi gối đỡ bằng các phản lực của nó.
  2. Thay mọi tải phân bố bằng một lực duy nhất đặt tại trọng tâm của nó.
  3. Lấy mômen quanh một gối để tìm phản lực ở gối kia.
  4. Dùng ΣFy = 0 để tìm phản lực còn lại, và kiểm tra bằng một phương trình mômen thứ hai.

Lực cắt và mômen uốn

Lực cắt và mômen
V = ΣF ở một phía, M = ΣF·d ở một phía
Ứng suất uốn
σ = M·y/I
Hình chữ nhật
I = bh³/12
Mômen chống uốn của mặt cắt
W = I/ymax
Dầm đơn giản, tải phân bố đều
Mmax = wL²/8

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối từ cân bằng của cả dầm.
  2. Cắt dầm tại mặt cắt bạn cần và giữ lại một phía.
  3. Lực cắt: tổng các lực thẳng đứng ở phía đó. Mômen uốn: tổng mômen của chúng quanh mặt cắt.
  4. Để tìm mômen lớn nhất, hãy tìm nơi lực cắt bằng không.

Giàn: phương pháp tách nút

Phương pháp tách nút
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
Phương pháp mặt cắt
ΣM = 0 about a cut point
Nội lực thanh
dương = kéo, âm = nén

Phương pháp

  1. Tìm phản lực gối cho cả giàn.
  2. Phương pháp tách nút: bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết và dùng ΣFx = 0 và ΣFy = 0.
  3. Phương pháp mặt cắt: cắt qua thanh bạn cần và lấy mômen quanh điểm mà các thanh chưa biết khác gặp nhau.
  4. Giả sử chịu kéo; đáp án âm nghĩa là chịu nén.

Độ võng của dầm

Tải tập trung ở giữa nhịp
δ = PL³/(48EI)
Tải phân bố đều, dầm đơn giản
δ = 5wL⁴/(384EI)
Công xôn, tải ở đầu
δ = PL³/(3EI)
Công xôn, tải phân bố đều
δ = wL⁴/(8EI)
Nguyên lý xếp chồng
δ = δ1 + δ2

Mất ổn định cột

Tải Euler
Pcr = π²EI/(KL)²
Hệ số chiều dài tính toán
K = 1 khớp–khớp, 0,5 ngàm–ngàm, 0,7 ngàm–khớp, 2 ngàm–tự do
Ứng suất tới hạn
σcr = Pcr/A
Độ mảnh
λ = KL/r, r = √(I/A)

2Bài tập

1.Phản lực gối của dầmTrung bình
P = 45 kNM = 25 kN·mABRA​ = ?2 m5 m3 m

Dầm đơn giản có gối cố định tại A và gối con lăn tại B. Nó chịu một lực tập trung P tại vị trí cách A 2 m và một ngẫu lực cùng chiều kim đồng hồ M tại vị trí cách A 7 m. Tìm phản lực thẳng đứng RA, lấy chiều hướng lên là dương.

L = 10 mP = 45 kN tại 2 mM = 25 kN·m (cùng chiều kim đồng hồ) tại 7 m
RA = kN
2.Phản lực gối của dầmKhó
w0​ = 6 kN/mP = 20 kNABMA​ = ?2 m3 m

Dầm công-xôn được ngàm vào tường tại A. Nó chịu tải thay đổi tuyến tính bằng không tại tường và tăng đến 6 kN/m tại đầu tự do B, cùng một lực tập trung P tại vị trí cách tường 2 m. Tìm độ lớn của mô-men phản lực MA tại tường.

L = 5 mw0 = 6 kN/mP = 20 kN tại 2 m
MA = kN·m
3.Lực cắt và mômen uốnTrung bình
P1​ = 70 kNP2​ = 10 kNABC3 m1 m1,5 m

Dầm đặt trên gối cố định tại A và gối con lăn tại B, và đoạn công-xôn nhô ra khỏi B một đoạn 1,5 m tới đầu tự do C. Dầm chịu một lực tập trung P1 giữa hai gối và một lực tập trung P2 tại C. Tìm mô-men uốn Mx dưới tải P1. Dùng quy ước mô-men làm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt cắt bên trái là dương.

L = 5,5 mP1 = 70 kN tại 3 mP2 = 10 kN tại 5,5 mcác gối tại x = 0 và x = 4 m
Mx = kN·m
4.Lực cắt và mômen uốnKhó
w = 3 kN/mP = 10 kNABmặt cắt1 m2 m7 m

Tìm mômen uốn Mx tại mặt cắt x = 1 m tính từ gối A. Coi mômen làm dầm võng xuống là dương và lực cắt hướng lên trên mặt trái là dương.

L = 10 mP = 10 kN tại 3 mw = 3 kN/m từ 0 đến 10 mx = 1 m
Mx = kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nútTrung bình
ABBCACACB35 kN5 m3 m2 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 2 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 35 kN
FAC = kN
6.Giàn: phương pháp tách nútKhó
ABBCACACB60 kN30 kN5 m3 m3 m

Dùng phương pháp tách nút để tìm lực FAC trong thanh AC. Lấy kéo là dương và nén là âm.

nhịp = 5 mchiều cao = 3 mB cách A 3 mtải thẳng đứng = 60 kNtải ngang = 30 kN →
FAC = kN
7.Độ võng của dầmTrung bình
w = 5 kN/mABθ8 m

Một dầm đơn giản chịu tải phân bố đều w trên toàn bộ nhịp. Tìm góc xoay θA của dầm tại gối A, theo radian.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (thép)I = 23 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.Độ võng của dầmKhó
P = 15 kNAB1,5 m1,5 m

Một dầm công-xôn có gối chống ngàm tại A và tựa đơn (chống) tại B. Dầm chịu một lực tập trung P tại giữa nhịp. EI không đổi. Tìm độ lớn của mô-men uốn MA tại đầu ngàm.

L = 3 mP = 15 kN tại 1,5 m
MA = kN·m
9.Mất ổn định cộtTrung bình
PL = 3 m50 × 80 mmmặt cắt ngang

Một cột dài L làm bằng nhôm được hai đầu khớp. Dùng công thức Euler, tìm tải trọng oằn tới hạn Pcr của nó.

L = 3 mE = 70 GPa (nhôm)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.Mất ổn định cộtKhó
P = 100 kNL = 4 md = ?mặt cắt ngang

Một cột tròn đặc dài L làm bằng thép được ngàm cả hai đầu. Nó phải chịu 100 kN với hệ số an toàn 2,5 chống oằn. Tìm đường kính nhỏ nhất d.

P = 100 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (thép)
d = mm

3Dung dịch

1.Phản lực gối của dầm

Đáp số: RA = 33,5 kN

Cân bằng tĩnh: một vật ở trạng thái nghỉ có ΣFx = 0, ΣFy = 0 và ΣM = 0 đối với mọi điểm. Thay mỗi tải phân bố bằng hợp lực của nó (diện tích) đặt tại trọng tâm của biểu đồ tải, và lấy mô-men đối với một gối để khử phản lực của gối đó khỏi phương trình.

Mômen quanh A

Ngược chiều kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: RB·10 − 45·2 − 25 = 0
RB = 115/10 = 11,5 kN

Cân bằng theo phương thẳng đứng

RA = 45 − 11,5 = 33,5 kN

Đáp số

RA = 33,5 kN

Phản lực âm hướng xuống.

2.Phản lực gối của dầm

Đáp số: MA = 90 kN·m

Cân bằng của dầm công-xôn: một gối ngàm có thể đẩy lên và còn chống lại sự quay, nên nó cho một phản lực thẳng đứng RA và một mô-men phản lực MA. ΣFy = 0 cho RA, và mô-men đối với tường cho MA = Σ(tải × khoảng cách đến tường). Tải phân bố tác dụng như hợp lực của nó tại trọng tâm của biểu đồ tải.

Hợp lực của tải tam giác

W = ½·6·5 = 15 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

Mô-men đối với tường

MA = W·x̄ + P·a = 15·3,333 + 20·2 = 90 kN·m

Đáp số

MA = 90 kN·m
3.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 41,25 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của toàn bộ dầm. Tải ở đoạn công-xôn cũng gây mô-men đối với A.

ΣMA = 0: RB·4 = 70·3 + 10·5,5
RB = 265/4 = 66,25 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 66,25 = 13,75 kN

Cắt dưới P1 và giữ phần bên trái

Mx = RA·3 = 13,75·3 = 41,25 kN·m

Đáp số

Mx = 41,25 kN·m
4.Lực cắt và mômen uốn

Đáp số: Mx = 20,5 kN·m

Phương pháp mặt cắt: cắt dầm tại vị trí cần tìm nội lực và giữ lại một phía. Lực cắt V cân bằng với các lực thẳng đứng ở phía đó, và mômen uốn M cân bằng với mômen của chúng quanh mặt cắt.

Phản lực gối

Cân bằng của cả dầm.

Hợp lực của tải phân bố đều: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN, đặt tại x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·3 + 3·10·5
RB = 180/10 = 18 kN
ΣFy = 0: RA = 40 − 18 = 22 kN
w = 3 kN/mP = 10 kNABRA​ = 22RB​ = 18mặt cắt1 m2 m7 m

Cắt tại x = 1 m và giữ phần bên trái

Chỉ các lực bên trái mặt cắt xuất hiện. Phần tải phân bố đều được thay bằng một lực đặt tại giữa phần đó.

M = RA·x − (mỗi tải bên trái mặt cắt × cánh tay đòn đến mặt cắt)
Mx = 22·1 − 3·1·0,5 = 20,5 kN·m

Đáp số

Mx = 20,5 kN·m
5.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAC = 21 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB35 kNAy​Cy​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 → Cy = 21 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 21 = 14 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 2/2,828 = 0,7071, cos γ = 2/2,828 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −21/0,7071 = −29,7 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−29,7)·0,7071 = 21 kN

Đáp số

FAC = 21 kN (kéo)
6.Giàn: phương pháp tách nút

Đáp số: FAC = 36 kN

Phương pháp tách nút: mọi chốt của giàn đều cân bằng, nên ΣFx = 0 và ΣFy = 0 tại mỗi nút. Bắt đầu từ nút có tối đa hai nội lực thanh chưa biết. Kết quả âm nghĩa là thanh chịu nén.

ABBCACACB60 kN30 kNAy​Cy​Ax​

Phản lực gối

Cân bằng của cả giàn. Mômen quanh A, chiều ngược kim đồng hồ là dương.

ΣMA = 0: Cy·5 = 60·3 + 30·3 → Cy = 54 kN
ΣFy = 0: Ay = 60 − 54 = 6 kN
ΣFx = 0: Ax = −30 kN

Nút C

Gối di động chỉ cho phản lực thẳng đứng, nên nút C chỉ có hai nội lực thanh chưa biết. Giả sử cả hai chịu kéo.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −54/0,8321 = −64,9 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−64,9)·0,5547 = 36 kN

Đáp số

FAC = 36 kN (kéo)
7.Độ võng của dầm

Đáp số: θA = 0,02319 rad

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Góc xoay θ = dv/dx là tích phân bậc một của M/(EI); với các đơn vị nhất quán, nó có đơn vị radian.

Đơn vị nhất quán

Làm việc theo N và mm: P theo N, w theo N/mm (kN/m = N/mm), L theo mm, E theo N/mm² (GPa × 1000), I theo mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

Góc xoay ở đầu

θA = wL³/(24EI) = 5·8000³/(24·4,6 × 10¹²) = 0,02319 rad

Đáp số

θA = 0,02319 rad

Đó là 1,329°.

8.Độ võng của dầm

Đáp số: MA = 8,438 kN·m

Độ võng của dầm: độ võng có được bằng cách tích phân độ cong M/(EI) hai lần. Các trường hợp tiêu chuẩn đã được lập bảng, ví dụ PL³/(3EI) cho dầm công xôn chịu tải ở đầu tự do và 5wL⁴/(384EI) cho dầm đơn giản chịu tải phân bố đều toàn nhịp. Độ võng do các tải riêng rẽ cộng lại (xếp chồng). Với dầm siêu tĩnh, hãy bỏ một liên kết thừa và đòi hỏi độ võng tại đó bằng không (điều kiện tương thích).

Bỏ gối chống đi

Khi không có gối chống, dầm là một dầm công-xôn. Đầu tự do của nó sẽ võng dưới tải.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

Điều kiện tương thích tại gối chống

Chỉ riêng lực chống RB nâng đầu tự do lên một đoạn RBL³/(3EI). Gối chống giữ B có độ võng bằng không, nên hai độ võng phải triệt tiêu nhau. EI được khử.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

Mô-men tại đầu ngàm

Mô-men đối với A của các tải và lực chống.

MA = P·L/2 − RB·L = 22,5 − 14,06 = 8,438 kN·m

Đáp số

MA = 8,438 kN·m
9.Mất ổn định cột

Đáp số: Pcr = 63,97 kN

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Mômen quán tính nhỏ nhất của mặt cắt

Hình chữ nhật oằn quanh trục yếu, dùng kích thước nhỏ hơn lập phương.

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

Chiều dài tính toán

KL = 1·3000 = 3000 mm

Tải trọng tới hạn

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/3000² = 63970 N = 63,97 kN

Đáp số

Pcr = 63,97 kN
10.Mất ổn định cột

Đáp số: d = 56,68 mm

Mất ổn định Euler: một cột mảnh mất ổn định tại Pcr = π²EI/(KL)², trong đó KL là chiều dài tính toán: K = 1 cho khớp–khớp, 2 cho ngàm–tự do, 0,7 cho ngàm–khớp và 0,5 cho ngàm–ngàm. Cột oằn quanh trục có I nhỏ nhất. Công thức đúng với cột mảnh, có ứng suất tới hạn thấp hơn ứng suất chảy.

Tải trọng tới hạn yêu cầu

Pcr = n·P = 2,5·100000 = 250000 N
KL = 0,5·4000 = 2000 mm

Giải tìm đường kính

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·250000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 56,68 mm

Đáp số

d = 56,68 mm

Kiểm tra: độ mảnh KL/r là 141,1, nên cột là mảnh và công thức Euler áp dụng được.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis